Comment calculer une longueur? – Cours de Maths 3ème

En 3ème, quatre méthodes te permettent de calculer une longueur dans une figure géométrique : le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès, la trigonométrie (sinus, cosinus, tangente) et la formule de distance entre deux points dans un repère. Chaque méthode s’applique dans un contexte précis, et savoir laquelle choisir fait souvent la différence au brevet. Ce cours complet te présente les formules, des exemples détaillés pas à pas, les erreurs à éviter et des exercices corrigés pour t’entraîner.

Calculer une longueur avec le théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore te permet de trouver la longueur d’un côté d’un triangle rectangle quand tu connais les deux autres côtés. C’est la première méthode à maîtriser au collège, et elle tombe presque chaque année au brevet des collèges.

Énoncé du théorème

Le théorème fonctionne dans les deux sens :

• Calculer l’hypoténuse : BC = √(AB² + AC²)
• Calculer un côté de l’angle droit : AB = √(BC² − AC²)

Méthode pas à pas

Pour appliquer le théorème de Pythagore sans erreur, suis ces quatre étapes :

1. Vérifie que le triangle est rectangle (symbole d’angle droit sur la figure ou indication dans l’énoncé).
2. Identifie l’hypoténuse : c’est le côté opposé à l’angle droit, le plus grand des trois côtés.
3. Écris l’égalité de Pythagore en plaçant le carré de l’hypoténuse seul d’un côté du signe =.
4. Isole l’inconnue et prends la racine carrée pour obtenir la longueur.

Exemple 1 : calculer l’hypoténuse

Soit un triangle RST rectangle en S, avec RS = 3 cm et ST = 4 cm. Calcule RT.

Exemple 2 : calculer un côté de l’angle droit

Soit un triangle EFG rectangle en F, avec EG = 13 cm et EF = 5 cm. Calcule FG.

Quand utiliser Pythagore ?

• Le triangle est rectangle (ou tu peux en construire un dans la figure)
• Tu connais deux côtés sur trois
• L’énoncé ne mentionne aucun angle aigu

Calculer une longueur avec le théorème de Thalès

Le théorème de Thalès te permet de calculer une longueur dans une configuration où deux droites parallèles coupent deux droites sécantes. Contrairement à Pythagore et à la trigonométrie, le triangle n’a pas besoin d’être rectangle. Au brevet, ce théorème tombe très régulièrement.

Énoncé du théorème

Les deux configurations classiques

Tu rencontreras deux types de figures dans les exercices :

• Configuration « triangle » : les points M et N sont sur les côtés [AB] et [AC] du triangle. Les points sont du même côté du sommet A.
• Configuration « papillon » : les points B et M sont de part et d’autre du point d’intersection A. Les deux triangles sont en position inversée.

Dans les deux cas, la méthode est la même : tu écris l’égalité des rapports et tu isoles l’inconnue par un produit en croix.

Exemple 1 : configuration « papillon »

Les droites (BM) et (CN) se coupent en A. On sait que (BC) // (MN), AB = 4 cm, AM = 6 cm et BC = 5 cm. Calcule MN.

Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur racines carrées.

Exemple 2 : configuration « triangle »

Dans le triangle ABC, M est un point de [AB] et N est un point de [AC]. On sait que (MN) // (BC), AM = 3 cm, AB = 9 cm et BC = 12 cm. Calcule MN.

La réciproque de Thalès

La réciproque du théorème de Thalès te permet de prouver que deux droites sont parallèles. Si les rapports de longueurs sont égaux et que les points sont dans le bon ordre sur chaque droite, tu peux conclure au parallélisme. C’est un outil différent : ici tu ne calcules pas une longueur, tu démontres une propriété.

Calculer une longueur avec la trigonométrie (sin, cos, tan)

La trigonométrie te permet de calculer un côté d’un triangle rectangle quand tu connais un angle aigu et un côté. C’est la méthode à utiliser dès que tu repères une mesure d’angle dans l’énoncé (autre que l’angle droit de 90°). Au brevet, la trigonométrie apparaît dans la majorité des sujets.

SOH-CAH-TOA : le moyen mnémotechnique

Voici un tableau pour choisir rapidement la bonne formule :

Tu connais	Tu cherches	Formule à utiliser
Hypoténuse + angle	Côté opposé	sin(angle) × hypoténuse
Hypoténuse + angle	Côté adjacent	cos(angle) × hypoténuse
Côté adjacent + angle	Côté opposé	tan(angle) × côté adjacent
Côté opposé + angle	Hypoténuse	côté opposé / sin(angle)
Côté adjacent + angle	Hypoténuse	côté adjacent / cos(angle)
Côté opposé + angle	Côté adjacent	côté opposé / tan(angle)

Tableau des valeurs remarquables (30°, 45°, 60°)

Certaines valeurs de sinus, cosinus et tangente reviennent très souvent dans les exercices du brevet. Apprends-les par cœur, elles te feront gagner du temps le jour de l’examen.

Angle	sin	cos	tan
30°	1/2 = 0,5	√3/2 ≈ 0,866	√3/3 ≈ 0,577
45°	√2/2 ≈ 0,707	√2/2 ≈ 0,707	1
60°	√3/2 ≈ 0,866	1/2 = 0,5	√3 ≈ 1,732

Exemples avec sin, cos, tan

Exemple avec le cosinus : Le triangle KLM est rectangle en L. On sait que KM = 10 cm et l’angle K mesure 40°. Calcule KL.

Exemple avec le sinus : Le triangle DEF est rectangle en E. On sait que DF = 8 cm et l’angle D mesure 35°. Calcule EF.

Ce point est approfondi dans notre cours sur calculs avec les racines.

Exemple avec la tangente : Le triangle PQR est rectangle en Q. On sait que PQ = 6 cm et l’angle P mesure 50°. Calcule QR.

Exemple inverse : retrouver l’hypoténuse à partir d’un côté et d’un angle. Le triangle XYZ est rectangle en Y. L’angle X mesure 25° et XY = 9 cm. Calcule XZ.

Calculer une longueur avec des coordonnées (distance entre deux points)

Quand deux points sont placés dans un repère orthonormé, tu peux calculer la distance entre eux grâce à une formule qui découle directement du théorème de Pythagore. Cette méthode apparaît dès que l’exercice te donne des coordonnées.

D’où vient cette formule ?

Imagine que tu traces le segment [AB] dans un repère. Tu peux construire un triangle rectangle en traçant un côté horizontal (de longueur |x_B − x_A|) et un côté vertical (de longueur |y_B − y_A|). Le segment [AB] devient l’hypoténuse de ce triangle rectangle. En appliquant Pythagore sur ce triangle, tu retrouves la formule de distance. C’est une application directe du théorème dans un repère.

Exemple 1 : coordonnées positives

Calcule la distance entre A(1 ; 3) et B(4 ; 7).

Exemple 2 : coordonnées négatives

Calcule la distance entre C(−3 ; 2) et D(1 ; −1).

Quelle méthode choisir ?

Face à un exercice, commence par lire les données et cherche les indices qui t’orientent vers la bonne méthode. Voici un tableau récapitulatif :

Indice dans l’énoncé	Méthode	Données nécessaires	Condition
Triangle rectangle + 2 côtés connus	Pythagore	Longueurs de 2 côtés	Triangle rectangle
Triangle rectangle + 1 angle aigu + 1 côté	Trigonométrie	1 côté + 1 angle aigu	Triangle rectangle
Droites parallèles + droites sécantes	Thalès	3 longueurs sur 4	Droites parallèles
Points dans un repère	Formule de distance	Coordonnées des 2 points	Repère orthonormé

Arbre de décision rapide

Pose-toi ces questions dans l’ordre :

1. L’énoncé donne-t-il des coordonnées ? → Formule de distance.
2. L’énoncé mentionne-t-il des droites parallèles ? → Thalès.
3. Le triangle est-il rectangle ?
   • Tu connais 2 côtés → Pythagore.
   • Tu connais 1 côté + 1 angle aigu → Trigonométrie.

Erreurs fréquentes à éviter

Voici les erreurs les plus courantes que font les élèves de 3ème sur les calculs de longueurs. Les connaître te permettra de les éviter le jour du brevet.

Pour completer, decouvre notre cours sur triangle rectangle en 3eme.

Exercices corrigés

Voici 5 exercices progressifs pour t’entraîner. Essaie de résoudre chaque exercice avant de regarder la correction.

Exercice 1 — Pythagore (niveau facile)

✅ Voir la correction

Le triangle ABC est rectangle en B, donc l’hypoténuse est AC (côté opposé à l’angle droit).

D’après le théorème de Pythagore :

AC² = AB² + BC²

AC² = 6² + 8²

AC² = 36 + 64 = 100

AC = √100 = 10 cm

Exercice 2 — Pythagore avec racine non entière (niveau moyen)

✅ Voir la correction

Le triangle MNP est rectangle en N, donc l’hypoténuse est MP.

D’après le théorème de Pythagore :

MP² = MN² + NP²

MP² = 5² + 7²

MP² = 25 + 49 = 74

1) Valeur exacte : MP = √74

2) Arrondi : MP ≈ 8,6 cm

On vérifie : 8,6 > 7 et 8,6 > 5, donc l’hypoténuse est bien le plus grand côté. Le résultat est cohérent.

Exercice 3 — Trigonométrie (niveau moyen)

✅ Voir la correction

1) Calcul de IJ :

HJ est l’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit en I).

IJ est le côté opposé à l’angle H.

On utilise le sinus : sin(H) = IJ / HJ

sin(28°) = IJ / 15

IJ = 15 × sin(28°)

IJ = 15 × 0,4695

IJ ≈ 7,0 cm

2) Calcul de HI :

HI est le côté adjacent à l’angle H.

On utilise le cosinus : cos(H) = HI / HJ

cos(28°) = HI / 15

HI = 15 × cos(28°)

HI = 15 × 0,8829

HI ≈ 13,2 cm

Vérification par Pythagore : IJ² + HI² = 7,0² + 13,2² = 49 + 174,24 = 223,24. Et HJ² = 15² = 225. Les valeurs sont proches (la différence vient des arrondis). Le résultat est cohérent.

Exercice 4 — Thalès (niveau moyen)

✅ Voir la correction

1) Calcul de NC :

AB = AM + MB = 4 + 6 = 10 cm

D’après le théorème de Thalès, comme (MN) // (BC) :

AM / AB = AN / AC

Ce sujet est détaillé dans notre cours sur les fonctions affines.

4 / 10 = 3 / AC

AC = 3 × 10 / 4 = 7,5 cm

NC = AC − AN = 7,5 − 3 = 4,5 cm

2) Calcul de MN :

AM / AB = MN / BC

4 / 10 = MN / 15

MN = 15 × 4 / 10 = 6 cm

Vérification : Le coefficient de réduction est 4/10 = 0,4. On vérifie : MN/BC = 6/15 = 0,4 et AN/AC = 3/7,5 = 0,4. Tous les rapports sont égaux. Le résultat est cohérent.

Exercice 5 — Exercice mêlant plusieurs méthodes (niveau difficile)

✅ Voir la correction

1) Calcul des longueurs :

AB = √[(3 − (−2))² + (4 − 1)²] = √[5² + 3²] = √[25 + 9] = √34 ≈ 5,83

AC = √[(−2 − (−2))² + (4 − 1)²] = √[0² + 3²] = √9 = 3

BC = √[(−2 − 3)² + (4 − 4)²] = √[(−5)² + 0²] = √25 = 5

2) Le triangle est-il rectangle ?

Le plus grand côté est AB (√34). Vérifions si AB² = AC² + BC².

AB² = 34

AC² + BC² = 9 + 25 = 34

On a AB² = AC² + BC², donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.

3) Mesure de l’angle ABC :

Dans le triangle ABC rectangle en C, par rapport à l’angle B :

AC = 3 est le côté opposé à B, et BC = 5 est le côté adjacent à B.

tan(B) = AC / BC = 3 / 5 = 0,6

B = arctan(0,6) ≈ 31°

FAQ — Questions fréquentes

Quelle est la différence entre le théorème de Pythagore et la trigonométrie ?

Le théorème de Pythagore relie les trois côtés d’un triangle rectangle entre eux, sans faire intervenir d’angle. La trigonométrie relie un angle aigu et deux côtés. Si tu connais deux côtés et que tu cherches le troisième, utilise Pythagore. Si tu connais un côté et un angle aigu, utilise la trigonométrie. Les deux méthodes s’appliquent uniquement dans un triangle rectangle.

Comment savoir si je dois utiliser sinus, cosinus ou tangente ?

Identifie les deux côtés qui interviennent (celui que tu connais et celui que tu cherches) par rapport à l’angle donné. Si les deux côtés sont l’hypoténuse et le côté opposé → sinus. Si ce sont l’hypoténuse et le côté adjacent → cosinus. Si ce sont le côté opposé et le côté adjacent (sans l’hypoténuse) → tangente. Le moyen mnémotechnique SOH CAH TOA te donne la réponse directement.

Peut-on utiliser Pythagore dans un triangle qui n’est pas rectangle ?

Non. Le théorème de Pythagore s’applique uniquement dans un triangle rectangle. Pour un triangle quelconque, il faudrait utiliser la loi des cosinus (formule d’Al-Kashi), mais cette formule fait partie du programme de Seconde. En 3ème, si le triangle n’est pas rectangle et qu’il n’y a pas de droites parallèles, cherche à construire un triangle rectangle dans la figure (par exemple en traçant une hauteur).

Comment calculer une longueur quand la racine carrée ne tombe pas juste ?

Quand la racine carrée donne un nombre irrationnel (comme √2 ou √13), tu as deux options. Soit l’énoncé demande une valeur exacte : tu laisses le résultat sous la forme √13 (c’est la réponse attendue). Soit l’énoncé demande un arrondi : tu utilises la touche √ de ta calculatrice et tu arrondis au dixième ou au centième selon la consigne. Au brevet, lis bien la question pour savoir quelle forme est attendue.

Le théorème de Thalès fonctionne-t-il dans l’autre sens ?

Oui. La réciproque du théorème de Thalès te permet de prouver que deux droites sont parallèles. Si les rapports de longueurs sont égaux et que les points sont dans le bon ordre sur chaque droite, tu peux conclure au parallélisme. Attention : tu dois vérifier que les points sont du même côté du point d’intersection (ou tous les deux de l’autre côté). Si les points sont de côtés différents et que les rapports sont égaux, les droites sont aussi parallèles (c’est la configuration papillon).