Tu entends parler de fonctions depuis le début du collège sans forcément mettre un nom dessus. Quand tu calcules le prix total en fonction du nombre d’articles achetés, quand tu regardes comment la température évolue au fil des heures, tu manipules déjà des fonctions. En 3ème, on formalise tout ça avec un vocabulaire précis et des outils graphiques qui te serviront jusqu’au bac et bien au-delà.
Cette notion est au programme du brevet, et elle tombe très régulièrement. On la retrouve dans les exercices de lecture graphique, dans les problèmes concrets, et surtout dans la suite du programme avec les fonctions affines et les systèmes. Autant dire qu’il vaut mieux la maîtriser dès maintenant.
Qu’est-ce qu’une fonction ?
Une fonction est un procédé qui, à chaque nombre d’un ensemble de départ, associe un unique nombre dans un ensemble d’arrivée.
On note : f : x → f(x)
On dit que x est la variable (ou l’antécédent) et que f(x) est l’image de x par la fonction f.
Le mot clé ici, c’est un unique. Pour chaque valeur de x, il n’existe qu’une seule image. Si tu donnes la valeur 3 à une fonction, elle te rend un seul résultat, pas deux ni trois. C’est ce qui distingue une fonction d’une simple relation quelconque.
Exemple concret : la fonction f définie par f(x) = 2x + 1. Si tu prends x = 4, alors f(4) = 2 × 4 + 1 = 9. Le nombre 9 est l’image de 4 par f. Et 4 est un antécédent de 9.
Attention à ne pas confondre : un nombre peut avoir plusieurs antécédents, mais il n’a qu’une seule image par une fonction donnée. Par exemple, avec g(x) = x², on a g(3) = 9 et g(−3) = 9. Le nombre 9 a deux antécédents (3 et −3), mais 3 n’a qu’une seule image : 9.
Vocabulaire : image, antécédent, notation
Le vocabulaire des fonctions revient dans quasiment tous les exercices du brevet. Il faut le connaître par cœur.
• Image : le résultat obtenu quand on applique la fonction à un nombre. Si f(5) = 12, alors 12 est l’image de 5.
• Antécédent : le nombre de départ. Si f(5) = 12, alors 5 est un antécédent de 12.
• f(x) se lit « f de x ». C’est l’image de x par f.
• x → f(x) se lit « x a pour image f(x) ».
• On peut utiliser n’importe quelle lettre : f, g, h, ou même un nom comme « prix », « distance »…
Un piège classique au brevet : on te demande « quel est l’antécédent de 7 par f ? ». Il faut résoudre f(x) = 7, donc chercher la valeur de x. Ce n’est pas la même chose que calculer f(7).
• Confondre image et antécédent : « l’image de 3 » c’est f(3), pas « le x qui donne 3 ».
• Écrire f × x au lieu de f(x). Les parenthèses ne signifient pas une multiplication ici.
• Oublier qu’un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents, mais toujours une seule image.
Les différentes façons de définir une fonction
Au brevet, une fonction peut se présenter de quatre manières différentes. Tu dois savoir passer de l’une à l’autre.
Par une formule
C’est la forme la plus classique. On te donne directement l’expression algébrique : f(x) = 3x − 5, ou g(x) = x² + 2x − 1. Pour calculer une image, tu remplaces x par la valeur voulue et tu effectues le calcul. Ce type de définition te permet aussi de travailler sur les équations et problèmes en posant f(x) = k pour trouver des antécédents.
Par un tableau de valeurs
On te donne un tableau avec des valeurs de x en première ligne et les images correspondantes en deuxième ligne. C’est pratique pour repérer rapidement des images et des antécédents, mais limité : tu ne connais la fonction que pour quelques valeurs précises.
| x | −2 | 0 | 1 | 3 | 5 |
| f(x) | 7 | 3 | 1 | −3 | −7 |
Dans ce tableau : l’image de 1 est 1, l’image de 3 est −3, et un antécédent de 7 est −2.
Par une courbe
C’est la représentation graphique. On place les points (x ; f(x)) dans un repère et on les relie. Lire une image revient à partir de l’axe des abscisses, monter (ou descendre) jusqu’à la courbe, puis lire la valeur sur l’axe des ordonnées. Lire un antécédent, c’est l’opération inverse : tu pars de l’axe des ordonnées.
Par un programme de calcul
Le brevet adore ce format. On te donne une suite d’instructions : « Prends un nombre. Multiplie-le par 3. Ajoute 5. » Ça revient à la fonction f(x) = 3x + 5. Ton boulot est de traduire le programme en formule, puis de travailler comme d’habitude.
Lecture graphique : lire une image et un antécédent sur une courbe
La lecture graphique tombe presque chaque année au brevet. Voici la méthode précise.
1. Repère la valeur de x sur l’axe des abscisses (axe horizontal).
2. Trace un trait vertical jusqu’à la courbe.
3. Depuis le point d’intersection avec la courbe, trace un trait horizontal jusqu’à l’axe des ordonnées (axe vertical).
4. Lis la valeur obtenue : c’est f(x).
💡 Méthode : lire un antécédent graphiquement
1. Repère la valeur cherchée sur l’axe des ordonnées.
2. Trace un trait horizontal jusqu’à la courbe.
3. Tu peux toucher la courbe en 0, 1 ou plusieurs points.
4. Pour chaque point d’intersection, descends verticalement sur l’axe des abscisses : chaque valeur lue est un antécédent.
C’est pour ça qu’un nombre peut avoir plusieurs antécédents : la droite horizontale peut couper la courbe en plusieurs endroits. En revanche, une droite verticale ne coupe la courbe qu’en un seul point (sinon, ce n’est pas une fonction).
On te montre une courbe et on te demande : « f(2) = ? ». Beaucoup d’élèves lisent la mauvaise valeur parce qu’ils confondent les axes. Rappelle-toi : tu pars toujours de x (horizontal) pour trouver f(x) (vertical).
Exercices d’application
Soit f la fonction définie par f(x) = 4x − 3.
a) Calcule f(2).
b) Calcule f(−1).
c) Calcule f(0,5).
d) Calcule f(−3).
🔎 Correction — Exercice 1
a) f(2) = 4 × 2 − 3 = 8 − 3 = 5
b) f(−1) = 4 × (−1) − 3 = −4 − 3 = −7
c) f(0,5) = 4 × 0,5 − 3 = 2 − 3 = −1
d) f(−3) = 4 × (−3) − 3 = −12 − 3 = −15
Soit g la fonction définie par g(x) = 2x + 6.
a) Quel est l’antécédent de 10 par g ?
b) Quel est l’antécédent de 0 par g ?
c) Quel est l’antécédent de −4 par g ?
🔎 Correction — Exercice 2
On résout g(x) = valeur cherchée.
a) 2x + 6 = 10 → 2x = 4 → x = 2. L’antécédent de 10 est 2.
b) 2x + 6 = 0 → 2x = −6 → x = −3. L’antécédent de 0 est −3.
c) 2x + 6 = −4 → 2x = −10 → x = −5. L’antécédent de −4 est −5.
Voici un tableau de valeurs d’une fonction h :
| x | −3 | −1 | 0 | 2 | 4 |
| h(x) | 5 | −1 | −2 | 0 | 5 |
a) Quelle est l’image de −1 par h ?
b) Quels sont les antécédents de 5 par h ?
c) L’image de 2 est-elle positive, négative ou nulle ?
d) Combien d’antécédents le nombre −2 a-t-il dans ce tableau ?
🔎 Correction — Exercice 3
a) L’image de −1 est −1 (on lit h(−1) = −1).
b) Les antécédents de 5 sont −3 et 4 (deux valeurs de x donnent h(x) = 5).
c) h(2) = 0, donc l’image de 2 est nulle.
d) h(x) = −2 pour x = 0 uniquement (dans ce tableau). Il y a 1 antécédent.
Un programme de calcul donne les instructions suivantes :
• Choisir un nombre
• Le multiplier par 5
• Soustraire 3 au résultat
a) Quel résultat obtient-on en choisissant 4 ?
b) Quel résultat obtient-on en choisissant −2 ?
c) Exprime le résultat en fonction de x.
d) Quel nombre faut-il choisir pour obtenir 22 ?
🔎 Correction — Exercice 4
a) On prend 4 : 4 × 5 = 20, puis 20 − 3 = 17.
b) On prend −2 : (−2) × 5 = −10, puis −10 − 3 = −13.
c) Le programme correspond à la fonction f(x) = 5x − 3.
d) On résout 5x − 3 = 22 → 5x = 25 → x = 5. Il faut choisir 5.
Soit p la fonction définie par p(x) = x² − 4.
a) Calcule p(3).
b) Calcule p(−3).
c) Calcule p(0).
d) Trouve les antécédents de 0 par p.
🔎 Correction — Exercice 5
a) p(3) = 3² − 4 = 9 − 4 = 5
b) p(−3) = (−3)² − 4 = 9 − 4 = 5
c) p(0) = 0² − 4 = 0 − 4 = −4
d) On résout x² − 4 = 0 → x² = 4 → x = 2 ou x = −2. Les antécédents de 0 sont 2 et −2.
Remarque : on retrouve ici la factorisation avec a² − b² = (a − b)(a + b), car x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
La courbe ci-dessous représente une fonction f définie sur [−4 ; 5].
La courbe passe par les points : (−4 ; 1), (−2 ; 3), (−1 ; 2), (0 ; 0), (1 ; −1), (2 ; 0), (3 ; 2), (5 ; 4).
a) Quelle est l’image de 3 par f ?
b) Quels sont les antécédents de 0 par f ?
c) Quelle est l’image de −2 ?
d) Pour quelles valeurs de x a-t-on f(x) = 2 ?
🔎 Correction — Exercice 6
a) f(3) = 2 (on lit l’ordonnée du point d’abscisse 3).
b) f(x) = 0 pour x = 0 et x = 2 (les deux points où la courbe coupe l’axe des abscisses).
c) f(−2) = 3.
d) f(x) = 2 pour x = −1 et x = 3.
Programme A : Choisir un nombre → l’élever au carré → ajouter 5.
Programme B : Choisir un nombre → le multiplier par 4 → ajouter 1.
a) Calcule le résultat de chaque programme pour le nombre 3.
b) Exprime chaque programme sous forme de fonction : f(x) et g(x).
c) Existe-t-il un nombre pour lequel les deux programmes donnent le même résultat ? Si oui, lequel ?
🔎 Correction — Exercice 7
a) Programme A avec 3 : 3² + 5 = 9 + 5 = 14.
Programme B avec 3 : 3 × 4 + 1 = 12 + 1 = 13.
b) f(x) = x² + 5 et g(x) = 4x + 1.
c) On cherche x tel que f(x) = g(x), soit x² + 5 = 4x + 1.
x² − 4x + 4 = 0 → (x − 2)² = 0 → x = 2.
Vérification : f(2) = 4 + 5 = 9, g(2) = 8 + 1 = 9. Correct !
On retrouve ici la résolution d’équations appliquée aux fonctions.
Pour chaque affirmation, indique si elle est vraie ou fausse en justifiant.
On considère la fonction f définie par f(x) = 3x − 7.
a) « L’image de 5 par f est 8. »
b) « Un antécédent de 2 par f est 3. »
c) « f(0) = −7. »
d) « Si f(x) = −1, alors x = 2. »
🔎 Correction — Exercice 8
a) f(5) = 3 × 5 − 7 = 15 − 7 = 8. VRAI.
b) f(3) = 3 × 3 − 7 = 9 − 7 = 2. Donc 3 est bien un antécédent de 2. VRAI.
c) f(0) = 3 × 0 − 7 = −7. VRAI.
d) 3x − 7 = −1 → 3x = 6 → x = 2. VRAI.
Représentation graphique d’une fonction
La courbe représentative d’une fonction f est l’ensemble de tous les points de coordonnées (x ; f(x)). Un point M(a ; b) appartient à la courbe si et seulement si b = f(a).
Un point M(a ; b) appartient à la courbe représentative de f si et seulement si f(a) = b.
Pour vérifier si un point est sur la courbe, il suffit de calculer f(a) et de comparer avec b.
Exemple : Soit f(x) = 2x + 1. Le point A(3 ; 7) est-il sur la courbe ? On calcule f(3) = 2 × 3 + 1 = 7. Oui, A est sur la courbe. Le point B(4 ; 10) ? f(4) = 2 × 4 + 1 = 9 ≠ 10. Non, B n’est pas sur la courbe.
Pour tracer une courbe, tu construis un tableau de valeurs avec suffisamment de points, tu les places dans un repère, puis tu les relies. Pour les fonctions affines (type f(x) = ax + b), deux points suffisent puisque la courbe est une droite. Pour les fonctions du second degré (type f(x) = x²), il faut plus de points pour voir la forme de la parabole.
Fonction linéaire et fonction affine : un aperçu
En 3ème, tu vas surtout travailler avec deux familles de fonctions :
Fonction linéaire : f(x) = ax
Sa courbe est une droite qui passe par l’origine. Le nombre a est le coefficient directeur.
Fonction affine : f(x) = ax + b
Sa courbe est une droite qui coupe l’axe des ordonnées au point (0 ; b). Le nombre a est le coefficient directeur et b est l’ordonnée à l’origine.
Toute fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine (avec b = 0).
La suite logique de ce chapitre, c’est l’étude complète des fonctions affines et des systèmes, où tu apprendras à déterminer l’expression d’une fonction affine à partir de sa courbe ou de deux valeurs connues.
Astuces pour le brevet
1. Lis bien la question. « L’image de 3 » et « l’antécédent de 3 » sont deux questions totalement différentes.
2. Montre tes calculs. Même si le résultat est évident, écris f(3) = 2 × 3 + 1 = 7. Les points intermédiaires comptent.
3. Attention aux signes. Quand tu remplaces x par un nombre négatif, mets des parenthèses : f(−2) = 4 × (−2) et non 4 × −2. On retrouve les mêmes pièges qu’avec les racines carrées.
4. Vérifie tes antécédents. Si tu trouves que l’antécédent de 5 est x = 3, vérifie en calculant f(3).
5. En lecture graphique, sois précis. Utilise une règle pour tracer les traits horizontaux et verticaux. Une erreur d’un carreau change tout.
FAQ — Les questions les plus posées
Une fonction peut-elle donner deux images pour le même nombre ?
Non, jamais. Par définition, une fonction associe à chaque nombre une seule image. Si un procédé donne deux résultats pour le même nombre, ce n’est pas une fonction.
Quelle est la différence entre f(x) et y ?
En pratique, c’est la même chose. On écrit souvent y = f(x) pour travailler dans un repère. L’ordonnée y du point est l’image f(x).
Comment savoir si un graphique représente une fonction ?
Trace des droites verticales. Si chaque droite verticale coupe la courbe en un seul point au maximum, c’est bien une fonction. Si une droite verticale coupe la courbe en deux points ou plus, ce n’est pas une fonction.
Pourquoi les parenthèses dans f(x) ne veulent pas dire « multiplier » ?
C’est une notation, pas une opération. f(x) signifie « la valeur que la fonction f donne quand on lui envoie x ». Ça ressemble à la notation des multiplications, mais le contexte est différent. Si on écrit 3(x), là c’est bien 3 × x, mais f(x) est la notation fonctionnelle.
Est-ce qu’on peut avoir un antécédent qui n’existe pas ?
Oui. Par exemple, avec f(x) = x², aucun nombre réel ne donne f(x) = −1 puisqu’un carré est toujours positif ou nul. Le nombre −1 n’a pas d’antécédent par cette fonction.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
