Losange : définition, propriétés et aire – Maths 5ème

Tu as surement croisé le losange en cours de maths, et tu te demandes ce qui le distingue d’un carré ou d’un simple parallélogramme. Bonne nouvelle : cette fiche va tout clarifier. On va reprendre ensemble la définition du losange, ses propriétés géométriques, les formules de périmètre et d’aire, et surtout comment le construire et le reconnaître dans un exercice. Avec des schémas, des astuces et 5 exercices corrigés, tu auras toutes les clés pour maîtriser cette figure en 5ème.

Qu’est-ce qu’un losange ?

Avant de parler de propriétés ou de formules, il faut poser les bases. Le losange est un quadrilatère particulier, c’est-à-dire un polygone à quatre côtés. Mais attention, ce n’est pas n’importe quel quadrilatère. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur le rectangle et ses propriétés.

Le losange fait partie de la famille des parallélogrammes. En effet, puisque ses côtés opposés sont égaux (ils sont même tous égaux), le losange est automatiquement un parallélogramme. Mais il a des propriétés supplémentaires que le parallélogramme classique n’a pas, notamment au niveau de ses diagonales.

Dans la vie courante, tu reconnais la forme du losange sur les panneaux de signalisation prioritaires, sur certains motifs de carrelage, ou encore sur les cartes à jouer (le carreau est un losange).

Les propriétés du losange

Le losange possède plusieurs propriétés fondamentales qu’il faut connaître par cœur en 5ème. Ces propriétés servent à la fois pour les exercices de calcul et pour les démonstrations en géométrie.

Côtés égaux

C’est la propriété de base, celle qui sert de définition. Dans un losange ABCD, les quatre côtés ont exactement la même longueur : Pour aller plus loin, consultez notre cours sur le carré.

AB = BC = CD = DA

Cette égalité des côtés entraîne automatiquement que les côtés opposés sont parallèles. En effet, si un quadrilatère a ses quatre côtés égaux, alors ses côtés opposés sont forcément parallèles deux à deux. C’est pour cette raison que le losange est un cas particulier de parallélogramme.

Diagonales perpendiculaires

C’est LA propriété qui distingue le losange des autres parallélogrammes. Les deux diagonales d’un losange se coupent toujours à angle droit, c’est-à-dire qu’elles sont perpendiculaires.

Si on note [AC] et [BD] les deux diagonales du losange ABCD, alors :

(AC) ⊥ (BD)

Cette perpendiculairté est extrêmement utile dans les exercices. Elle permet de créer quatre triangles rectangles à l’intérieur du losange, ce qui ouvre la porte à l’utilisation du théorème de Pythagore.

Diagonales qui se coupent en leur milieu

Comme le losange est un parallélogramme, il hérite de toutes les propriétés du parallélogramme. Or, dans un parallélogramme, les diagonales se coupent toujours en leur milieu. Cette propriété reste donc vraie pour le losange. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur la symétrie centrale.

Si O est le point d’intersection des diagonales [AC] et [BD], alors :

OA = OC et OB = OD

Le point O est donc le milieu de chacune des deux diagonales. On dit que O est le centre de symétrie du losange.

Angles opposés égaux

Dans un losange, les angles opposés sont toujours égaux. Cela signifie que si tu connais un seul angle du losange, tu peux retrouver tous les autres.

Dans le losange ABCD :

• Angle A = Angle C (angles opposés)
• Angle B = Angle D (angles opposés)
• Angle A + Angle B = 180° (angles consécutifs supplémentaires)

Cette dernière relation vient du fait que le losange est un parallélogramme : deux angles consécutifs sont toujours supplémentaires (leur somme vaut 180°).

De plus, chaque diagonale du losange est la bissectrice des angles par lesquels elle passe. Par exemple, la diagonale [AC] coupe l’angle A en deux angles égaux, et fait la même chose avec l’angle C. Cette propriété est très utile dans les démonstrations.

Formules du losange

Deux formules sont essentielles quand on travaille avec le losange : le périmètre et l’aire. Les deux sont simples à retenir, mais attention à ne pas confondre la formule de l’aire du losange avec celle du rectangle.

Périmètre du losange

Puisque les quatre côtés sont égaux, il suffit de multiplier la longueur d’un côté par 4. C’est exactement la même formule que pour le carré.

Aire du losange

Cette formule fonctionne grâce à la perpendicularité des diagonales. En réalité, le losange peut être décomposé en quatre triangles rectangles identiques. Quand on additionne leurs aires, on retrouve bien (d₁ × d₂) ÷ 2.

Losange vs carré vs parallélogramme

En 5ème, on travaille avec plusieurs quadrilatères particuliers et il est facile de les confondre. Voici un tableau qui résume les différences et les points communs entre le losange, le carré et le parallélogramme.

Propriété	Parallélogramme	Losange	Carré
4 côtés égaux	Non	Oui	Oui
Côtés opposés parallèles	Oui	Oui	Oui
Diagonales perpendiculaires	Non	Oui	Oui
Diagonales de même longueur	Non	Non	Oui
Diagonales se coupent en leur milieu	Oui	Oui	Oui
4 angles droits	Non	Non	Oui
Angles opposés égaux	Oui	Oui	Oui
Centre de symétrie	Oui	Oui	Oui
Axes de symétrie	0	2 (les diagonales)	4

Ce qu’il faut retenir de ce tableau :

• Le carré est un losange particulier qui a en plus 4 angles droits. Dit autrement, un carré est un losange ET un rectangle en même temps.
• Le losange est un parallélogramme particulier qui a en plus 4 côtés égaux et des diagonales perpendiculaires.
• Le parallélogramme est la figure la plus générale des trois : il n’a ni côtés tous égaux ni angles tous droits.

Comment construire un losange au compas

Construire un losange au compas est un exercice classique en 5ème. Voici la méthode pas à pas, en utilisant uniquement une règle et un compas.

Méthode 1 : à partir d’un côté et d’un angle

1. Trace un segment [AB] de la longueur voulue (par exemple 5 cm). C’est le premier côté du losange.
2. Construis l’angle souhaité en A (par exemple 60°) à l’aide du rapporteur. Trace une demi-droite partant de A.
3. Reporte la longueur AB sur cette demi-droite à partir de A. Tu obtiens le point D. On a donc AD = AB.
4. Ouvre le compas à la longueur AB (5 cm).
5. Pointe le compas en B et trace un arc de cercle.
6. Pointe le compas en D et trace un autre arc de cercle. Les deux arcs se croisent en un point : c’est le point C.
7. Relie les points B à C et D à C. Le losange ABCD est terminé.

Méthode 2 : à partir des deux diagonales

1. Trace un segment [AC] correspondant à la première diagonale (par exemple 8 cm).
2. Trouve le milieu O de [AC] en traçant la médiatrice de [AC] au compas.
3. Trace la perpendiculaire à [AC] passant par O (c’est la médiatrice que tu viens de tracer).
4. Sur cette perpendiculaire, place les points B et D de part et d’autre de O, à la distance voulue (si la deuxième diagonale mesure 6 cm, alors OB = OD = 3 cm).
5. Relie A, B, C, D dans l’ordre. Tu obtiens le losange.

Comment démontrer qu’un quadrilatère est un losange

En géométrie, on te demandera souvent de prouver qu’une figure est un losange. Il existe plusieurs méthodes, et le choix dépend des informations dont tu disposes dans l’énoncé.

Méthode 1 : montrer que les 4 côtés sont égaux

C’est la méthode la plus directe. Si tu arrives à prouver que AB = BC = CD = DA, alors le quadrilatère ABCD est un losange par définition.

Méthode 2 : montrer que c’est un parallélogramme avec deux côtés consécutifs égaux

Si tu sais déjà que ABCD est un parallélogramme (par exemple parce que ses côtés opposés sont parallèles), il suffit de montrer que deux côtés consécutifs sont égaux (par exemple AB = BC) pour conclure que c’est un losange.

Cette méthode est très pratique car tu n’as besoin de vérifier que deux longueurs au lieu de quatre. Le parallélogramme garantit déjà que les côtés opposés sont égaux, donc il reste juste à montrer que deux côtés voisins le sont aussi.

Méthode 3 : montrer que c’est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires

Si tu peux prouver que ABCD est un parallélogramme ET que ses diagonales sont perpendiculaires, alors c’est un losange.

Cette méthode est utile quand l’énoncé te donne des informations sur les diagonales (leur intersection, des angles droits, etc.) plutôt que sur les côtés.

Erreurs fréquentes

Voici les pièges dans lesquels tombent le plus souvent les élèves de 5ème quand ils travaillent sur le losange.

Exercices corrigés

Voici 5 exercices progressifs pour t’entraîner sur le losange. Essaie de les résoudre seul avant de regarder la correction.

Voir la correction

Dans un losange, les 4 côtés sont de même longueur.

Donc : P = 4 × c = 4 × 8,5 = 34 cm

Le périmètre du losange ABCD est de 34 cm.

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On utilise la formule de l’aire du losange :

A = (d₁ × d₂) ÷ 2

A = (12 × 9) ÷ 2

A = 108 ÷ 2

A = 54 cm²

L’aire du losange EFGH est de 54 cm².

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Dans un losange, les angles opposés sont égaux et les angles consécutifs sont supplémentaires.

Angle I = 72°

Angle K = 72° (angle opposé à I)

Angle J = 180° − 72° = 108° (angle consécutif à I, donc supplémentaire)

Angle L = 108° (angle opposé à J)

Vérification : 72° + 108° + 72° + 108° = 360°

Les angles du losange IJKL mesurent 72°, 108°, 72° et 108°.

Voir la correction

Les diagonales du losange se coupent en leur milieu O’ et sont perpendiculaires. On peut donc utiliser le théorème de Pythagore dans un des quatre triangles rectangles formés.

Soit O’ le point d’intersection des diagonales :

MO’ = MO ÷ 2 = 16 ÷ 2 = 8 cm

NO’ = NP ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6 cm

Le triangle MO’N est rectangle en O’. D’après le théorème de Pythagore :

MN² = MO’² + NO’²

MN² = 8² + 6²

MN² = 64 + 36

MN² = 100

MN = √100 = 10 cm

Chaque côté du losange MNOP mesure 10 cm.

Voir la correction

Démonstration :

On sait que ABCD est un parallélogramme.

Or, dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur :

AB = DC = 6 cm et BC = AD = 6 cm.

On sait aussi que AB = BC = 6 cm (donné dans l’énoncé).

Donc AB = BC = CD = DA = 6 cm.

ABCD est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur, donc ABCD est un losange.

Calcul du périmètre :

P = 4 × c = 4 × 6 = 24 cm

FAQ

Le losange est-il un parallélogramme ?

Oui. Le losange est toujours un parallélogramme car ses côtés opposés sont parallèles. Plus précisément, le losange est un cas particulier de parallélogramme qui a la particularité d’avoir ses quatre côtés de même longueur. Toutes les propriétés du parallélogramme s’appliquent donc au losange (diagonales qui se coupent en leur milieu, côtés opposés parallèles, angles opposés égaux).

Quelle est la différence entre un losange et un carré ?

Le carré est un losange qui possède en plus quatre angles droits. Autrement dit, le carré est un losange dont tous les angles mesurent 90°. Un losange quelconque n’a pas forcément des angles droits : ses angles peuvent prendre n’importe quelle valeur, du moment que les angles opposés sont égaux et que les angles consécutifs sont supplémentaires. Le carré a aussi des diagonales de même longueur, ce qui n’est pas le cas du losange en général.

Comment calculer l’aire d’un losange si on ne connaît qu’un côté ?

Avec un seul côté, tu ne peux pas calculer l’aire du losange. Il te faut obligatoirement les deux diagonales, ou bien un côté et un angle. Si tu connais un côté c et un angle aigu α du losange, tu peux utiliser la formule : A = c² × sin(α). Mais en 5ème, on utilise principalement la formule avec les diagonales : A = (d₁ × d₂) ÷ 2.

Combien d’axes de symétrie possède un losange ?

Le losange possède exactement 2 axes de symétrie, qui sont ses deux diagonales. Chaque diagonale partage le losange en deux triangles superposables. Attention, le carré (qui est un losange particulier) possède 4 axes de symétrie, mais un losange quelconque n’en a que 2.

Le losange a-t-il un centre de symétrie ?

Oui. Le centre de symétrie du losange est le point d’intersection de ses deux diagonales. Ce point, souvent noté O, est le milieu de chacune des deux diagonales. Si tu fais une rotation de 180° du losange autour de ce point O, le losange se superpose exactement à lui-même. Cette propriété est héritée du parallélogramme.