En classe de 3eme, la géométrie dans l’espace prend une dimension nouvelle. Tu ne te contentes plus d’observer des solides : tu apprends a les couper par des plans et a determiner la forme exacte de la section obtenue. Ce chapitre est incontournable pour le brevet et te demande a la fois de la vision dans l’espace et de la rigueur dans les constructions. Tu vas apprendre comment sectionner un cube, un cylindre, un cone et une sphere, et surtout quelle figure plane apparait a chaque fois selon la position du plan de coupe.
Les solides de l’espace
Avant de sectionner des solides, tu dois parfaitement connaitre leurs caracteristiques. Voici les cinq solides fondamentaux du programme de 3eme.
Le cube
Le cube possede 6 faces carrées, 12 aretes de meme longueur et 8 sommets. Toutes ses faces sont perpendiculaires entre elles. C’est le solide le plus régulier parmi les parallelepipedes. En perspective cavaliere, on le represente avec les aretes cachees en pointilles et les faces avant parallèles au plan de la feuille.
Le pave droit (parallelepipede rectangle)
Le pave droit possede 6 faces rectangulaires, 12 aretes et 8 sommets. Ses faces sont perpendiculaires deux a deux. Le cube est un cas particulier de pave droit ou toutes les aretes ont la meme longueur. On utilise trois dimensions pour le decrire : longueur, largeur et hauteur.
Le cylindre de revolution
Le cylindre de revolution est engendre par la rotation d’un rectangle autour d’un de ses cotes. Il possede deux bases circulaires parallèles et identiques, reliees par une surface laterale courbe. On le caracterise par le rayon r de ses bases et sa hauteur h. Son volume est V = πr²h.
Le cone de revolution
Le cone de revolution est engendre par la rotation d’un triangle rectangle autour d’un de ses cotes de l’angle droit. Il possede une base circulaire et un sommet (ou apex). On le decrit par le rayon r de sa base, sa hauteur h et son apotheme (la longueur du segment joignant le sommet a un point du cercle de base). Son volume est V = (1/3)πr²h.
La sphere
La sphere est l’ensemble des points de l’espace situes a une meme distance R (le rayon) d’un point fixe (le centre). Attention : la sphere est une surface, pas un volume. Le volume qu’elle delimite s’appelle la boule. Le volume de la boule est V = (4/3)πR³ et l’aire de la sphere est A = 4πR².
| Solide | Faces | Aretes | Sommets | Volume |
|---|---|---|---|---|
| Cube (cote a) | 6 | 12 | 8 | a³ |
| Pave droit (L, l, h) | 6 | 12 | 8 | L × l × h |
| Cylindre (r, h) | 3 (2 bases + laterale) | 2 | 0 | πr²h |
| Cone (r, h) | 2 (base + laterale) | 1 | 1 | (1/3)πr²h |
| Sphere (R) | 1 (courbe) | 0 | 0 | (4/3)πR³ |
Sections planes d’un cube
Sectionner un cube par un plan, c’est imaginer qu’on le coupe avec une lame parfaitement plate. La figure obtenue depend de la position du plan par rapport aux faces et aux aretes du cube.
Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur sections de solides.
A retenir
La section d’un cube par un plan est toujours un polygone. Selon l’orientation du plan, on peut obtenir : un carré, un rectangle, un triangle, un losange, un pentagone ou un hexagone.
Section par un plan parallèle a une face : le plan coupe le cube en formant un carré de meme dimension que la face. C’est le cas le plus simple.
Section par un plan passant par une diagonale de face : si le plan passe par une diagonale d’une face et est perpendiculaire a cette face, la section est un rectangle. Par exemple, dans le cube ABCDEFGH, le plan passant par la diagonale AC de la face ABCD et perpendiculaire a cette face donne un rectangle.
Section par un plan passant par trois sommets non coplanaires avec une face : on obtient souvent un triangle. Par exemple, le plan passant par A, F et H (trois sommets non situes sur une meme face) coupe le cube en un triangle équilatéral.
Section hexagonale : si le plan coupe les six faces du cube, la section est un hexagone. En coupant par le plan perpendiculaire a la grande diagonale du cube et passant par son centre, on obtient un hexagone régulier.
Astuce
Pour construire une section sur un dessin en perspective, utilise cette regle : deux plans parallèles coupent un troisieme plan selon deux droites parallèles. Si tu connais la direction de la section sur une face, tu peux tracer des parallèles sur les faces adjacentes pour retrouver les autres points de la section.
Sections planes d’un cylindre
Les sections d’un cylindre de revolution dependent de l’angle entre le plan de coupe et l’axe du cylindre.
Plan perpendiculaire a l’axe : la section est un cercle de meme rayon que la base du cylindre. C’est la coupe « horizontale » la plus naturelle.
Plan parallèle a l’axe : si le plan est parallèle a l’axe et coupe le cylindre, la section est un rectangle dont la longueur est egale a la hauteur du cylindre et la largeur depend de la distance du plan a l’axe. Quand le plan passe par l’axe, on obtient le rectangle le plus grand possible (largeur egale au diametre).
Plan oblique (ni parallèle ni perpendiculaire a l’axe) : la section est une ellipse. Plus le plan est incline par rapport a la base, plus l’ellipse est allongee. Quand l’inclinaison est faible (plan presque horizontal), l’ellipse ressemble a un cercle.
A retenir
Les sections d’un cylindre de revolution sont : un cercle (plan perpendiculaire a l’axe), un rectangle (plan parallèle a l’axe), ou une ellipse (plan oblique par rapport a l’axe).
Sections planes d’un cone
Les sections d’un cone de revolution sont particulierement riches et portent le nom de coniques. Elles ont ete etudiees depuis l’Antiquite par les mathematiciens grecs, notamment Apollonius de Perge.
Plan perpendiculaire a l’axe : la section est un cercle. Son rayon depend de la distance entre le plan et le sommet du cone. Plus le plan est proche du sommet, plus le cercle est petit.
Ce point est approfondi dans notre cours sur cours sur la sphere.
Plan oblique ne coupant pas la base : la section est une ellipse. Si le plan coupe toutes les generatrices du cone (les droites reliant le sommet au cercle de base) d’un meme cote, on obtient cette courbe fermee.
Plan parallèle a une generatrice : la section est une parabole. C’est le cas limite entre l’ellipse et l’hyperbole.
Plan parallèle a l’axe (coupant les deux nappes du cone) : si on prolonge le cone au-dela de son sommet (cone double), un plan suffisamment incline coupe les deux nappes et donne une hyperbole.
Cas particulier : un plan passant par le sommet du cone donne soit un point (si le plan ne touche que le sommet), soit une droite (si le plan contient une generatrice), soit deux droites (si le plan contient deux generatrices opposees).
| Position du plan | Section obtenue |
|---|---|
| Perpendiculaire a l’axe | Cercle |
| Oblique, coupe toutes les generatrices | Ellipse |
| Parallèle a une generatrice | Parabole |
| Coupe les deux nappes | Hyperbole |
| Passe par le sommet | Point, droite ou deux droites |
Sections planes d’une sphere
La section d’une sphere par un plan est toujours un cercle (ou un point dans le cas limite ou le plan est tangent a la sphere). C’est une propriété remarquable et tres simple a retenir.
A retenir
La section d’une sphere de centre O et de rayon R par un plan situe a une distance d du centre est un cercle de rayon r = √(R² – d²), a condition que d < R. Si d = R, la section est un point (le plan est tangent). Si d > R, il n’y a pas d’intersection.
Le cercle de section le plus grand possible est obtenu quand le plan passe par le centre de la sphere (d = 0). Dans ce cas, r = R : on obtient un grand cercle. L’equateur terrestre, les meridiens et tout cercle passant par le centre de la Terre sont des grands cercles.
Les cercles de section qui ne passent pas par le centre sont appeles petits cercles. Les parallèles terrestres (sauf l’equateur) en sont des exemples : le tropique du Cancer, le tropique du Capricorne, les cercles polaires.
Pour calculer le rayon de la section, tu utilises le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle forme par le centre O de la sphere, le centre O’ du cercle de section, et un point quelconque du cercle de section. On a : R² = d² + r², donc r = √(R² – d²).
Méthode pour construire une section
Construire une section plane d’un solide en perspective cavaliere demande de la méthode. Voici les etapes a suivre systematiquement.
Pour completer, decouvre notre cours sur aires et volumes.
- Identifie les points d’intersection connus : repère les points ou le plan de coupe croise les aretes du solide. Ce sont les sommets de la section.
- Utilise les propriétés de parallelisme : si deux aretes du solide sont parallèles et que le plan coupe l’une d’elles, la trace du plan sur les faces contenant ces aretes sera parallèle. Deux plans parallèles coupent un troisieme plan selon deux droites parallèles.
- Travaille face par face : sur chaque face du solide, la section est un segment de droite (puisque l’intersection d’un plan avec un autre plan est une droite). Determine la direction de ce segment en utilisant les points deja trouves ou le parallelisme.
- Relie les points : une fois tous les points d’intersection identifies, relie-les dans l’ordre pour former le polygone de section.
- Vérifié la coherence : le nombre de cotes de la section est egal au nombre de faces du solide que le plan traverse.
Astuce
Quand tu bloques sur une construction, cherche d’abord les points faciles (milieux d’aretes, points aux trois quarts, etc.), puis utilise la regle du parallelisme pour propager la construction aux faces voisines. Un plan qui coupe deux aretes parallèles le fait a la meme proportion sur chacune.
Erreurs frequentes
️ Erreur frequente
Confondre sphere et boule. La sphere est la surface (l’enveloppe), la boule est le volume (l’interieur + la surface). On calcule l’aire d’une sphere mais le volume d’une boule. Quand on parle de section, on coupe la sphere (la surface) et on obtient un cercle, pas un disque.
️ Erreur frequente
Dessiner des sections courbes sur un cube. La section d’un cube par un plan est toujours un polygone a cotes droits. On n’obtient jamais de courbe. Les sections courbes (cercles, ellipses) n’apparaissent que pour les solides a surface courbe (cylindre, cone, sphere).
️ Erreur frequente
Oublier que les aretes cachees existent. En perspective cavaliere, les aretes cachees sont en pointilles, mais elles sont bien presentes. Le plan de coupe peut passer par des points situes sur des aretes cachees. N’oublie pas de les prendre en compte dans ta construction.
️ Erreur frequente
Appliquer la formule r = √(R² – d²) sans vérifier que d < R. Si la distance du centre au plan est supérieure ou egale au rayon, il n’y a pas de section circulaire. Vérifié toujours cette condition avant de calculer.
Exercices corriges
Exercice 1 : Section d’un cube par les milieux
️ Exercice
Soit ABCDEFGH un cube d’arete 6 cm. On note I le milieu de [AB], J le milieu de [BC] et K le milieu de [BF]. Determine la nature de la section du cube par le plan (IJK).
Voir la correction
I est le milieu de [AB] et J le milieu de [BC]. Dans la face ABCD, le segment [IJ] est la section du plan avec cette face.
K est le milieu de [BF]. Le segment [IK] est dans la face ABFE et le segment [JK] est dans la face BCGF.
Le plan (IJK) coupe trois faces du cube. La section est donc le triangle IJK.
Calculons les longueurs : IB = 3 cm, JB = 3 cm, KB = 3 cm. Le triangle IBJ est rectangle isocele en B, donc IJ = 3√2 cm. De meme, IK = 3√2 cm et JK = 3√2 cm.
La section est un triangle équilatéral de cote 3√2 cm.
Exercice 2 : Section d’une sphere
️ Exercice
Une sphere de centre O a un rayon de 10 cm. Un plan coupe cette sphere a une distance de 6 cm du centre. Calcule le rayon du cercle de section.
Voir la correction
On applique la formule r = √(R² – d²) avec R = 10 cm et d = 6 cm.
Ce sujet est détaillé dans notre cours sur les agrandissements.
r = √(10² – 6²) = √(100 – 36) = √64 = 8 cm.
Le cercle de section a un rayon de 8 cm.
Exercice 3 : Section d’un cylindre
️ Exercice
Un cylindre de revolution a un rayon de 5 cm et une hauteur de 12 cm. Un plan parallèle a l’axe du cylindre passe a 3 cm de cet axe. Quelle est la nature de la section ? Calcule ses dimensions.
Voir la correction
Un plan parallèle a l’axe d’un cylindre donne une section rectangulaire.
La hauteur du rectangle est egale a la hauteur du cylindre : 12 cm.
Pour la largeur, on considere la coupe transversale (un cercle de rayon 5 cm) et la corde situee a 3 cm du centre. La demi-largeur vaut √(5² – 3²) = √(25 – 9) = √16 = 4 cm.
La largeur totale du rectangle est donc 2 × 4 = 8 cm.
La section est un rectangle de dimensions 12 cm × 8 cm.
Exercice 4 : Section d’un cone
️ Exercice
Un cone de revolution a un sommet S, une base circulaire de rayon 9 cm et une hauteur de 12 cm. Un plan perpendiculaire a l’axe coupe le cone a 4 cm du sommet. Calcule le rayon du cercle de section.
Voir la correction
Un plan perpendiculaire a l’axe d’un cone donne un cercle. On utilise le théorème de Thales (ou la proportionnalite dans un triangle).
Le sommet S est a 12 cm de la base. Le plan coupe l’axe a 4 cm du sommet, donc a 12 – 4 = 8 cm de la base.
Par le théorème de Thales, le rayon r de la section est proportionnel a la distance au sommet : r / 9 = 4 / 12.
r = 9 × 4 / 12 = 36 / 12 = 3 cm.
Le cercle de section a un rayon de 3 cm.
Exercice 5 : Nature d’une section
️ Exercice
Soit ABCDEFGH un cube d’arete 4 cm. On note M le milieu de [AE], N le milieu de [CG] et P le point tel que BP = (3/4) BF. Le plan (MNP) coupe le cube. Determine la nature et les dimensions de la section.
Voir la correction
Placons-nous dans un repère. A = (0,0,0), B = (4,0,0), C = (4,4,0), D = (0,4,0), E = (0,0,4), F = (4,0,4), G = (4,4,4), H = (0,4,4).
M est le milieu de [AE] : M = (0, 0, 2).
N est le milieu de [CG] : N = (4, 4, 2).
P est tel que BP = (3/4) BF : P = (4, 0, 3).
M et N sont tous les deux a la hauteur z = 2, et P est a z = 3. Le plan n’est donc pas horizontal. On cherche son équation. Deux vecteurs du plan sont MN = (4, 4, 0) et MP = (4, 0, 1).
Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur pyramides et cones en 4eme.
Le plan coupe les faces du cube. En analysant face par face, on determine que le plan traverse quatre faces et la section est un quadrilatere. M est sur l’arete [AE], N sur [CG], P sur [BF]. Le plan coupe aussi l’arete [DH] en un point Q.
Par le parallelisme (les aretes [AE] et [CG] sont parallèles, de meme que [BF] et [DH]), Q est le point de [DH] tel que DQ = (1/4) DH, soit Q = (0, 4, 1). Mais verifions que Q appartient au plan MNP.
En fait, par symétrie du problème et en calculant precisement, Q = (0, 4, 1). La section MPNQ est un quadrilatere. MN et PQ sont parallèles (car les deux joignent des points sur des aretes parallèles), et MP et NQ sont parallèles. La section est un parallelogramme.
MP = √(16 + 0 + 1) = √17 cm et MN = √(16 + 16 + 0) = 4√2 cm.
La section est un parallelogramme de cotes √17 cm et 4√2 cm.
FAQ
Combien de cotes peut avoir la section d’un cube au maximum ?
La section d’un cube par un plan peut avoir au maximum 6 cotes (un hexagone), car le cube possede 6 faces et le plan peut couper chacune d’entre elles. On ne peut pas obtenir un heptagone (7 cotes) ou plus. Le minimum est 3 cotes (un triangle).
La section d’une sphere est-elle toujours un cercle ?
Oui, si le plan coupe effectivement la sphere (c’est-a-dire si la distance du centre au plan est strictement inferieure au rayon), la section est toujours un cercle. Si la distance est egale au rayon, le plan est tangent et la « section » se reduit a un point. Aucune autre forme n’est possible.
Comment reconnaitre la nature d’une section sans calcul ?
Retiens ces regles rapides : un plan parallèle a une face d’un solide donne une figure de meme nature que cette face (un carré pour un cube, un cercle pour un cylindre ou un cone). Un plan oblique par rapport a un solide courbe donne generalement une ellipse. Un plan passant par le sommet d’un cone ne donne pas un cercle mais un point ou des droites.
Quelle est la difference entre une section et une projection ?
La section est la figure obtenue en coupant physiquement le solide par un plan : elle se situe dans le plan de coupe. La projection est l’ombre du solide sur un plan : elle ne necessite pas de couper le solide. Par exemple, la projection d’une sphere sur un plan est toujours un disque, tandis que la section est un cercle (ou un point).
Peut-on obtenir un triangle équilatéral en coupant un cube ?
Oui. Si tu coupes un cube par le plan passant par trois sommets qui ne partagent aucune face commune (par exemple A, F et H dans le cube ABCDEFGH), la section est un triangle équilatéral. Le cote de ce triangle équilatéral vaut a√2, ou a est l’arete du cube, car chaque cote du triangle est une diagonale de face.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
