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Qu’est-ce que le théorème de Thalès? Comment vérifier si deux droites sont parallèles dans un triangle? Découvre ce théorème qui, en sens direct, établit un lien entre les longueurs des segments découpés par une droite parallèle.
Le théorème de Thalès – sens direct
Découvert par Thalès de Millet, un célèbre philosophe et savant grec, ce théorème est très connu en géométrie. Il affirme que dans un triangle, dès qu’une droite est parallèle à l’un des côtés et qu’elle coupe les deux autres côtés, alors les longueurs des segments obtenus sont proportionnelles. Cela signifie que si tu as des triangles semblables, cette unité est ton alliée pour bien travailler.
Les configurations du théorème de Thalès
Pour mieux te repérer, imagine un triangle avec une droite passant parallèlement à l’un de ses côtés. On parle alors de la configuration de base de Thalès. Il existe plusieurs variations avec différentes figures géométriques, mais chacune respecte le même principe: le parallélisme.
Dans ces configurations, il faut toujours vérifier si les droites sont réellement parallèles. Pour cela, tu peux observer des angles égaux. Si nécessaire, jette un œil à cette ressource, très utile pour comprendre comment démontrer que des droites sont parallèles.
Application du théorème de Thalès : Exemple
🔍 Exemple : Considère le triangle ABC où (DE) est parallèle à (BC), avec segments AD = 3 cm, AE = 4 cm, DB = 6 cm. Selon Thalès, tu appliques : AD/DB = AE/EC. Remplaçons avec les longueurs connues : 3/6 = 4/EC. Ainsi, EC = 8 cm. Bien vu ! Thalès aide ainsi à vérifier les proportions des segments coupés.
💡 Astuce : Visualise toujours des échelles. Imagine un escalier : ses marches doivent respecter la même proportion pour qu’on puisse s’y déplacer sans trébucher. C’est la même idée pour Thalès qui assure une proportionnalité cohérente.
Calcul de la propriété directe de Thalès
Lorsque tu veux calculer grâce au théorème direct, souviens-toi d’établir d’abord le parallélisme. Si tu appliques Thalès, sache que la proportionnalité fonctionne : les rapports de segments sont égaux. Une droite autorise le calcul de longueurs invisibles à l’œil nu grâce à cette égalité de rapports.
Que ce soient les rapports entre longueurs ou les vérifications de parallélisme, tu transformeras des problèmes en solutions simples. Pour t’accompagner dans ton étude, regarde du côté de cette page et approfondis ton savoir: révise le théorème de Thalès.
Exercices de maths
Voici quelques exercices pour t’entraîner et renforcer ta compréhension des notions de mathématiques.
Exercice 1: maîtriser le théorème de Thalès en 3ème
Énoncé de l’exercice
On considère un triangle ABC dans lequel une droite DE est parallèle au côté BC. La droite coupe les côtés AB en D et AC en E. ✂️
Les longueurs sont les suivantes : AB = 8 cm, AD = 3 cm, AC = 10 cm.
📝Calcule la longueur de AE en utilisant le théorème de Thalès.
Instructions
- 🔍 Identifie d’abord les segments parallèles et note-les.
- 🧐 Applique le théorème de Thalès pour créer une proportion entre les longueurs des segments.
- 🔢 Résous l’équation proportionnelle pour trouver la longueur de AE.
- 📏 Vérifie si le résultat obtenu est cohérent avec les données initiales.
Correction
🔍 Pour appliquer le théorème de Thalès, on commence par identifier les segments parallèles. La droite DE est parallèle à BC.
🧐 Le théorème de Thalès nous dit que :
AD/AB = AE/AC, car la droite DE est parallèle à BC.
⏩ Ainsi, nous avons : 3/8 = AE/10.
🔢 En résolvant l’équation proportionnelle, on trouve :
AE = (3 × 10) / 8 = 3,75 cm.
🚀 Donc, la longueur de AE est 3.75 cm.
Exercice 2: Application du théorème de Thalès
Énoncé de l’exercice
Dans le triangle ABC, la droite (DE) est parallèle à la droite (BC). 🔵
Les longueurs des segments sont : AD = 3 cm, DB = 2 cm, et AE = 4,5 cm. 😃
Calculez la longueur du segment EC en utilisant le théorème de Thalès. 💡
Instructions
- 🔍 Identifiez les triangles impliqués et les segments correspondants.
- ➡️ Utilisez le théorème de Thalès pour établir l’égalité des rapports des segments.
- ✏️ Créez une équation à partir de ces rapports pour déterminer la longueur de EC.
- 🧮 Résolvez l’équation pour trouver la valeur recherchée.
- Faites attention aux unités de mesure pour les segments !
Correction
🔍 Pour appliquer le théorème de Thalès, on considère les triangles ADE et ABC. On sait que (DE) est parallèle à (BC).
➡️ Le théorème de Thalès stipule que si une droite est parallèle à l’un des côtés d’un triangle, alors les rapports entre les segments des autres côtés sont égaux :
AD / AB = AE / AC = DE / BC.
✏️ D’après l’énoncé, on a : AD = 3 cm, DB = 2 cm, AE = 4,5 cm. On cherche EC, avec AC = AE + EC.
🧮 Écrivons l’égalité des rapports :
(AD / AB) = (AE / AC), ce qui donne 3 / (3 + 2) = 4,5 / (4,5 + EC).
🖊️ En simplifiant l’équation :
3 / 5 = 4,5 / (4,5 + EC).
📐 Pour résoudre cela, multiplions les deux côtés de l’équation par (4,5 + EC) :
3 * (4,5 + EC) = 5 * 4,5.
💡 Ce qui donne :
13,5 + 3EC = 22,5.
➗ En isolant EC, nous avons :
3EC = 22,5 – 13,5.
🎯 Finalement, EC = 3 cm.
✅ La longueur du segment EC est donc de 3 cm.
Exercice 3: Théorème de Thalès sur un triangle
Énoncé de l’exercice
Dans le triangle ABC, les points D et E sont respectivement sur les côtés AB et AC. Les droites (DE) et (BC) sont parallèles. 🟦 Utilise le théorème de Thalès pour calculer la longueur du segment DE. Trouve la valeur manquante sachant que AB = 10 cm, AC = 8 cm, et BC = 12 cm. 📏
Astuces : Sois attentif aux proportions et à l’équivalence des rapports.
Instructions
- 📝 Identifie les segments correspondants dans le triangle.
- ➡️ Trouve le rapport des segments AB et AC.
- 🔢 Applique le théorème de Thalès pour calculer le segment DE.
- 💡 N’oublie pas de vérifier que les droites sont bien parallèles pour appliquer le théorème.
Correction
🔍 Identification des segments :
Les segments AB et AC sont les côtés du triangle ABC sur lesquels les points D et E se trouvent.
🧮 Calcul du rapport entre AB et AC :
Rapport : AB/AC = 10 cm / 8 cm = 1,25.
📝 Application du théorème de Thalès :
Le théorème nous dit que : AB/AC = DE/BC.
Pour trouver la longueur de DE, sachant que BC = 12 cm :
10/8 = DE/12.
🔢 Résolution pour DE :
DE = (10 / 8) × 12 = 15 cm.
✨ La longueur du segment DE est donc 15 cm. 🎉
Conclusion
Avec le théorème de Thalès, tu disposes désormais d’un outil pour démontrer le parallélisme de droites ou calculer des segments dans un triangle. En maîtrisant cette notion en sens direct, tu pourras résoudre efficacement de nombreux problèmes en géométrie.
Les propriétés de Thalès s’appuient sur la configuration de droites parallèles traversant un triangle, te permettant d’établir des rapports de longueur égaux. Utilise bien ces connaissances dans ta pratique et approfondis ta compréhension de la géométrie en cliquant sur ce lien.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
