Tu cherches toutes les formules de maths de 3ème pour le brevet ? Tu es au bon endroit. Cette fiche regroupe chaque formule du programme, chapitre par chapitre, avec des explications claires et des tableaux récapitulatifs. Garde cette page dans tes favoris : elle te servira toute l’année et le jour de l’épreuve.
Nombres et calculs
Puissances : toutes les règles
Les puissances apparaissent dans de nombreux exercices du brevet. Voici les règles à maîtriser :
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit de puissances (même base) | an × am = an+m | 23 × 24 = 27 = 128 |
| Quotient de puissances (même base) | an ÷ am = an−m | 56 ÷ 52 = 54 = 625 |
| Puissance d’une puissance | (an)m = an×m | (32)3 = 36 = 729 |
| Puissance d’un produit | (a × b)n = an × bn | (2 × 5)3 = 23 × 53 = 1000 |
| Puissance d’un quotient | (a ÷ b)n = an ÷ bn | (6 ÷ 3)2 = 62 ÷ 32 = 4 |
| Exposant nul | a0 = 1 (avec a ≠ 0) | 70 = 1 |
| Exposant négatif | a−n = 1 ÷ an | 2−3 = 1/8 = 0,125 |
Notation scientifique : un nombre s’écrit sous la forme a × 10n avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif.
Exemple : 0,00045 = 4,5 × 10−4 et 3 200 000 = 3,2 × 106.
Racines carrées : propriétés
La racine carrée de a (notée √a) est le nombre positif dont le carré vaut a. Elle existe uniquement pour a ≥ 0.
| Propriété | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Définition | (√a)² = a | (√9)² = 9 |
| Produit | √(a × b) = √a × √b | √(4 × 25) = √4 × √25 = 2 × 5 = 10 |
| Quotient | √(a ÷ b) = √a ÷ √b | √(49 ÷ 9) = 7 ÷ 3 |
| Carré d’une racine | √(a²) = a (si a ≥ 0) | √(5²) = 5 |
⚠️ Erreur fréquente
√(a + b) ≠ √a + √b. Par exemple, √(9 + 16) = √25 = 5, mais √9 + √16 = 3 + 4 = 7.
Simplifier une racine carrée : cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine.
Exemple : √72 = √(36 × 2) = 6√2.
PGCD et fractions irréductibles
Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux nombres est le plus grand entier qui divise les deux. On l’utilise pour simplifier les fractions.
Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur sujets et corriges du brevet.
Algorithme d’Euclide : pour trouver le PGCD de a et b (a > b), on effectue la division euclidienne de a par b, puis de b par le reste, et on répète jusqu’à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.
Exemple : PGCD(84, 36)
84 = 36 × 2 + 12
36 = 12 × 3 + 0
Donc PGCD(84, 36) = 12.
Fraction irréductible : on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
84/36 = (84 ÷ 12) / (36 ÷ 12) = 7/3.
Rappel sur les fractions :
| Opération | Formule |
|---|---|
| Addition (même dénominateur) | a/c + b/c = (a + b)/c |
| Addition (dénominateurs différents) | a/b + c/d = (ad + bc) / bd |
| Multiplication | a/b × c/d = (a × c) / (b × d) |
| Division | a/b ÷ c/d = a/b × d/c |
Calcul littéral : identités remarquables
Les trois identités remarquables sont parmi les formules les plus demandées au brevet :
| Nom | Formule développée | Exemple |
|---|---|---|
| Carré d’une somme | (a + b)² = a² + 2ab + b² | (x + 3)² = x² + 6x + 9 |
| Carré d’une différence | (a − b)² = a² − 2ab + b² | (x − 5)² = x² − 10x + 25 |
| Produit somme-différence | (a + b)(a − b) = a² − b² | (x + 4)(x − 4) = x² − 16 |
Développer : transformer un produit en somme. On applique la double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
Factoriser : transformer une somme en produit. On cherche un facteur commun ou on reconnaît une identité remarquable.
Exemple : x² − 9 = x² − 3² = (x + 3)(x − 3).
Équations et inéquations
Résolution d’équations du 1er degré
Une équation du premier degré a la forme ax + b = 0. La solution est :
📐 Formule
x = −b / a (avec a ≠ 0)
Méthode générale :
- Regrouper les termes en x d’un côté et les nombres de l’autre.
- Simplifier chaque membre.
- Diviser par le coefficient de x.
Exemple : Résoudre 3x + 7 = 2x − 5.
3x − 2x = −5 − 7
x = −12
Équation produit nul : si A × B = 0, alors A = 0 ou B = 0.
Exemple : (x − 3)(2x + 1) = 0 donne x = 3 ou x = −1/2.
Systèmes de 2 équations à 2 inconnues
Un système de deux équations à deux inconnues se présente ainsi :
📐 Formule
ax + by = e
cx + dy = f
Méthode par substitution :
Ce point est approfondi dans notre cours sur cours sur les équations.
- Isoler une inconnue dans une équation.
- Remplacer dans l’autre équation.
- Résoudre l’équation obtenue (une seule inconnue).
- Calculer la seconde inconnue.
Méthode par combinaison (addition) :
- Multiplier les équations pour obtenir des coefficients opposés sur une inconnue.
- Additionner les deux équations.
- Résoudre, puis calculer l’autre inconnue.
Exemple :
2x + y = 7
x − y = 2
En additionnant : 3x = 9, donc x = 3 et y = 1.
Inéquations
Une inéquation se résout comme une équation, avec une règle supplémentaire :
⚠️ Erreur fréquente
Quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, on inverse le sens de l’inégalité.
Exemple : Résoudre −2x + 6 > 0.
−2x > −6
x < 3 (le sens change car on divise par −2).
L’ensemble des solutions est ] −∞ ; 3 [.
On représente la solution sur une droite graduée : un crochet ouvert vers 3 (non inclus) avec une flèche vers la gauche.
Fonctions
Fonctions linéaires : f(x) = ax
Une fonction linéaire est définie par f(x) = ax où a est le coefficient.
| Propriété | Détail |
|---|---|
| Représentation graphique | Droite passant par l’origine O(0 ; 0) |
| Coefficient a | a = f(x) / x pour tout x ≠ 0 |
| a > 0 | La fonction est croissante |
| a < 0 | La fonction est décroissante |
| Image de x | y = ax |
| Antécédent de y | x = y / a |
Proportionnalité : une situation de proportionnalité se modélise par une fonction linéaire. Le coefficient a correspond au coefficient de proportionnalité.
Fonctions affines : f(x) = ax + b
Une fonction affine est définie par f(x) = ax + b.
| Élément | Signification |
|---|---|
| a (coefficient directeur) | Pente de la droite. a = (yB − yA) / (xB − xA) |
| b (ordonnée à l’origine) | Valeur de f(0). Point où la droite coupe l’axe des ordonnées |
| Si b = 0 | La fonction est linéaire |
| Si a = 0 | La fonction est constante : f(x) = b |
Déterminer a et b à partir de deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) :
- Calculer a = (yB − yA) / (xB − xA)
- Remplacer dans y = ax + b avec un des deux points pour trouver b.
Exemple : A(1 ; 4) et B(3 ; 10).
a = (10 − 4) / (3 − 1) = 6/2 = 3
4 = 3 × 1 + b, donc b = 1.
L’expression est f(x) = 3x + 1.
Tableau de valeurs et représentation graphique
Pour tracer la courbe d’une fonction :
Pour completer, decouvre notre cours sur théorème de Thales.
- Construire un tableau de valeurs en choisissant plusieurs valeurs de x et en calculant les images f(x).
- Placer les points (x ; f(x)) dans un repère.
- Relier les points.
Lire un graphique :
- Image : à partir de x sur l’axe horizontal, monter jusqu’à la courbe et lire y sur l’axe vertical.
- Antécédent : à partir de y sur l’axe vertical, aller horizontalement jusqu’à la courbe et lire x sur l’axe horizontal.
Cas des fonctions linéaires et affines : la représentation est toujours une droite. Deux points suffisent pour la tracer.
Géométrie
Théorème de Pythagore et sa réciproque
Le théorème de Pythagore s’applique dans un triangle rectangle.
Théorème direct : Si le triangle ABC est rectangle en A, alors :
📐 Formule
BC² = AB² + AC²
L’hypoténuse (BC) est le côté opposé à l’angle droit. C’est toujours le plus grand côté.
Réciproque : Si BC² = AB² + AC² dans un triangle ABC, alors ce triangle est rectangle en A.
Contraposée : Si BC² ≠ AB² + AC², alors le triangle ABC n’est pas rectangle.
Exemple : Triangle rectangle en A avec AB = 3 cm et AC = 4 cm.
BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
BC = √25 = 5 cm.
Théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès porte sur des droites parallèles coupées par deux sécantes.
Configuration : Deux droites (AB) et (CD) sont coupées par deux sécantes en un point O. Si (BC) est parallèle à (AD), alors :
📐 Formule
OB/OA = OC/OD = BC/AD
Usage : calculer une longueur manquante grâce à l’égalité des rapports (produit en croix).
Réciproque : Si les rapports sont égaux et si les points sont dans le même ordre, alors les droites (BC) et (AD) sont parallèles.
Exemple : O, B, A alignés et O, C, D alignés. OB = 3, OA = 6, OC = 4.
OB/OA = 3/6 = 1/2
OD = OC × (OA/OB) = 4 × 2 = 8.
Trigonométrie : sin, cos, tan
La trigonométrie s’utilise dans un triangle rectangle pour relier angles et longueurs.
Par rapport à un angle aigu :
- Le côté adjacent est celui qui forme l’angle (avec l’hypoténuse).
- Le côté opposé est celui qui ne touche pas l’angle.
| Rapport | Formule | Moyen mnémotechnique |
|---|---|---|
| Sinus | sin(angle) = opposé / hypoténuse | SOH |
| Cosinus | cos(angle) = adjacent / hypoténuse | CAH |
| Tangente | tan(angle) = opposé / adjacent | TOA |
💡 Astuce
Retiens « SOH-CAH-TOA » pour ne jamais te tromper.
Tableau des valeurs remarquables :
| Angle | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | non définie |
Relation fondamentale : cos²(a) + sin²(a) = 1 pour tout angle a.
Ce sujet est détaillé dans notre cours sur les probabilites.
Trouver un angle : utilise les fonctions réciproques (arcsin, arccos, arctan) sur ta calculatrice.
Exemple : sin(x) = 0,5, donc x = arcsin(0,5) = 30°.
Aires et volumes : toutes les formules
Périmètres :
| Figure | Formule du périmètre |
|---|---|
| Carré (côté c) | P = 4c |
| Rectangle (L et l) | P = 2(L + l) |
| Cercle (rayon r) | P = 2πr |
| Triangle | P = somme des 3 côtés |
Aires des figures planes :
| Figure | Formule de l’aire |
|---|---|
| Carré (côté c) | A = c² |
| Rectangle (L et l) | A = L × l |
| Triangle (base b, hauteur h) | A = (b × h) / 2 |
| Parallélogramme (base b, hauteur h) | A = b × h |
| Losange (diagonales d et D) | A = (d × D) / 2 |
| Trapèze (bases B et b, hauteur h) | A = ((B + b) × h) / 2 |
| Disque (rayon r) | A = πr² |
Volumes des solides :
| Solide | Formule du volume |
|---|---|
| Cube (arête a) | V = a³ |
| Pavé droit (L, l, h) | V = L × l × h |
| Cylindre (rayon r, hauteur h) | V = πr²h |
| Prisme droit | V = Aire de la base × hauteur |
| Pyramide | V = (Aire de la base × hauteur) / 3 |
| Cône (rayon r, hauteur h) | V = (πr²h) / 3 |
| Sphère (rayon r) | V = (4/3)πr³ |
Aire de la sphère : A = 4πr²
Aire latérale du cylindre : A = 2πrh (le patron donne un rectangle de dimensions 2πr et h).
Statistiques et probabilités
Moyenne, médiane, étendue
| Indicateur | Formule / Définition | Exemple (série : 3, 5, 7, 9, 11) |
|---|---|---|
| Moyenne | Somme des valeurs ÷ nombre de valeurs | (3+5+7+9+11) ÷ 5 = 35 ÷ 5 = 7 |
| Moyenne pondérée | (Σ valeur × effectif) ÷ effectif total | Avec coefficients : (3×2 + 7×3) ÷ 5 = 27 ÷ 5 = 5,4 |
| Médiane | Valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés égales | Série ordonnée : 3, 5, 7, 9, 11 → médiane = 7 |
| Étendue | Valeur max − valeur min | 11 − 3 = 8 |
Médiane pour un effectif pair : on prend la demi-somme des deux valeurs centrales.
Exemple : série 4, 6, 8, 10 → médiane = (6 + 8) / 2 = 7.
Moyenne avec un tableau de fréquences : multiplie chaque valeur par sa fréquence, additionne, puis divise par la somme des fréquences.
Probabilités : formules de base
La probabilité d’un événement mesure sa chance de se produire, entre 0 et 1.
Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur notion de fonctions.
| Formule | Détail |
|---|---|
| P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles | Valable quand les issues sont équiprobables |
| P(événement certain) = 1 | Il se produit toujours |
| P(événement impossible) = 0 | Il ne se produit jamais |
| P(contraire de A) = 1 − P(A) | Tout ce qui n’est pas A |
| Somme des probabilités = 1 | La somme de toutes les probabilités des issues vaut 1 |
Exemple : On lance un dé à 6 faces. P(obtenir un 3) = 1/6. P(obtenir un nombre pair) = 3/6 = 1/2.
Arbre de probabilités : pour des expériences successives, on multiplie les probabilités le long des branches et on additionne les probabilités des chemins qui mènent au résultat voulu.
Tableau récapitulatif de toutes les formules (fiche mémo)
Voici un condensé de chaque formule du programme de 3ème. Imprime ce tableau ou enregistre-le sur ton téléphone pour réviser partout.
| Thème | Formule |
|---|---|
| PUISSANCES | |
| Produit | an × am = an+m |
| Quotient | an ÷ am = an−m |
| Puissance de puissance | (an)m = an×m |
| Exposant négatif | a−n = 1 / an |
| RACINES CARRÉES | |
| Produit | √(ab) = √a × √b |
| Quotient | √(a/b) = √a / √b |
| IDENTITÉS REMARQUABLES | |
| Carré somme | (a + b)² = a² + 2ab + b² |
| Carré différence | (a − b)² = a² − 2ab + b² |
| Somme-différence | (a + b)(a − b) = a² − b² |
| ÉQUATIONS | |
| 1er degré | ax + b = 0 → x = −b/a |
| Produit nul | A × B = 0 → A = 0 ou B = 0 |
| FONCTIONS | |
| Linéaire | f(x) = ax (passe par l’origine) |
| Affine | f(x) = ax + b |
| Coefficient directeur | a = (yB − yA) / (xB − xA) |
| PYTHAGORE | |
| Théorème | BC² = AB² + AC² (rectangle en A) |
| THALÈS | |
| Théorème | OB/OA = OC/OD = BC/AD |
| TRIGONOMÉTRIE | |
| Sinus | sin = opposé / hypoténuse |
| Cosinus | cos = adjacent / hypoténuse |
| Tangente | tan = opposé / adjacent |
| AIRES | |
| Triangle | A = (b × h) / 2 |
| Disque | A = πr² |
| Parallélogramme | A = b × h |
| Trapèze | A = ((B + b) × h) / 2 |
| Sphère | A = 4πr² |
| VOLUMES | |
| Cube | V = a³ |
| Pavé droit | V = L × l × h |
| Cylindre | V = πr²h |
| Pyramide / Cône | V = (Aire base × h) / 3 |
| Sphère | V = (4/3)πr³ |
| STATISTIQUES | |
| Moyenne | Σ valeurs / nombre de valeurs |
| Étendue | max − min |
| PROBABILITÉS | |
| Probabilité | P(A) = cas favorables / cas possibles |
| Événement contraire | P(contraire) = 1 − P(A) |
Conseils pour le brevet de maths
1. Apprends les formules par groupes thématiques. Ne les mémorise pas en vrac. Regroupe-les par chapitre (comme dans le tableau ci-dessus) et révise un groupe par jour.
Ce point est approfondi dans notre cours sur cours sur les statistiques.
2. Refais les exercices du cours. Connaître une formule ne suffit pas. Tu dois savoir quand et comment l’appliquer. Reprends les exercices corrigés de ton manuel.
3. Écris les formules à la main. La mémoire musculaire aide à retenir. Recopie le tableau récapitulatif sur une feuille blanche, de mémoire, chaque semaine.
4. Utilise des moyens mnémotechniques. SOH-CAH-TOA pour la trigonométrie. « Le carré de l’hypoténuse… » pour Pythagore. Invente les tiens.
5. Vérifie tes résultats. Au brevet, le barème récompense la démarche. Écris chaque étape, cite le théorème utilisé et vérifie ton résultat en remplaçant dans la formule.
6. Gère ton temps. L’épreuve dure 2 heures. Lis tous les exercices d’abord. Commence par ceux que tu maîtrises. Garde 10 minutes pour relire.
7. Soigne la rédaction. Une réponse sans justification perd des points. Utilise la structure : « D’après le théorème de… », « On sait que… », « Donc… ».
8. Entraîne-toi sur les annales. Les sujets des années précédentes reprennent les mêmes types de formules. Fais au moins 5 brevets blancs complets avant le jour J.
FAQ : formules de maths 3ème brevet
Combien de formules faut-il connaître pour le brevet de maths ?
Le programme de 3ème contient une cinquantaine de formules réparties entre les nombres et calculs, la géométrie, les fonctions, les statistiques et les probabilités. Toutes ne tombent pas le même jour, mais chacune peut apparaître. Le tableau récapitulatif de cet article les regroupe toutes.
Les formules sont-elles données le jour du brevet ?
Non. Aucune formule n’est fournie pendant l’épreuve. Tu dois les connaître par coeur. Seule la calculatrice est autorisée (modèle collège). C’est pourquoi il faut commencer à réviser les formules plusieurs semaines avant l’examen.
Quelles sont les formules qui tombent le plus souvent au brevet ?
Les formules les plus fréquentes dans les sujets récents sont : le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès, la trigonométrie (sin, cos, tan), les identités remarquables et le calcul de volumes (cylindre, cône, sphère). Les probabilités et les fonctions affines reviennent aussi chaque année.
Comment retenir les formules de trigonométrie ?
Le moyen le plus efficace est la phrase mnémotechnique SOH-CAH-TOA : Sinus = Opposé / Hypoténuse, Cosinus = Adjacent / Hypoténuse, Tangente = Opposé / Adjacent. Répète cette suite à voix haute et applique-la sur des exercices. En une semaine, c’est acquis.
Comment réviser les formules de maths efficacement ?
Utilise la méthode des fiches : écris la formule d’un côté, un exemple d’application de l’autre. Teste-toi chaque jour sur 10 fiches au hasard. Complète avec des exercices types du brevet. La répétition espacée (réviser à J+1, J+3, J+7, J+15) donne les meilleurs résultats en mémorisation.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
