L’homothétie et le théorème de Thalès sont deux outils géométriques qui fonctionnent ensemble. L’homothétie transforme une figure en une figure semblable, plus grande ou plus petite. Le théorème de Thalès fournit les rapports de longueurs quand des droites parallèles coupent deux droites sécantes. Les deux reposent sur la même idée : la proportionnalité des longueurs.
En 3ème, tu dois maîtriser le théorème de Thalès dans le sens direct et sa réciproque pour démontrer un parallélisme. Ce chapitre va plus loin en reliant ces résultats à l’homothétie, ce qui te donne une vision plus complète de la géométrie des figures semblables.
L’homothétie : définition et propriétés
L’homothétie de centre O et de rapport k (avec k ≠ 0) est la transformation qui, à tout point M, associe le point M’ tel que :
OM’ = k × OM
• Le point O est le centre de l’homothétie.
• Le nombre k est le rapport de l’homothétie.
• Si k > 0, M’ est du même côté que M par rapport à O.
• Si k < 0, M’ est du côté opposé à M par rapport à O.
Concrètement, si k = 2, l’homothétie double toutes les distances par rapport au centre O. Si k = 1/3, elle les divise par 3. Si k = −1, elle réalise une symétrie par rapport à O.
• Les angles sont conservés (la figure image a la même forme).
• Les droites sont transformées en droites parallèles (ou confondues si elles passent par O).
• Les longueurs sont multipliées par |k|.
• Les aires sont multipliées par k².
• Les volumes sont multipliés par |k|³.
Une homothétie ne conserve PAS les longueurs (sauf si k = 1 ou k = −1).
Le lien avec l’agrandissement et la réduction est direct : un agrandissement est une homothétie de rapport k > 1, et une réduction est une homothétie de rapport 0 < k < 1.
Construire l’image par homothétie
Étape 1 : Trace la demi-droite [OM).
Étape 2 : Mesure la distance OM.
Étape 3 : Calcule OM’ = |k| × OM.
Étape 4 : Place M’ sur [OM) si k > 0, ou sur la demi-droite opposée si k < 0.
Pour construire l’image d’une figure entière (triangle, segment…), construis l’image de chaque sommet, puis relie-les.
Exemple : Construire l’image du point A par l’homothétie de centre O et de rapport 2. On mesure OA = 3 cm. Donc OA’ = 2 × 3 = 6 cm. On place A’ sur [OA) à 6 cm de O.
Avec k = −1/2 : OA’ = 1/2 × 3 = 1,5 cm, et A’ est de l’autre côté de O par rapport à A (puisque k est négatif).
Théorème de Thalès : rappel et approfondissement
Soient deux droites (d₁) et (d₂) sécantes en A. Si B et M sont sur (d₁), C et N sont sur (d₂), et si (BC) est parallèle à (MN), alors :
AB/AM = AC/AN = BC/MN
Les rapports de longueurs sont égaux. C’est la proportionnalité des longueurs dans une configuration de Thalès.
Le lien avec l’homothétie est le suivant : quand (BC) est parallèle à (MN) dans une configuration de Thalès, il existe une homothétie de centre A qui transforme B en M et C en N. Le rapport de cette homothétie est k = AM/AB.
Dans une configuration de Thalès avec (BC) // (MN) :
L’homothétie de centre A et de rapport k = AM/AB transforme :
• B en M
• C en N
• le segment [BC] en le segment [MN]
• le triangle ABC en le triangle AMN
Les deux triangles sont semblables (mêmes angles, côtés proportionnels).
C’est pour ça que le théorème de Thalès et les triangles semblables sont intimement liés. Deux triangles sont semblables s’il existe une homothétie (éventuellement composée avec une rotation) qui transforme l’un en l’autre.
Réciproque du théorème de Thalès et homothétie
Si dans la configuration ci-dessus, on a :
AB/AM = AC/AN avec B, A, M alignés et C, A, N alignés (dans le même ordre),
alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
En termes d’homothétie : si les rapports sont égaux, alors il existe une homothétie de centre A qui envoie la droite (BC) sur la droite (MN), et ces deux droites sont donc parallèles (propriété de l’homothétie).
La réciproque ne fonctionne que si les points sont dans le bon ordre sur chaque droite. Il faut vérifier que B est entre A et M (ou M entre A et B) ET que C est entre A et N (ou N entre A et C), de manière cohérente.
Si les rapports sont égaux mais les points ne sont pas dans le bon ordre, on ne peut pas conclure au parallélisme.
Exercices d’application
On considère l’homothétie de centre O et de rapport k = 3.
a) Si OA = 2 cm, calcule OA’.
b) Si le segment [AB] mesure 4 cm, quelle est la longueur de [A’B’] ?
c) Si l’aire du triangle OAB vaut 6 cm², quelle est l’aire du triangle OA’B’ ?
d) M’ est du même côté que M par rapport à O. Est-ce normal ? Justifie.
Correction — Exercice 1
a) OA’ = k × OA = 3 × 2 = 6 cm.
b) Les longueurs sont multipliées par |k| = 3, donc A’B’ = 3 × 4 = 12 cm.
c) Les aires sont multipliées par k² = 3² = 9, donc l’aire de OA’B’ = 9 × 6 = 54 cm².
d) Oui, c’est normal car k = 3 > 0. Quand le rapport est positif, l’image est du même côté que l’original par rapport au centre.
On considère l’homothétie de centre O et de rapport k = −2.
a) Si OA = 3 cm, calcule OA’ et précise la position de A’ par rapport à O.
b) Si le triangle ABC a un périmètre de 15 cm, quel est le périmètre de A’B’C’ ?
c) L’angle en B du triangle ABC mesure 47°. Que vaut l’angle en B’ du triangle A’B’C’ ?
Correction — Exercice 2
a) OA’ = |k| × OA = 2 × 3 = 6 cm. Comme k < 0, A’ est de l’autre côté de O par rapport à A.
b) Les longueurs sont multipliées par |k| = 2. Le périmètre = 2 × 15 = 30 cm.
c) L’homothétie conserve les angles. L’angle en B’ vaut aussi 47°.
Dans la figure ci-dessous, les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
A, B, D sont alignés et A, C, E sont alignés.
AB = 4 cm, AD = 10 cm, AC = 6 cm, BC = 5 cm.
a) Calcule AE.
b) Calcule DE.
c) Quel est le rapport de l’homothétie de centre A qui transforme B en D ?
Correction — Exercice 3
a) Par le théorème de Thalès (car (BC) // (DE)) :
AB/AD = AC/AE, soit 4/10 = 6/AE.
AE = 6 × 10/4 = 60/4 = 15 cm.
b) AB/AD = BC/DE, soit 4/10 = 5/DE.
DE = 5 × 10/4 = 50/4 = 12,5 cm.
c) Le rapport est k = AD/AB = 10/4 = 5/2 (ou 2,5).
Vérification : toutes les longueurs de l’image sont multipliées par 2,5. AE = 2,5 × AC = 2,5 × 6 = 15. DE = 2,5 × BC = 2,5 × 5 = 12,5. C’est cohérent.
Dans un triangle AMN, on place B sur [AM] et C sur [AN] tels que :
AB = 3 cm, AM = 9 cm, AC = 4 cm, AN = 12 cm.
a) Calcule les rapports AB/AM et AC/AN.
b) Que peut-on en conclure sur les droites (BC) et (MN) ?
c) Si BC = 5 cm, calcule MN.
Correction — Exercice 4
a) AB/AM = 3/9 = 1/3 et AC/AN = 4/12 = 1/3.
Les deux rapports sont égaux.
b) Par la réciproque du théorème de Thalès, puisque AB/AM = AC/AN et que les points sont dans le bon ordre (B entre A et M, C entre A et N), les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
c) Puisque (BC) // (MN), on peut appliquer Thalès :
AB/AM = BC/MN → 1/3 = 5/MN → MN = 5 × 3 = 15 cm.
Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par une homothétie de centre O.
On donne : AB = 6 cm et A’B’ = 9 cm.
a) Calcule le rapport k de l’homothétie.
b) Si l’aire du triangle ABC est 24 cm², calcule l’aire du triangle A’B’C’.
c) Si BC = 8 cm, calcule B’C’.
d) Sachant que OA = 4 cm, calcule OA’.
Correction — Exercice 5
a) k = A’B’/AB = 9/6 = 3/2.
b) L’aire est multipliée par k² = (3/2)² = 9/4.
Aire de A’B’C’ = 24 × 9/4 = 216/4 = 54 cm².
c) B’C’ = k × BC = 3/2 × 8 = 12 cm.
d) OA’ = k × OA = 3/2 × 4 = 6 cm.
Un lampadaire de 6 m de haut éclaire un poteau de 2 m de haut situé à 9 m du lampadaire. Le sol est horizontal et plat.
a) Fais un schéma de la situation en identifiant la configuration de Thalès.
b) À quelle distance du poteau l’ombre se termine-t-elle ?
c) Quelle est la longueur totale de l’ombre du poteau ?
Correction — Exercice 6
a) Le sommet du lampadaire (L), le sommet du poteau (P) et l’extrémité de l’ombre (S) sont alignés. Le sol et la droite « sommet lampadaire → sommet poteau » sont les deux droites sécantes. Les verticales du lampadaire et du poteau sont parallèles (perpendiculaires au sol).
b) On note S le point au sol où l’ombre se termine. Le lampadaire a son pied en A, le poteau en B, avec AB = 9 m.
Configuration de Thalès avec le sommet en S :
Le lampadaire : hauteur 6 m, à la distance AS du point S.
Le poteau : hauteur 2 m, à la distance BS du point S.
Par Thalès : 6/2 = AS/BS, donc AS = 3 × BS.
Or AS = AB + BS = 9 + BS.
Donc 9 + BS = 3 × BS → 9 = 2 × BS → BS = 4,5 m.
c) L’ombre va du pied du poteau jusqu’au point S, donc elle mesure 4,5 m.
Un carré ABCD a un côté de 5 cm. On réalise l’homothétie de centre A et de rapport 2/5.
a) Calcule le côté du carré image A’B’C’D’.
b) Calcule l’aire du carré image.
c) Calcule le rapport des aires (aire image / aire originale). Que remarques-tu ?
d) Si on avait choisi k = 3, quelles seraient les nouvelles dimensions et la nouvelle aire ?
Correction — Exercice 7
a) Côté image = k × côté = 2/5 × 5 = 2 cm.
b) Aire image = 2² = 4 cm².
c) Rapport des aires : 4/25 = (2/5)² = k². Le rapport des aires est toujours k². C’est une propriété fondamentale de l’homothétie, qu’on retrouve dans les agrandissements et réductions.
d) Avec k = 3 : côté = 3 × 5 = 15 cm. Aire = 15² = 225 cm². Rapport = 225/25 = 9 = 3² = k². La propriété se vérifie encore.
Sur la figure, les droites (EF) et (GH) sont parallèles. Le point A est le point d’intersection des droites (EG) et (FH).
AE = 4 cm, AG = 12 cm, AF = 3 cm, EF = 5 cm.
a) Calcule AH.
b) Calcule GH.
c) Quel est le rapport de l’homothétie de centre A qui transforme le triangle AEF en triangle AGH ?
d) L’aire du triangle AEF vaut 5 cm². Calcule l’aire du triangle AGH.
Correction — Exercice 8
a) Par Thalès (car (EF) // (GH)) : AE/AG = AF/AH.
4/12 = 3/AH → AH = 3 × 12/4 = 9 cm.
b) AE/AG = EF/GH → 4/12 = 5/GH → GH = 5 × 12/4 = 15 cm.
c) k = AG/AE = 12/4 = 3.
Vérification : AH/AF = 9/3 = 3 et GH/EF = 15/5 = 3. Tous les rapports sont bien égaux à k.
d) L’aire est multipliée par k² = 9.
Aire de AGH = 9 × 5 = 45 cm².
Erreurs classiques et pièges
1. Confondre le rapport k et le rapport des aires. Si k = 2, les longueurs sont doublées mais les aires sont multipliées par 4 (pas par 2).
2. Mal identifier la configuration de Thalès. Vérifie toujours que les droites sont bien parallèles avant d’appliquer le théorème. Si rien ne le prouve, utilise la réciproque pour le démontrer d’abord.
3. Inverser les rapports. Si AB/AD = 3/5, alors AD/AB = 5/3. Fais attention à quel rapport tu utilises.
4. Oublier le signe de k. Quand k est négatif, l’image est de l’autre côté du centre. Si l’énoncé ne le précise pas, un schéma t’aide à trancher.
5. Appliquer Thalès sans vérifier le parallélisme. Le théorème de Thalès ne fonctionne QUE si les droites sont parallèles. C’est la condition indispensable.
Astuces pour le brevet
1. Rédige avec rigueur. Au brevet, cite le théorème : « D’après le théorème de Thalès, puisque (BC) // (MN)… ». C’est obligatoire pour avoir tous les points.
2. Fais un schéma. Même si la figure est donnée, refais-la proprement avec les mesures. Ça t’aide à visualiser les rapports.
3. Vérifie la cohérence. Si tu trouves que l’image est plus petite avec k = 3, il y a un problème. Avec k > 1, la figure grossit.
4. Pour la réciproque, vérifie l’ordre des points. Les rapports doivent être calculés dans le même sens sur chaque droite.
5. Pense au lien entre les chapitres. Thalès, homothétie, triangles semblables et agrandissement-réduction sont quatre facettes du même concept : la proportionnalité géométrique.
FAQ — Les questions les plus posées
Quelle est la différence entre une homothétie et un agrandissement ?
Un agrandissement est une homothétie de rapport k > 1. L’homothétie est plus générale : elle inclut aussi les réductions (0 < k < 1) et les cas avec rapport négatif (l’image est retournée par rapport au centre). Tout agrandissement est une homothétie, mais toute homothétie n’est pas un agrandissement.
Peut-on appliquer Thalès dans un triangle quelconque ?
Oui, à condition qu’il y ait une droite parallèle à un côté du triangle qui coupe les deux autres côtés. C’est la configuration classique : un triangle avec une droite parallèle à la base. Si cette condition n’est pas remplie, on ne peut pas utiliser Thalès.
Comment prouver que deux droites sont parallèles avec Thalès ?
On utilise la réciproque. Si les rapports AB/AM et AC/AN sont égaux (avec les points dans le bon ordre), alors (BC) // (MN). C’est l’outil principal pour démontrer un parallélisme au brevet. Consulte le chapitre sur la réciproque du théorème de Thalès pour plus de détails.
L’homothétie conserve-t-elle les aires ?
Non. Les aires sont multipliées par k². Si k = 2, l’aire est multipliée par 4. Si k = 1/3, l’aire est divisée par 9. Seules les angles sont conservés exactement.
Que se passe-t-il si k = 1 ?
L’homothétie de rapport 1 est l’identité : chaque point est sa propre image. La figure ne bouge pas. Ce n’est pas très utile en pratique, mais c’est mathématiquement correct.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
