Homothétie – Thalès – 3ème

L’homothétie et le théorème de Thalès permettent de transformer des figures et de calculer des longueurs avec rigueur. Voici une leçon complète pour tout comprendre.

📌 Qu’est-ce qu’une homothétie ?

Une homothétie est une transformation géométrique définie par :

• un centre : O
• un rapport : k

Elle transforme un point M en un point M′, tel que :

OM′ = k × OM

Les points O, M et M′ sont alignés.

👉 Selon la valeur de k :

• k > 0 : agrandissement (k > 1) ou réduction (0 < k < 1) — M′ est du même côté que M
• k < 0 : M′ est de l’autre côté de O (inversion)
• k = 1 : transformation identique
• k = -1 : symétrie centrale

💡 Une homothétie conserve les proportions. Un triangle reste un triangle semblable. Pour tout savoir sur le programme complet de maths en troisième, c’est ici.

✏️ Comment construire un point image ?

Pour construire M′ à partir de M :

1. Trace la droite [OM]
2. Mesure la distance OM
3. Calcule : OM′ = |k| × OM
4. Place M′ selon le signe de k

📍 Exemples :

• OM = 4 cm et k = 2 → OM′ = 8 cm sur le même côté
• k = –1 → M′ est à 4 cm de l’autre côté de O

📐 Propriétés fondamentales de l’homothétie

✅ Conserve les alignements
✅ Conserve les angles
✅ Conserve les rapports de longueurs

👉 Exemple : un triangle transformé avec k = 3 devient 3 fois plus grand, avec les mêmes angles.

📏 Le théorème de Thalès

📘 Énoncé classique

Dans un triangle ABC, si DE ∥ BC, alors :

AD / DB = AE / EC

Ce rapport provient d’une homothétie centrée en A.

🧮 Application directe

Méthode :

1. Repère que DE ∥ BC
2. Pose les rapports
3. Résous avec un produit en croix

✍️ Exemple :

AD = 6 cm
DB = 4 cm
DE = 3 cm

On écrit :
6 / 4 = 3 / BC
Produit en croix :
6 × BC = 4 × 3 → BC = 2 cm

🔁 Réciproque et contraposée de Thalès

🔁 Réciproque

Si AD / DB = AE / EC, alors DE ∥ BC

📍 Exemple :
AD = 3, DB = 6, AE = 2, EC = 4
3/6 = 2/4 = 1/2 → DE ∥ BC

❌ Contraposée

Si AD / DB ≠ AE / EC, alors DE n’est pas parallèle à BC

📍 Exemple :
AD = 4, DB = 2, AE = 3, EC = 3
4/2 ≠ 3/3 → DE ∦ BC

🧠 Méthodes pour réussir

👁️ Identifier les bonnes figures

🔎 Cherche :

• Triangles avec parallèles
• Trapèzes
• Figures croisées

⚠️ Vérifie toujours l’ordre des points.

🎯 Calculer avec précision

✅ Utilise des fractions
❌ Pas d’arrondis
✅ Applique le produit en croix

✍️ Exemple :

AD / DB = 5 / 3
DE / BC = 10 / x
→ 5x = 30 → x = 6

🧾 Rédiger une démonstration

Structure claire :

Dans le triangle ABC, D ∈ [AB], E ∈ [AC]
AD / DB = AE / EC
Par la réciproque de Thalès, DE ∥ BC

🧪 Exercices conseillés

✍️ Calcule des longueurs avec :

• k = 2 → agrandissement
• k = –1 → symétrie centrale

🔎 Déduis si deux droites sont parallèles ou non
💡 Combine homothétie et Thalès dans des figures complexes

🧾 Ce qu’il faut retenir

✔️ L’homothétie transforme en conservant proportions et angles
✔️ Thalès relie les rapports dans les triangles
✔️ Sa réciproque démontre un parallélisme
✔️ Sa contraposée l’infirme

✏️ Avec une bonne méthode, des schémas précis et de la pratique, tu maîtriseras ces outils géométriques utiles dans tous les problèmes de proportionnalité 📐