Comment savoir si un triangle est un triangle rectangle? Retrouve les propriétés du théorème de Pythagore, des angles complémentaires et bien plus pour maîtriser ton cours de mathématiques en 3ème facilement.
Qu’est-ce qu’un triangle rectangle ?
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit, c’est-à-dire un angle de 90°. Dans ce triangle, les deux autres angles sont appelés angles aigus et leur somme est également égale à 90°. Les deux côtés qui forment l’angle droit se nomment cathètes, et le côté opposé à cet angle est appelé hypoténuse.
En général, on désigne ce type de triangle par les sommets A, B et C, avec l’angle droit souvent en A. Le côté AB est une cathète, tout comme AC, tandis que BC est l’hypoténuse.
Le Théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore est l’une des propriétés fondamentales des triangles rectangles. Il stipule que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Autrement dit, si ABC est un triangle rectangle en A, alors tu as la relation suivante : BC² = AB² + AC².
🎓 Exemple : Si AB = 3 cm et AC = 4 cm dans un triangle rectangle, alors l’hypoténuse BC mesure 5 cm, car 3² + 4² = 9 + 16 = 25, et √25 = 5.
Démontrer qu’un triangle est rectangle
Pour montrer qu’un triangle est rectangle, tu peux utiliser la réciproque du théorème de Pythagore. Cela signifie que si la somme des carrés des longueurs de deux côtés est égale au carré de la longueur du troisième côté, alors le triangle est rectangle.
👀 Astuces : N’oublie pas d’identifier correctement les côtés du triangle avant d’appliquer le théorème ! L’hypoténuse est toujours le plus grand côté du triangle.
Propriétés particulières des triangles rectangles
Un triangle rectangle isocèle possède deux côtés égaux, ce qui signifie que ses deux angles aigus mesurent 45°. Dans ce cas, la médiane relative à l’hypoténuse est aussi la moité de l’hypoténuse elle-même, ce qui est une propriété unique de ce type de triangle.
En plus, dans n’importe quel triangle rectangle inscrit dans un demi-cercle, l’hypoténuse est le diamètre du cercle. Cela est très utile pour des démonstrations géométriques.
Les applications et lien vers des ressources
Tu peux utiliser les propriétés des triangles rectangles pour résoudre une variété de problèmes en géométrie, comme calculer des longueurs manquantes ou déterminer les angles d’un triangle. Si tu souhaites approfondir tes connaissances ou t’entraîner avec des exercices, n’hésite pas à visiter IniMath.
Exercices de maths
Ci-dessous, tu trouveras quelques exercices pour t’entraîner et renforcer tes compétences en mathématiques. Amuse-toi bien !
Utiliser le Théorème de Pythagore dans un Triangle Rectangle
Énoncé de l’exercice
🔺 Considérons un triangle ABC rectangle en A. La longueur du côté AB est de 3 cm et celle du côté AC est de 4 cm. 💡 Trouvez la longueur de l’hypoténuse BC en utilisant le théorème de Pythagore.
Instructions
- 📐 Calculez la somme des carrés des longueurs des côtés AB et AC.
- ➕ Additionnez les résultats pour obtenir le carré de l’hypoténuse, BC.
- ➗ Prenez la racine carrée du résultat obtenu pour trouver la longueur de BC. Assurez-vous de ne pas oublier ce dernier calcul.
Correction
🔎 Étape 1 : Calculons le carré des longueurs des côtés. Nous avons :
– AB² = 3² = 9
– AC² = 4² = 16
🔄 Étape 2 : Additionnons ces résultats pour obtenir le carré de la longueur de BC :
AB² + AC² = 9 + 16 = 25
✔️ Étape 3 : Prenons la racine carrée pour obtenir la longueur de BC :
BC = √25 = 5 cm
Votre réponse finale pour la longueur de l’hypoténuse BC est 5 cm. 🏆
Propriétés du triangle rectangle : Théorème de Pythagore
Énoncé de l’exercice
Dans le triangle rectangle ABC (rectangle en A), les longueurs des côtés sont : AB = 3 cm, AC = 4 cm et BC est l’hypoténuse. 🤔
Astuce: Utilise le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de l’hypoténuse. 📐
Instructions
- 🔍 Identifie clairement les côtés du triangle rectangle : les deux côtés perpendiculaires et l’hypoténuse.
- 📏 Applique le théorème de Pythagore : a² + b² = c² pour calculer la longueur de l’hypoténuse BC.
- 📝 Assure-toi de bien suivre chaque étape de l’équation pour une solution précise.
Correction
✅ Première étape : Dans le triangle ABC, identifions les côtés. Les côtés perpendiculaires sont AB = 3 cm et AC = 4 cm. L’hypoténuse est BC.
🔢 Appliquons le théorème de Pythagore : a² + b² = c². Nous avons donc 3² + 4² = BC².
Calculons : 3² = 9 et 4² = 16. Par conséquent, 9 + 16 = BC².
💡 Donc, 25 = BC². Pour trouver BC, il suffit de prendre la racine carrée de 25.
🌟 Calcul final : BC = √25 = 5 cm.
La longueur de l’hypoténuse BC est donc 5 cm.
Application du théorème de Pythagore dans un triangle rectangle
Énoncé de l’exercice
Considérez un triangle rectangle ABC ayant un angle droit en A. Les longueurs des côtés sont : AB = 3 cm et AC = 4 cm. 🌟 Trouvez la longueur de l’hypoténuse BC en utilisant le théorème de Pythagore. Indice : Rappelez-vous que dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. 📏
Instructions
- 🔍 Calculez le carré de la longueur de chaque côté qui forme l’angle droit.
- ➕ Additionnez les deux résultats obtenus à l’étape précédente pour obtenir le carré de l’hypoténuse.
- ✅ Trouvez la racine carrée de cette somme pour déterminer la longueur de l’hypoténuse.
- ✏️ Interprétez le résultat dans le contexte de l’énoncé pour vérifier la plausibilité physique de votre réponse.
Correction
🖋️ Étape 1 : Calculons les carrés des deux côtés adjacents à l’angle droit :
AB² = 3² = 9
AC² = 4² = 16
🔄 Étape 2 : Additionnons ces deux résultats :
9 + 16 = 25
📏 Étape 3 : Calculons la racine carrée de 25 pour obtenir la longueur de l’hypoténuse :
BC = √25 = 5 cm
🌟 Réponse finale : La longueur de l’hypoténuse BC est de 5 cm.
🙌 Ainsi, l’application du théorème de Pythagore confirme que le résultat est correct!
Conclusion
Tu as découvert que le triangle rectangle possède des propriétés fascinantes. Notamment, le théorème de Pythagore t’a montré comment le carré de l’hypoténuse est une somme précise des carrés des deux autres côtés. Cet outil mathématique est fondamental dans la géométrie du plan.
Ainsi, en t’appuyant sur ces propriétés géométriques, tu pourras résoudre divers problèmes, démontrer l’importance de certains angles et comprendre les configurations spatiales plus élargies. N’hésite pas à te référer à d’autres ressources pour enrichir tes concepts en géométrie.
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Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.