En troisième, la géométrie dans l’espace prend une nouvelle dimension : tu vas apprendre à couper des solides par des plans et à déterminer la forme exacte de la section obtenue. Cube, pavé droit, cylindre, cône, sphère… chaque solide réserve ses surprises. Cette compétence est incontournable au brevet et te sera utile bien au-delà du collège. Dans cet article, tu vas découvrir les méthodes pas à pas, les pièges à éviter et tu pourras t’entraîner avec des exercices corrigés.
C’est quoi une section de solide ?
Imagine que tu prends un couteau bien droit et que tu tranches un solide en un seul coup. La trace laissée sur le solide, c’est-à-dire la figure qui apparaît à la surface de coupe, s’appelle la section du solide par le plan de coupe.
Plus précisément, la section d’un solide par un plan est l’intersection entre ce solide et le plan. C’est toujours une figure plane (un polygone, un cercle, une ellipse…) qui dépend de deux choses :
- La forme du solide que tu coupes
- La position et l’inclinaison du plan de coupe
📐 À retenir
La section d’un solide par un plan est la figure obtenue quand on coupe ce solide par un plan. C’est l’ensemble des points qui appartiennent à la fois au solide et au plan.
Au brevet, on te demandera principalement de trouver la nature de la section (carré, rectangle, triangle, cercle…) et parfois de calculer ses dimensions.
Section d’un cube par un plan
Section parallèle à une face
C’est le cas le plus simple. Si tu coupes un cube par un plan parallèle à l’une de ses faces, tu obtiens toujours un carré dont le côté a la même longueur que l’arête du cube.
Pourquoi ? Parce qu’un plan parallèle à une face du cube coupe les quatre arêtes perpendiculaires à cette face à la même hauteur. Les quatre points d’intersection forment un carré identique à la face du cube.
📐 À retenir
Toute section d’un cube par un plan parallèle à une face est un carré de même côté que l’arête du cube.
Section par un plan passant par 3 points
C’est l’exercice classique du brevet. On te donne trois points situés sur les arêtes du cube et tu dois tracer la section. Selon la position des points, la section peut être un triangle, un quadrilatère, un pentagone ou même un hexagone.
Voici la méthode en détail :
Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur sphere et boule.
- Repère les points donnés et place-les sur la figure en perspective.
- Cherche deux points situés sur la même face du cube. Relie-les par un segment : ce segment appartient à la section et au plan de cette face.
- Prolonge les droites si nécessaire pour trouver d’autres points d’intersection avec les arêtes du cube. Utilise le fait que deux droites d’un même plan se coupent (sauf si elles sont parallèles).
- Utilise les propriétés de parallélisme : si le plan de section coupe deux faces parallèles du cube, les deux droites d’intersection sont parallèles entre elles.
- Relie tous les points d’intersection trouvés dans l’ordre pour obtenir le polygone de section.
💡 Astuce
Quand tu cherches la section d’un cube, travaille toujours face par face. Sur chaque face, les intersections se trouvent en utilisant uniquement des droites du plan de cette face. C’est la clé pour ne pas se tromper.
Cas particulier : section diagonale
Si tu coupes un cube par un plan passant par une diagonale d’une face et parallèle à l’arête opposée, tu obtiens un rectangle. Et si le plan passe par deux diagonales de faces opposées, la section est un rectangle dont l’un des côtés mesure la diagonale d’une face (a√2 pour un cube d’arête a).
Si le plan passe par les milieux de six arêtes bien choisies, tu peux même obtenir un hexagone régulier. Ce résultat surprenant est un classique à connaître.
Section d’un pavé droit
Le pavé droit (ou parallélépipède rectangle) a trois dimensions différentes : longueur, largeur et hauteur. Les sections sont donc plus variées que pour le cube.
Section parallèle à une face
Si le plan de coupe est parallèle à l’une des six faces du pavé, la section est un rectangle de mêmes dimensions que cette face. C’est exactement le même principe que pour le cube, sauf que le rectangle n’est pas forcément un carré.
📐 À retenir
Toute section d’un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle de mêmes dimensions que cette face.
Section par un plan oblique
Quand le plan n’est pas parallèle à une face, la méthode reste la même que pour le cube : tu travailles face par face, tu relies les points d’une même face, tu prolonges les droites pour trouver d’autres intersections, et tu utilises le parallélisme entre faces opposées.
Les sections possibles d’un pavé droit sont : triangle, quadrilatère (parallélogramme, trapèze, rectangle…), pentagone ou hexagone.
Section d’un cylindre
Le cylindre de révolution offre des sections très différentes selon l’inclinaison du plan de coupe.
Plan parallèle à la base
Si tu coupes un cylindre par un plan parallèle à ses bases circulaires, tu obtiens un disque (un cercle) de même rayon que la base. C’est logique : le plan coupe le cylindre exactement comme le ferait une base supplémentaire.
Plan parallèle à l’axe
Si le plan contient l’axe du cylindre ou est parallèle à cet axe, la section est un rectangle. La longueur de ce rectangle est la hauteur du cylindre, et sa largeur dépend de la distance entre le plan et l’axe. Quand le plan passe par l’axe, la largeur vaut le diamètre : c’est le plus grand rectangle possible.
Plan oblique
Si le plan est incliné par rapport à la base sans être parallèle à l’axe ni à la base, la section est une ellipse. Plus le plan est incliné, plus l’ellipse est allongée.
Ce point est approfondi dans notre cours sur cours sur les aires et volumes.
📐 À retenir
Les sections d’un cylindre de révolution sont :
– un cercle (plan parallèle à la base)
– un rectangle (plan parallèle à l’axe)
– une ellipse (plan oblique)
Section d’un cône
Le cône de révolution est le solide qui produit la plus grande variété de sections. On parle d’ailleurs de coniques pour désigner l’ensemble de ces courbes, un sujet étudié depuis l’Antiquité.
Plan parallèle à la base
Si tu coupes un cône par un plan parallèle à sa base, tu obtiens un cercle. Ce cercle est plus petit que la base : son rayon dépend de la hauteur à laquelle tu coupes. Plus tu coupes près du sommet, plus le cercle est petit.
Si le cône a un rayon de base R et une hauteur h, et que tu coupes à une hauteur k depuis la base, le rayon de la section vaut :
r = R × (h – k) / h
Plan passant par le sommet
Si le plan passe par le sommet du cône, la section est un triangle isocèle. C’est le triangle formé par deux génératrices et le diamètre de la base situé dans le plan de coupe.
Autres sections (pour aller plus loin)
Selon l’inclinaison du plan, on peut aussi obtenir une ellipse, une parabole ou une hyperbole. Ces cas ne sont pas au programme du brevet, mais c’est bon de savoir que ça existe. Au brevet, on te demandera surtout les sections parallèles à la base (cercle) et les sections passant par le sommet (triangle).
📐 À retenir
Les sections d’un cône de révolution à connaître en 3ème :
– un cercle (plan parallèle à la base)
– un triangle isocèle (plan passant par le sommet et le centre de la base)
Section d’une sphère
La sphère est le solide dont les sections sont les plus simples à décrire : quelle que soit la position du plan, tant qu’il coupe la sphère, la section est toujours un cercle.
Grand cercle
Quand le plan de coupe passe par le centre de la sphère, la section est un cercle de même rayon que la sphère. On l’appelle un grand cercle. C’est la plus grande section possible.
L’équateur terrestre est un exemple de grand cercle : c’est la section de la Terre (considérée comme une sphère) par le plan passant par son centre et perpendiculaire à l’axe des pôles.
Petit cercle
Quand le plan ne passe pas par le centre, la section est un cercle de rayon plus petit que celui de la sphère : c’est un petit cercle. Plus le plan s’éloigne du centre, plus le cercle est petit, jusqu’à se réduire à un point quand le plan est tangent à la sphère.
Pour calculer le rayon r du petit cercle, on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par le centre O de la sphère, le centre I de la section et un point M de la section :
r² = R² – d²
où R est le rayon de la sphère et d la distance du plan au centre de la sphère.
Pour completer, decouvre notre cours sur agrandissement et reduction.
📐 À retenir
Toute section d’une sphère de rayon R par un plan est un cercle.
– Si le plan passe par le centre : grand cercle de rayon R
– Si le plan est à distance d du centre : petit cercle de rayon r = √(R² – d²)
Méthode générale pour trouver une section
Voici une méthode en 4 étapes qui fonctionne pour tous les solides à faces planes (cube, pavé droit, prisme, pyramide…) :
Étape 1 : Identifier les données
Repère le solide, le plan de coupe et les points d’intersection déjà connus. Place-les soigneusement sur ta figure.
Étape 2 : Travailler face par face
Pour chaque face du solide, cherche si le plan de coupe l’intersecte. Si deux points de la section appartiennent à la même face, relie-les : le segment obtenu est un côté de la section.
Étape 3 : Utiliser le parallélisme
C’est la règle d’or : si le plan de section coupe deux faces parallèles du solide, les deux droites d’intersection sont parallèles. Cette propriété te permet de tracer des côtés de la section même quand tu n’as qu’un seul point connu sur une face.
Étape 4 : Fermer le polygone
Relie tous les points trouvés dans l’ordre (en faisant le tour du solide). Vérifie que ta section est bien un polygone fermé et que chaque côté est bien situé sur une face du solide.
💡 Astuce
Numérote les faces du solide et note sur quelle face se trouve chaque point de la section. Ça t’aide à vérifier que tu n’as oublié aucune face et que ta section est cohérente.
Erreurs fréquentes
⚠️ Erreur fréquente
Confondre section et patron. La section est la figure obtenue en coupant le solide. Le patron est le développement de toute la surface du solide à plat. Ce sont deux notions complètement différentes.
⚠️ Erreur fréquente
Tracer un segment entre deux points qui ne sont pas sur la même face. Chaque côté de la section doit appartenir à une face du solide. Si deux points sont sur des faces différentes, tu ne peux pas les relier directement : il faut d’abord trouver les points intermédiaires.
⚠️ Erreur fréquente
Oublier le parallélisme. Si deux faces du solide sont parallèles, les droites d’intersection du plan avec ces deux faces sont parallèles. C’est souvent cette propriété qui permet de terminer le tracé de la section.
⚠️ Erreur fréquente
Penser que la section d’une sphère peut être une ellipse. Non ! La section d’une sphère par un plan est toujours un cercle (ou un point si le plan est tangent). L’ellipse, c’est pour le cylindre coupé en biais.
⚠️ Erreur fréquente
Confondre le rayon de la section et le rayon de la sphère. Le rayon de la section n’est égal au rayon de la sphère que si le plan passe par le centre (grand cercle). Sinon, il faut utiliser la formule r = √(R² – d²).
Exercices corrigés
Exercice 1 : Section d’un cube
✏️ Exercice
ABCDEFGH est un cube d’arête 6 cm. On coupe ce cube par un plan parallèle à la face ABCD passant par le milieu de l’arête [AE]. Quelle est la nature et les dimensions de la section obtenue ?
✅ Voir la correction
Le plan est parallèle à la face ABCD, donc la section est un carré.
Ce sujet est détaillé dans notre cours de géométrie dans l’espace.
Puisque le plan est parallèle à une face du cube, la section a les mêmes dimensions que cette face.
La section est un carré de côté 6 cm.
Exercice 2 : Section d’une sphère
✏️ Exercice
Une sphère a un rayon de 10 cm. On la coupe par un plan situé à 6 cm de son centre. Calcule le rayon de la section obtenue.
✅ Voir la correction
La section d’une sphère par un plan est un cercle. On utilise la formule :
r² = R² – d²
r² = 10² – 6² = 100 – 36 = 64
r = √64 = 8 cm
Le rayon de la section est de 8 cm.
Exercice 3 : Section d’un cylindre
✏️ Exercice
Un cylindre de révolution a un rayon de 5 cm et une hauteur de 12 cm. On le coupe par un plan passant par son axe. Quelle est la nature et les dimensions de la section ?
✅ Voir la correction
Le plan passe par l’axe du cylindre, donc il contient l’axe et coupe les deux bases en deux diamètres.
La section est un rectangle.
Sa longueur est la hauteur du cylindre : 12 cm.
Sa largeur est le diamètre de la base : 2 × 5 = 10 cm.
La section est un rectangle de dimensions 12 cm × 10 cm.
Exercice 4 : Section d’un cône
✏️ Exercice
Un cône de révolution a un rayon de base de 9 cm et une hauteur de 12 cm. On le coupe par un plan parallèle à la base, situé à 4 cm au-dessus de la base. Quel est le rayon de la section ?
✅ Voir la correction
La section est un cercle (plan parallèle à la base).
Le plan est situé à 4 cm de la base, donc à une distance de 12 – 4 = 8 cm du sommet.
On utilise le rapport de réduction : r / R = distance au sommet / hauteur totale
r / 9 = 8 / 12
r = 9 × 8 / 12 = 72 / 12 = 6 cm
Le rayon de la section est de 6 cm.
Exercice 5 : Section d’un cube par 3 points
✏️ Exercice
ABCDEFGH est un cube (ABCD face du bas, EFGH face du haut, A sous E, B sous F, etc.). M est le milieu de [AB], N est le milieu de [BC] et P est le milieu de [EH]. Détermine la nature de la section du cube par le plan (MNP).
✅ Voir la correction
Étape 1 : M et N sont sur la face ABCD. On trace le segment [MN].
Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur pyramides et cones en 4eme.
Étape 2 : La face ABCD est parallèle à la face EFGH. Donc la droite d’intersection du plan avec la face EFGH est parallèle à (MN). On connaît P sur la face EFGH, donc on trace par P la parallèle à (MN) : elle coupe [EF] en un point Q (milieu de [EF]) et [GH] en un point situé hors de la face (on vérifie les positions).
Étape 3 : P est le milieu de [EH]. Par P, la parallèle à (MN) passe par le milieu de [FG], appelons-le Q’. Vérifions : MN relie les milieux de [AB] et [BC], sa direction est la même que la diagonale [AC]. La parallèle par P dans la face EFGH relie P (milieu de [EH]) au milieu de [FG], soit Q’.
Étape 4 : On cherche les intersections sur les faces latérales. M est sur [AB] (face ABFE) et P est sur [EH] (face AEHD). Il faut trouver les points sur les faces latérales.
Sur la face AEHD : P est milieu de [EH], et la section doit rejoindre le tracé. Sur la face ABFE : M est milieu de [AB].
La section est le quadrilatère MNPQ’ (avec Q’ milieu de [FG]). C’est un parallélogramme car (MN) est parallèle à (PQ’) et (MP) est parallèle à (NQ’).
FAQ
La section d’un solide est-elle toujours un polygone ?
Non. La section est un polygone uniquement pour les solides à faces planes (cube, pavé, prisme, pyramide). Pour les solides de révolution (cylindre, cône, sphère), les sections sont des figures courbes : cercles, ellipses, paraboles ou hyperboles.
Combien de côtés peut avoir la section d’un cube ?
La section d’un cube peut avoir 3, 4, 5 ou 6 côtés. Un cube a 6 faces, et le plan de coupe peut intersecter au maximum 6 faces, ce qui donne un hexagone. Le minimum est 3 (un triangle, quand le plan coupe seulement 3 faces).
Comment savoir si la section est un carré ou un rectangle ?
Pour un cube, si le plan est parallèle à une face, la section est toujours un carré. Pour un pavé droit, la section parallèle à une face est un rectangle qui est un carré uniquement si la face en question est carrée. Dans les autres cas, il faut calculer les longueurs des côtés de la section pour conclure.
La section d’une sphère peut-elle être une ellipse ?
Non, jamais. La section d’une sphère par un plan est toujours un cercle. C’est une propriété fondamentale de la sphère : toutes les directions y sont équivalentes. L’ellipse apparaît comme section d’un cylindre ou d’un cône, pas d’une sphère.
Les sections tombent-elles souvent au brevet ?
Oui, c’est un classique. Les exercices portent le plus souvent sur la section d’une sphère (calcul du rayon avec Pythagore) ou sur la section d’un cône par un plan parallèle à la base (avec le rapport de réduction). Les sections de cubes par des plans passant par 3 points sont plus rares mais apparaissent dans les sujets ambitieux.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
