Comment faire un développement en maths? Comment transformer un produit en une somme algébrique? En 3ème, maîtriser le développement d’une expression littérale te permet de simplifier tes calculs grâce à la double distributivité et aux identités remarquables.
C’est quoi développer une expression?
L’objectif du développement d’une expression en mathématiques est de transformer cette expression en une somme algébrique. Autrement dit, on passe d’un produit de facteurs à une somme de termes. Pour ce faire, on utilise principalement les formules de la distributivité, qui sont des outils pour développer les expressions.
La distributivité s’exprime de manière simple: a(b + c) = ab + ac. Cette règle te permet de distribuer la multiplication sur chaque terme à l’intérieur de la parenthèse. Dans la pratique, cette technique est très utile pour simplifier et ordonner les calculs.
Pour illustrer le développement, voyons quelques exemples concrets.
👨🏫 Exemple 1 : Développer l’expression 2x(x + 3).
En appliquant la loi de distributivité, on obtient : 2x * x + 2x * 3 = 2x² + 6x.
👨🏫 Exemple 2 : Considérons –7y²(–5 – 2y²).
En appliquant la méthode, cela donne : –7y² * (–5) + (–7y²) * (–2y²) = 35y² + 14y⁴.
✨ Astuce 1 : Lorsque tu développes, vérifie toujours que chaque terme a été correctement multiplié. Cela t’évitera des erreurs inattendues.
✨ Astuce 2 : Utilise les identités remarquables pour simplifier ton développement. Par exemple, (a+b)² = a² + 2ab + b² est très pratique pour traiter certaines expressions.
Exercices pour réussir et comprendre le développement
La pratique est bien pour assimiler le développement. Tu peux essayer ces exercices :
📝 Exercice 1 : Développe et réduis l’expression suivante : (3x + 1)(4x + 2) – 5(2x – 3)
📝 Exercice 2 : Transforme cette expression en somme algébrique : (4x – 1)(5x – 3) + 7(3x – 1)
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Exercices de maths
Voici quelques exercices pour t’entraîner. Amuse-toi et applique les leçons de développement et de factorisation !
Exercice de développement et réduction 3ème
Énoncé de l’exercice
📝 Dans cet exercice, tu vas devoir développer et réduire une expression littérale en utilisant la double distributivité et les identités remarquables !
Les expressions à développer sont les suivantes :
A = (3x + 1)(4x + 2) – 5(2x – 3)
B = (4x – 1)(5x – 3) + 7(3x – 1)
👉 Indice : Rappelle-toi des règles de distributivité pour bien développer chaque terme ! 🌟
Instructions
- 🔍 Identifie les termes de chaque expression qui nécessitent une application de la double distributivité.
- 🖋️ Développe chaque produit pour obtenir une somme algébrique.
- Par exemple, pour (a+b)(c+d), utilise (a*c) + (a*d) + (b*c) + (b*d).
- Par exemple, pour (a+b)(c+d), utilise (a*c) + (a*d) + (b*c) + (b*d).
- ✂️ Réduis les termes similaires pour simplifier l’expression finale.
- 🧮 Si possible, ordonne la somme algébrique par ordre décroissant des puissances de x.
- Par exemple, pour (a+b)(c+d), utilise (a*c) + (a*d) + (b*c) + (b*d).
Correction
🔍 Pour l’Expression A : (3x + 1)(4x + 2) – 5(2x – 3)
1️⃣ Développons (3x + 1)(4x + 2) :
a. (3x * 4x) = 12x²
b. (3x * 2) = 6x
c. (1 * 4x) = 4x
d. (1 * 2) = 2
👉 Ceci nous donne : 12x² + 6x + 4x + 2
2️⃣ Simplifions ce qui a été développé : 12x² + 10x + 2
3️⃣ Développons -5(2x – 3) :
a. (-5 * 2x) = -10x
b. (-5 * -3) = 15
👉 Le résultat est : -10x + 15
4️⃣ Réunissons les résultats : 12x² + 10x + 2 – 10x + 15
5️⃣ Réduisons en simplifiant : 12x² + 17
🔍 Pour l’Expression B : (4x – 1)(5x – 3) + 7(3x – 1)
1️⃣ Développons (4x – 1)(5x – 3) :
a. (4x * 5x) = 20x²
b. (4x * -3) = -12x
c. (-1 * 5x) = -5x
d. (-1 * -3) = 3
👉 Ce qui nous donne : 20x² – 12x – 5x + 3
2️⃣ Réduisons : 20x² – 17x + 3
3️⃣ Développons 7(3x – 1) :
a. (7 * 3x) = 21x
b. (7 * -1) = -7
👉 Le résultat est : 21x – 7
4️⃣ Réunissons les résultats : 20x² – 17x + 3 + 21x – 7
5️⃣ Réduisons en simplifiant : 20x² + 4x – 4
Développer et réduire une expression littérale en 3ème
Énoncé de l’exercice
Considérons l’expression suivante : A = 3(x + 4) – 2(x – 5). 🤔 N’oublie pas de transcrire chaque étape de calcul avec soin. 🚀
Développe et réduit cette expression pour obtenir une somme algébrique simplifiée. Utilise tes connaissances en développement et réduction pour y arriver ! 😊
Instructions
- 🎯 Distribue chaque terme dans les parenthèses en utilisant la loi de distributivité : Prends chaque terme à l’intérieur de la parenthèse et multiplie-le par le coefficient à l’extérieur.
- 🔍 Réduit les termes similaires : additionne ou soustrais les termes similaires pour simplifier l’expression.
Correction
📝 Première étape : Appliquer la distributivité pour chaque terme.
– Pour 3(x + 4), on distribue 3 :
3 * x + 3 * 4 = 3x + 12.
– Pour -2(x – 5), on distribue -2 :
-2 * x + (-2) * (-5) = -2x + 10.
🧮 Ensuite, on regroupe tous les termes issus des développements :
3x + 12 – 2x + 10.
📉 Réduction : Regrouper les termes similaires pour obtenir une expression simplifiée.
– Combine les termes en x : 3x – 2x = x.
– Combine les termes constants : 12 + 10 = 22.
➡️ Réponse finale simplifiée : x + 22
Exercice 3 de développement
Énoncé de l’exercice
🐢 Développez et réduisez l’expression suivante :
A = (3x + 2)(5x – 4) – 2(x – 3)(x + 1).
💡 Astuce : Souvenez-vous des règles de la distributivité et des identités remarquables !
Instructions
- 🔍 Évaluez chaque produit en appliquant la double distributivité.
- Exemple : Pour (a + b)(c + d), recherchez a*c, a*d, b*c et b*d.
Attention à bien garder les signes !
- Exemple : Pour (a + b)(c + d), recherchez a*c, a*d, b*c et b*d.
- 🧮 Regroupez les termes semblables.
- ✍️ Réduisez l’expression pour obtenir le résultat final.
- Exemple : Pour (a + b)(c + d), recherchez a*c, a*d, b*c et b*d.
Correction
🌟 Étape 1 : Développons le premier terme. Pour l’expression (3x + 2)(5x – 4) :
– 3x * 5x = 15x²
– 3x * (-4) = -12x
– 2 * 5x = 10x
– 2 * (-4) = -8
Nouveaux termes : 15x² – 12x + 10x – 8
🌟 Étape 2 : Développons le second terme. Pour l’expression -2(x – 3)(x + 1) :
– x * x = x²
– x * 1 = x
– (-3) * x = -3x
– (-3) * 1 = -3
– Appliquer le -2 : -2(x² + x – 3x – 3) = -2x² – 2x + 6x + 6
🌟 Étape 3 : Regroupez et réduisez les termes de l’expression complète :
A = 15x² – 12x + 10x – 8 – 2x² – 2x + 6x + 6
= (15x² – 2x²) + (-12x + 10x – 2x + 6x) + (-8 + 6)
= 13x² + 2x – 2
Voilà, vous avez désormais votre expression simplifiée ! 🎉
Conclusion
Tu l’as vu, le développement d’une expression littérale est une compétence mathématique en classe de 3ème. En maîtrisant la double distributivité et les identités remarquables, tu transformes des produits complexes en somme algébrique lisible.
La réduction d’une expression littérale te permet de la simplifier, ce qui est fondamental pour mieux comprendre et résoudre des problèmes. Approfondir ces notions te donnera une base solide pour progresser en mathématiques, et surtout, pour aborder la 2nde avec plus de sérénité.
Pour t’exercer davantage, n’hésite pas à consulter des ressources supplémentaires sur notre site, dédiées au cours de maths 3ème.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
