Le théorème de Thales est un pilier du programme de 3eme et un classique du brevet des colleges. Il te permet de calculer des longueurs inconnues dans une figure géométrique grace a la proportionnalite, a condition que deux droites parallèles coupent deux secantes. Maitrise-le parfaitement, et tu gagneras des points precieux le jour de l’examen. Ce cours te guide pas a pas : la configuration a reconnaitre, l’enonce precis du théorème, la méthode de résolution, les deux configurations (triangle et papillon), un exemple complet redige comme au brevet, les erreurs a eviter et des exercices corriges.
Qui etait Thales ?
Thales de Milet etait un mathematicien, astronome et philosophe grec du VIe siecle avant notre ere (environ 625-547 av. J.-C.). Il est considere comme l’un des tout premiers scientifiques de l’histoire occidentale.
La legende raconte que Thales a calcule la hauteur de la grande pyramide de Kheops en Egypte sans y grimper. Il a plante un baton vertical dans le sable et attendu le moment ou l’ombre du baton avait exactement la meme longueur que le baton lui-meme. A cet instant, l’ombre de la pyramide avait la meme longueur que la hauteur de la pyramide. Ce raisonnement repose sur la proportionnalite entre les longueurs, principe fondateur du théorème qui porte son nom.
Thales a aussi predit une eclipse solaire en 585 av. J.-C. et mesure la distance de navires en mer depuis la cote. Toutes ces prouesses s’appuient sur les memes idees de proportionnalite et de géométrie.
La configuration de Thales
Avant d’enoncer le théorème, tu dois savoir reconnaitre la configuration de Thales. C’est la figure de base, indispensable pour appliquer le théorème.
A retenir
Une configuration de Thales reunit :
- Deux droites secantes en un point (le sommet, souvent note A).
- Deux droites parallèles qui coupent ces deux secantes.
Les points decoupes sur les secantes forment des segments dont les longueurs sont proportionnelles.
Les elements a identifier
Dans une configuration de Thales, repère toujours :
- Le sommet : le point d’intersection des deux secantes.
- Les deux droites parallèles : c’est la condition qui te autorise a appliquer Thales.
- Les points situes sur chaque secante, decoupes par les parallèles.
Par exemple, si les secantes se coupent en A, que la première parallèle passe par B et C (un point sur chaque secante), et que la deuxieme parallèle passe par M et N, tu as une configuration de Thales avec le sommet A, les points B et M sur une secante, C et N sur l’autre, et (BC) parallèle a (MN).
Reperer le parallelisme dans un enonce
L’enonce te dira soit directement « (BC) // (MN) », soit tu devras le deduire d’un codage sur la figure (petites fleches sur les droites parallèles). Parfois, le parallelisme est a demontrer avant d’appliquer Thales. Sans parallelisme confirme, tu ne peux pas utiliser le théorème.
Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur réciproque de Thales.
️ Erreur frequente
Appliquer le théorème de Thales sans avoir vérifié (ou cite) le parallelisme. C’est la condition indispensable. Au brevet, si tu oublies de la mentionner dans ta redaction, tu perds des points meme si tes calculs sont justes.
L’enonce du théorème de Thales
A retenir
Théorème de Thales (sens direct) :
Si, dans un triangle ABC, M est un point de la droite (AB) et N un point de la droite (AC) tels que (MN) est parallèle a (BC), alors :
AM / AB = AN / AC = MN / BC
Les rapports des longueurs decoupees sur les secantes par les parallèles sont egaux.
En langage simple
Si deux droites parallèles coupent deux secantes, elles decoupent sur ces secantes des segments proportionnels. Les « morceaux » de chaque secante gardent les memes proportions. C’est cette egalite de rapports qui te permet de trouver une longueur inconnue a partir des autres.
Les trois rapports egaux
Dans la configuration du triangle ABC avec M sur [AB], N sur [AC] et (MN) // (BC) :
| Rapport | Signification |
|---|---|
| AM / AB | Rapport sur la première secante (du sommet A vers B) |
| AN / AC | Rapport sur la deuxieme secante (du sommet A vers C) |
| MN / BC | Rapport des segments portes par les parallèles |
Ces trois rapports sont egaux. Tu n’as besoin que de deux d’entre eux pour trouver une longueur inconnue grace au produit en croix.
Méthode pas a pas pour calculer une longueur
Voici la demarche a suivre a chaque exercice sur le théorème de Thales :
- Identifier la configuration de Thales : repère le sommet, les deux secantes et les deux parallèles.
- Citer le parallelisme : ecris « (MN) // (BC) » (ou les lettres adaptees a ton exercice).
- Ecrire les rapports egaux : AM / AB = AN / AC = MN / BC.
- Remplacer par les valeurs connues : place les longueurs donnees dans l’enonce.
- Calculer la longueur inconnue : utilise le produit en croix.
- Conclure : donne la valeur trouvee avec l’unite.
Astuce
Ecris toujours les rapports en partant du meme sommet. Si tu melanges les directions (une fois du sommet vers un point, une fois de l’autre cote), les rapports seront faux.
Le produit en croix
Si tu as AM / AB = AN / AC et que tu connais AM, AB et AC, tu trouves AN par :
AN = (AM × AC) / AB
C’est le calcul de base que tu utiliseras dans tous les exercices.
Les deux configurations : triangle et papillon
Le théorème de Thales s’applique dans deux configurations. Tu dois savoir les reconnaitre car les rapports s’ecrivent differemment.
Configuration « triangle »
Les points M et N sont situes entre le sommet A et les points B et C. Autrement dit, M est sur le segment [AB] et N est sur le segment [AC]. La parallèle (MN) coupe le triangle ABC « a l’interieur ».
Dans cette configuration, les rapports s’ecrivent directement :
Ce point est approfondi dans notre cours sur cours sur les triangles semblables.
AM / AB = AN / AC = MN / BC
Tous les rapports sont compris entre 0 et 1 (puisque AM est plus petit que AB).
Configuration « papillon »
Les points M et N sont situes de l’autre cote du sommet A par rapport a B et C. Le sommet A se trouve entre les deux parallèles. La figure ressemble a un noeud papillon.
Dans cette configuration, les rapports restent les memes :
AM / AB = AN / AC = MN / BC
Mais attention : les longueurs AM et AB sont mesurees de part et d’autre du sommet A. Vérifié bien que tu prends les bonnes longueurs dans l’enonce.
A retenir
Configuration triangle : les points M et N sont entre A et B, C (du meme cote du sommet).
Configuration papillon : les points M et N sont de l’autre cote du sommet A par rapport a B et C.
Dans les deux cas, les rapports egaux s’ecrivent de la meme facon, en partant toujours du sommet A.
Comment distinguer les deux ?
Regarde la position du sommet par rapport aux parallèles :
- Si le sommet est a l’exterieur (au-dessus ou en dessous des deux parallèles), c’est une configuration triangle.
- Si le sommet est entre les deux parallèles, c’est une configuration papillon.
Exemple complet
Voici un exercice type brevet, resolu pas a pas.
Enonce
Dans le triangle RST, le point E appartient au segment [RS] et le point F appartient au segment [RT]. On sait que (EF) est parallèle a (ST). On donne : RE = 3 cm, RS = 7,5 cm, RT = 10 cm et ST = 8 cm. Calcule EF et RF.
Résolution
Etape 1 : On identifie la configuration de Thales. Le sommet est R. Les deux secantes sont (RS) et (RT). Les deux parallèles sont (EF) et (ST). E est sur [RS], F est sur [RT]. C’est une configuration triangle (E et F sont entre R et S, T).
Etape 2 : On cite la condition de parallelisme. Les droites (EF) et (ST) sont parallèles (donne dans l’enonce).
Etape 3 : D’apres le théorème de Thales, puisque E appartient a [RS], F appartient a [RT] et (EF) // (ST), on a :
RE / RS = RF / RT = EF / ST
Etape 4 : On remplace par les valeurs connues.
RE / RS = 3 / 7,5 = 0,4
Etape 5 : Calcul de RF.
RF / RT = 0,4, donc RF = 0,4 × RT = 0,4 × 10 = 4 cm
Etape 6 : Calcul de EF.
EF / ST = 0,4, donc EF = 0,4 × ST = 0,4 × 8 = 3,2 cm
Conclusion : RF = 4 cm et EF = 3,2 cm.
Pour completer, decouvre notre cours sur homothetie et Thales.
Astuce
Pour vérifier ton résultat, vérifié que RF est bien inferieur a RT (puisque F est entre R et T) et que EF est bien inferieur a ST (puisque (EF) est « plus pres » du sommet que (ST)). Ici, 4 < 10 et 3,2 < 8, c’est coherent.
Rediger pour le brevet
Au brevet, la redaction compte autant que le calcul. Voici le schéma de redaction a respecter pour ne perdre aucun point.
Les 5 etapes de la redaction type
- Nommer les points et la configuration. « Dans le triangle ABC, M est un point de [AB] et N est un point de [AC]. »
- Citer le parallelisme. « On sait que (MN) // (BC). » Si c’est a demontrer, fais-le avant.
- Enoncer le théorème. « D’apres le théorème de Thales, puisque M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC), on a : AM/AB = AN/AC = MN/BC. »
- Effectuer les calculs. Remplace par les valeurs numeriques et resous.
- Conclure. « Donc MN = … cm. » (avec l’unite !)
A retenir
Au brevet, chaque etape de la redaction rapporte des points. Ne saute jamais la citation du parallelisme ni l’enonce du théorème. Meme si tu trouves le bon résultat, une redaction incomplete te coutera des points.
Exemple de redaction complete
« Dans le triangle ABC, M appartient au segment [AB] et N appartient au segment [AC]. On sait que (MN) est parallèle a (BC).
D’apres le théorème de Thales, puisque M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC), on a :
AM / AB = AN / AC = MN / BC
Or AM = 4 cm, AB = 10 cm et BC = 6 cm.
Donc MN / BC = AM / AB, c’est-a-dire MN / 6 = 4 / 10.
Par produit en croix : MN = (4 × 6) / 10 = 24 / 10 = 2,4 cm.
Donc MN = 2,4 cm. »
Erreurs frequentes
️ Erreur frequente
Oublier de citer le parallelisme. C’est la condition sine qua non pour appliquer Thales. Si tu ne la mentionnes pas dans ta redaction, le correcteur considere que ta démonstration est incomplete.
️ Erreur frequente
Melanger les rapports. Ecris toujours les rapports en partant du meme sommet. AM / AB et AN / AC partent tous les deux du sommet A. Si tu ecris AM / AB = CN / AC, les rapports n’ont plus de sens.
️ Erreur frequente
Confondre Thales et Pythagore. Le théorème de Thales concerne la proportionnalite de longueurs quand il y a des parallèles. Le théorème de Pythagore concerne les longueurs dans un triangle rectangle. Ce ne sont pas les memes conditions ni les memes formules.
️ Erreur frequente
Se tromper de configuration (triangle/papillon). Dans la configuration papillon, le sommet est entre les deux parallèles. Les longueurs se mesurent toujours depuis le sommet, mais les points sont de part et d’autre. Relis bien l’enonce et fais un schéma si besoin.
️ Erreur frequente
Oublier l’unite dans la conclusion. Si l’enonce donne des longueurs en cm, ta réponse doit etre en cm. Un résultat sans unite est considere comme incomplet au brevet.
Exercices corriges
️ Exercice 1
Dans le triangle ABC, M est un point de [AB] et N est un point de [AC]. On sait que (MN) // (BC). On donne AM = 6 cm, AB = 15 cm et BC = 10 cm. Calcule MN.
Voir la correction
M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC). D’apres le théorème de Thales :
Ce sujet est détaillé dans notre cours sur les agrandissements.
AM / AB = MN / BC
6 / 15 = MN / 10
MN = (6 × 10) / 15 = 60 / 15 = 4
Donc MN = 4 cm.
️ Exercice 2
Sur la figure ci-dessous (configuration papillon), les droites (BC) et (DE) sont parallèles. A est le point d’intersection des droites (BD) et (CE). On donne AB = 4 cm, AD = 6 cm, AE = 9 cm et DE = 7,5 cm. Calcule AC et BC.
Voir la correction
(BC) // (DE) et A est le point d’intersection des secantes (BD) et (CE). D’apres le théorème de Thales :
AB / AD = AC / AE = BC / DE
AB / AD = 4 / 6 = 2/3
Calcul de AC : AC / AE = 2/3, donc AC = (2/3) × 9 = 6 cm.
Calcul de BC : BC / DE = 2/3, donc BC = (2/3) × 7,5 = 5 cm.
Donc AC = 6 cm et BC = 5 cm.
️ Exercice 3
Dans le triangle GHI, J est un point de [GH] et K est un point de [GI] tels que (JK) // (HI). On donne GJ = 2,4 cm, GH = 8 cm, GI = 12 cm. Calcule GK, JH et KI.
Voir la correction
J ∈ [GH], K ∈ [GI] et (JK) // (HI). D’apres le théorème de Thales :
GJ / GH = GK / GI
2,4 / 8 = GK / 12
GK = (2,4 × 12) / 8 = 28,8 / 8 = 3,6 cm
JH = GH − GJ = 8 − 2,4 = 5,6 cm
KI = GI − GK = 12 − 3,6 = 8,4 cm
Donc GK = 3,6 cm, JH = 5,6 cm et KI = 8,4 cm.
️ Exercice 4
Un poteau vertical de 2 m projette une ombre de 3 m sur le sol. Au meme moment, un arbre projette une ombre de 12 m. Quelle est la hauteur de l’arbre ?
Voir la correction
Les rayons du soleil sont parallèles. Le poteau et son ombre forment un triangle rectangle, tout comme l’arbre et son ombre. On a une configuration de Thales.
Hauteur poteau / Ombre poteau = Hauteur arbre / Ombre arbre
2 / 3 = Hauteur arbre / 12
Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur Thales en 4eme.
Hauteur arbre = (2 × 12) / 3 = 24 / 3 = 8 m
Donc l’arbre mesure 8 m de haut.
️ Exercice 5
Dans le triangle PQR, S est un point de [PQ] et T est un point de [PR] tels que (ST) // (QR). On donne PS = 3,5 cm, SQ = 1,5 cm, PT = 4,2 cm. Calcule TR et QR sachant que ST = 2,8 cm.
Voir la correction
S ∈ [PQ], T ∈ [PR] et (ST) // (QR). D’apres le théorème de Thales :
PS / PQ = PT / PR = ST / QR
PQ = PS + SQ = 3,5 + 1,5 = 5 cm
PS / PQ = 3,5 / 5 = 0,7
Calcul de PR : PT / PR = 0,7, donc PR = PT / 0,7 = 4,2 / 0,7 = 6 cm.
TR = PR − PT = 6 − 4,2 = 1,8 cm.
Calcul de QR : ST / QR = 0,7, donc QR = ST / 0,7 = 2,8 / 0,7 = 4 cm.
Donc TR = 1,8 cm et QR = 4 cm.
Questions frequentes
Quelle est la difference entre le théorème de Thales et sa réciproque ?
Le théorème de Thales (sens direct) dit : « Si deux droites sont parallèles, alors les rapports sont egaux. » Tu l’utilises pour calculer une longueur. La réciproque dit : « Si les rapports sont egaux et que les points sont dans le bon ordre, alors les droites sont parallèles. » Tu l’utilises pour demontrer un parallelisme. Ce sont deux outils differents, avec des hypothèses et des conclusions inversees.
Faut-il toujours faire un schéma ?
Ce n’est pas obligatoire, mais c’est tres fortement recommande. Un schéma te permet de visualiser la configuration, d’identifier le sommet et les parallèles, et d’eviter les erreurs dans les rapports. Au brevet, un schéma clair peut aussi aider le correcteur a suivre ton raisonnement.
Comment faire si l’enonce donne AM et MB au lieu de AB ?
Il suffit de calculer AB = AM + MB. Dans la configuration triangle, M est entre A et B, donc AB = AM + MB. Par exemple, si AM = 3 cm et MB = 2 cm, alors AB = 5 cm. Ensuite, tu ecris normalement le rapport AM / AB = 3 / 5.
Le théorème marche-t-il avec des longueurs décimales ?
Bien sur. Le théorème de Thales fonctionne avec n’importe quelles longueurs, entieres ou décimales. Les rapports restent egaux. Tu auras parfois des résultats décimaux ou fractionnaires, c’est tout a fait normal.
Combien de points rapporte un exercice Thales au brevet ?
Un exercice de géométrie au brevet vaut en général entre 4 et 8 points sur 100. Le théorème de Thales y apparait frequemment, souvent combine avec d’autres notions (Pythagore, trigonometrie). La redaction soignee (citation du parallelisme, enonce du théorème, calculs detailles, conclusion avec unite) te permet de decrocher la totalite des points.
Cardia Anthony, 35 ans, professeur des écoles passionné depuis 2014.
