Comment associer un nombre x à un autre nombre de manière simple ? En découvrant les fonctions affines, tu apprendras comment à chaque nombre x est associée une image sous forme d’ax + b.
Comprendre les Fonctions Affines
Une fonction affine, c’est une expression mathématique qui associe à chaque nombre x un nombre de la forme ax + b. Ces termes, a et b, sont des constantes. Ici, a est connu comme le coefficient directeur, tandis que b est l’ordonnée à l’origine. Dans le monde des mathématiques, ce b représente là où la droite coupe l’axe des ordonnées.
Différence entre Fonctions Affines et Linéaires
Une fonction linéaire est en réalité une fonction affine bien particulière, puisque son équation s’écrit f(x) = ax, où b est égal à zéro. Cela signifie qu’une fonction linéaire est tout simplement une pente sans déplacement vertical. Autrement dit, elle passe toujours par l’origine du graphique, c’est-à-dire le point (0, 0).
🖊️ Exemples de Fonctions Affines
Considère cette fonction affine : f(x) = 2x + 3. Ici, le coefficient directeur a est 2, et l’ordonnée à l’origine b est 3. Cela signifie que, pour chaque unité que tu engages sur l’axe des x, la valeur de y va augmenter de 2, et quand x est zéro, y sera 3.
Un autre exemple serait g(x) = -x + 5. Ici, la droite descend au lieu de monter, car le coefficient directeur est négatif.
🧠 Astuces pour Maîtriser les Fonctions Affines
🌟 Rappelle-toi que le coefficient directeur a indique la pente de la droite : s’il est positif, la droite monte, s’il est négatif, elle descend.
🌟 Utilise le point d’origine (0, b) pour dessiner la droite plus facilement sur un graphique.
Approfondir avec des Ressources en Ligne
Pour approfondir ta compréhension, explore les exercices et cours en ligne sur les fonctions affines !
Exercices de maths
Voici quelques exercices pour que tu puisses t’entraîner et comprendre mieux les concepts des fonctions affines.
Découvrir la forme d’une fonction affine
Énoncé de l’exercice
🎯 Considérons la fonction affine définie par l’expression ( f(x) = ax + b ).
Avec les valeurs suivantes : ( a = 3 ) et ( b = -5 ). Quelle est l’image de ( x = 4 ) par cette fonction ? 🤔
Indice: Substituez ( x = 4 ) dans l’expression de la fonction pour trouver la réponse. (N’oubliez pas de respecter l’ordre des opérations) !
Instructions
- 🔍 Remplace le x par 4 dans l’expression ( f(x) = ax + b ).
- ➕ Calcule le produit de a et 4.
- ➖ Ajoute la valeur de b au produit précédemment trouvé.
- ✅ Écris le résultat final qui est l’image de 4 par la fonction.
Correction
🔍 Commençons par substituer ( x ) par 4 dans l’expression de la fonction :
( f(x) = 3 times 4 – 5 ).
➕ Calculons le produit :
( 3 times 4 = 12 ).
➖ Ajoutons la valeur de ( b ) :
( 12 – 5 = 7 ).
✅ Ainsi, l’image de 4 par la fonction est 7.
Découvre les Fonctions Affines avec un Exercice Pratique !
Énoncé de l’exercice
✨ Dans cet exercice, tu devras déterminer l’expression d’une fonction affine à partir de deux points donnés. Imagine une fonction f(x) telle que les points A(1, 3) et B(4, 9) appartiennent à sa courbe. 📏 Comment exprimer f(x) sous la forme ax + b? (Astuce : Utilise la méthode de détermination du coefficient directeur et de l’ordonnée à l’origine pour t’aider. 😉)
Instructions
- 🔍 Trouve le coefficient directeur (a) en utilisant la formule :
a = (yB - yA) / (xB - xA). *Pense à bien identifier les coordonnées de chaque point.*
- 📐 Utilise une des équations des points pour déterminer l’ordonnée à l’origine (b).
- ✍️ Écris l’expression finale de la fonction sous la forme f(x) = ax + b.
Correction
🔍 Pour déterminer le coefficient directeur (a), nous utilisons la formule :
a = (yB - yA) / (xB - xA) .
Ici, les coordonnées des points sont A(1, 3) et B(4, 9). Calculons :
a = (9 - 3) / (4 - 1) = 6 / 3 = 2 📐 Avec a = 2, utilisons le point A pour trouver b :
L’équation devient :
3 = 2 * 1 + b . Donc,
b = 3 - 2 = 1 .
✍️ L’expression finale de la fonction est :
f(x) = 2x + 1
Identifiez les Caractéristiques d’une Fonction Affine
Énoncé de l’exercice
🔍 Trouvez l’expression d’une fonction affine donnée sous la forme : ( f(x) = ax + b ). Le point de passage de la droite est (3, 5) et son coefficient directeur est 2. N’oubliez pas que le coefficient directeur est la pente 📈 !
Instructions
- 🧮 Identifiez le coefficient directeur (a) de la fonction. Indice : il est donné directement.
- ✍️ Déterminez l’ordonnée à l’origine (b) en utilisant le point de passage.
- 💡 Écrivez l’expression de la fonction sous la forme : f(x) = ax + b.
Correction
📝 Étape 1 : Le coefficient directeur a est donné comme étant 2. Cela signifie que dans l’expression de la fonction affine, a = 2.
📝 Étape 2 : Pour trouver b, utilisez le point de passage (3, 5). Substituez x par 3 et f(x) par 5 dans l’équation ( f(x) = ax + b ) :
5 = 2(3) + b
🧠 Résolvez cette équation pour b :
5 = 6 + b
b = 5 – 6
b = -1
✅ Étape 3 : Vous pouvez maintenant écrire l’expression de la fonction affine :
f(x) = 2x – 1
💪 Bravo ! Vous avez déterminé que l’expression de la fonction affine est f(x) = 2x – 1.
Comprendre les fonctions affines est essentiel pour naviguer dans le monde des mathématiques de 3ème. Elles te permettent de modéliser des situations réelles avec des expressions de la forme f(x) = ax + b, où les constantes a et b jouent un rôle déterminant.
La prise en compte des fonctions linéaires, qui sont un cas particulier des fonctions affines avec b = 0, élargit ton champ de compréhension. Cela te prépare également à résoudre des problèmes plus complexes comme les systèmes d’équations linéaires.
En maîtrisant ces notions, tu développeras une base solide en mathématiques pour les années à venir. Pour approfondir ce sujet, explore les ressources disponibles pour enrichir tes compétences en cliquant sur cours de mathématiques niveau 3ème.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
