En troisième, les probabilités montent d’un cran : tu ne lances plus un seul dé, tu enchaînes deux épreuves. Tirer deux boules dans une urne, lancer un dé puis une pièce, choisir deux cartes… Pour traiter ces situations, tu as un outil redoutable : l’arbre de probabilités. Dans cet article, tu vas apprendre à construire un arbre, à calculer des probabilités composées et à éviter les pièges classiques du brevet.
Rappel : probabilité d’un événement simple
Avant d’attaquer les deux épreuves, révisons les bases. Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude. Le résultat obtenu s’appelle une issue.
L’ensemble de toutes les issues possibles s’appelle l’univers, souvent noté Ω. Un événement est un sous-ensemble de l’univers : c’est un ensemble d’issues.
À retenir
Quand toutes les issues sont équiprobables (même chance de se produire), la probabilité d’un événement A est :
P(A) = nombre d’issues favorables / nombre total d’issues
La probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
Par exemple, avec un dé équilibré à 6 faces : P(obtenir un 3) = 1/6. P(obtenir un nombre pair) = 3/6 = 1/2.
Expérience à deux épreuves
Une expérience à deux épreuves est une expérience composée de deux étapes successives. Chaque étape est une expérience aléatoire à elle seule.
Quelques exemples classiques :
- Lancer un dé, puis lancer une pièce
- Tirer une boule dans une urne, puis en tirer une deuxième
- Choisir un menu : une entrée parmi 3, puis un plat parmi 4
- Répondre à deux questions d’un QCM au hasard
Le résultat global de l’expérience est un couple : (résultat de la 1ère épreuve, résultat de la 2ème épreuve). L’univers est l’ensemble de tous les couples possibles.
Si la première épreuve a n₁ issues et la deuxième en a n₂, le nombre total de couples possibles est n₁ × n₂. Par exemple, un dé (6 faces) puis une pièce (2 faces) donne 6 × 2 = 12 issues possibles.
L’arbre de probabilités
L’arbre de probabilités est l’outil principal pour représenter une expérience à plusieurs épreuves. Voici comment le construire :
À retenir
Construction d’un arbre de probabilités :
1. Trace les branches de la 1ère épreuve à partir d’un point de départ. Chaque branche représente une issue possible. Écris la probabilité sur chaque branche.
2. À l’extrémité de chaque branche, trace les branches de la 2ème épreuve. Écris la probabilité de chaque issue de la 2ème épreuve (qui peut dépendre du résultat de la 1ère).
3. Chaque chemin de la racine à une feuille représente un couple d’issues.
4. La somme des probabilités des branches partant d’un même noeud vaut toujours 1.
Prenons un exemple concret. Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l’urne, puis on tire une deuxième boule.
| Chemin | 1ère épreuve | 2ème épreuve | Probabilité du chemin |
|---|---|---|---|
| R puis R | 3/5 | 3/5 | 9/25 |
| R puis V | 3/5 | 2/5 | 6/25 |
| V puis R | 2/5 | 3/5 | 6/25 |
| V puis V | 2/5 | 2/5 | 4/25 |
Vérifions : 9/25 + 6/25 + 6/25 + 4/25 = 25/25 = 1. La somme de toutes les probabilités vaut bien 1.
Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur probabilites en 3eme.
Lire un arbre : multiplier sur les branches
C’est la règle fondamentale de l’arbre de probabilités :
À retenir
Règle de la multiplication : pour obtenir la probabilité d’un chemin complet (de la racine à une feuille), on multiplie les probabilités le long de ce chemin.
P(1ère issue ET 2ème issue) = P(1ère issue) × P(2ème issue sachant la 1ère)
Dans l’exemple précédent : P(R puis V) = P(R) × P(V) = 3/5 × 2/5 = 6/25.
Astuce
Pour vérifier que ton arbre est correct, additionne les probabilités de tous les chemins (toutes les feuilles). Le total doit être égal à 1. Si ce n’est pas le cas, tu as une erreur quelque part.
Et quand on te demande la probabilité d’un événement qui correspond à plusieurs chemins, tu additionnes les probabilités de ces chemins.
Exemple : P(obtenir exactement une boule rouge) = P(R puis V) + P(V puis R) = 6/25 + 6/25 = 12/25.
Avec remise ou sans remise
C’est la distinction la plus importante dans les expériences à deux épreuves. Elle change complètement les probabilités de la deuxième épreuve.
Tirage avec remise
On tire un objet, on le remet dans l’urne, puis on tire à nouveau. La composition de l’urne est la même aux deux tirages. Les deux épreuves sont indépendantes : le résultat de la première n’influence pas les probabilités de la deuxième.
Reprenons l’urne avec 3 rouges et 2 vertes :
- 1er tirage : P(R) = 3/5, P(V) = 2/5
- 2ème tirage (après remise) : P(R) = 3/5, P(V) = 2/5 (identique)
Tirage sans remise
On tire un objet et on ne le remet pas. La composition de l’urne change entre les deux tirages. Les probabilités de la deuxième épreuve dépendent du résultat de la première.
Même urne, sans remise :
- 1er tirage : P(R) = 3/5, P(V) = 2/5
- 2ème tirage si la 1ère boule était rouge : il reste 2R et 2V, donc P(R) = 2/4 = 1/2, P(V) = 2/4 = 1/2
- 2ème tirage si la 1ère boule était verte : il reste 3R et 1V, donc P(R) = 3/4, P(V) = 1/4
️ Erreur fréquente
Utiliser les mêmes probabilités au 2ème tirage qu’au 1er tirage quand le tirage est sans remise. C’est l’erreur la plus courante. Sans remise, le nombre total d’objets diminue de 1 et la composition change.
| Situation | Avec remise | Sans remise |
|---|---|---|
| Composition au 2ème tirage | Identique au 1er | Modifiée (1 objet en moins) |
| Les épreuves sont… | Indépendantes | Dépendantes |
| Branches de l’arbre | Mêmes probas à chaque niveau | Probas différentes selon la branche |
Calculer P(A et B) et P(A ou B)
P(A et B) : les deux événements se réalisent
« A et B » signifie que les deux événements se produisent en même temps. Sur l’arbre, cela correspond à un seul chemin (ou parfois à l’intersection de deux conditions).
À retenir
Pour deux événements indépendants :
P(A et B) = P(A) × P(B)
Pour deux événements dépendants :
P(A et B) = P(A) × P(B sachant A)
Sur l’arbre, c’est la probabilité du chemin : on multiplie le long des branches.
P(A ou B) : au moins un des deux se réalise
« A ou B » signifie qu’au moins un des deux événements se produit (éventuellement les deux). Sur l’arbre, cela correspond à plusieurs chemins qu’on additionne.
Ce point est approfondi dans notre cours sur calculs avec les fractions.
À retenir
Quand A et B sont incompatibles (ne peuvent pas se produire en même temps) :
P(A ou B) = P(A) + P(B)
Quand A et B ne sont pas incompatibles :
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A et B)
Astuce
Quand on te demande « la probabilité d’obtenir au moins un rouge », c’est souvent plus rapide de calculer le contraire : P(au moins un R) = 1 – P(aucun R). Cette technique de passage au complémentaire est très puissante.
Exemple avec notre urne (3R, 2V, avec remise) : P(au moins une boule rouge en 2 tirages) = 1 – P(deux vertes) = 1 – (2/5 × 2/5) = 1 – 4/25 = 21/25.
Erreurs fréquentes
️ Erreur fréquente
Additionner au lieu de multiplier sur un chemin. Sur un chemin de l’arbre (de haut en bas), on multiplie les probabilités. On n’additionne que quand on combine plusieurs chemins différents.
️ Erreur fréquente
Confondre « et » et « ou ». « Rouge ET vert » signifie les deux en même temps (un chemin). « Rouge OU vert » signifie au moins l’un des deux (plusieurs chemins). « Et » = multiplier. « Ou » entre chemins = additionner.
️ Erreur fréquente
Oublier qu’il y a deux chemins pour « une rouge et une verte ». « Obtenir une rouge et une verte » en deux tirages, c’est (R puis V) OU (V puis R). Il faut additionner les deux chemins. Beaucoup d’élèves n’en comptent qu’un seul.
️ Erreur fréquente
Trouver une probabilité supérieure à 1. Si ton résultat dépasse 1, c’est forcément faux. Vérifie tes calculs. En particulier, vérifie que tu n’as pas additionné des probabilités qui n’étaient pas celles de chemins distincts.
Exercices corrigés
Exercice 1 : Dé et pièce
️ Exercice
On lance un dé équilibré à 6 faces, puis une pièce équilibrée. Calcule la probabilité d’obtenir un nombre pair ET pile.
Voir la correction
Les deux épreuves sont indépendantes (le dé n’influence pas la pièce).
P(nombre pair) = 3/6 = 1/2 (les nombres pairs sont 2, 4, 6)
P(pile) = 1/2
P(pair ET pile) = P(pair) × P(pile) = 1/2 × 1/2 = 1/4
Exercice 2 : Urne avec remise
️ Exercice
Une urne contient 4 boules bleues et 6 boules jaunes. On tire une boule, on la remet, puis on tire une deuxième boule. Calcule la probabilité d’obtenir deux boules de la même couleur.
Voir la correction
Tirage avec remise, donc les deux épreuves sont indépendantes.
P(B) = 4/10 = 2/5 et P(J) = 6/10 = 3/5
« Deux boules de même couleur » = (B puis B) OU (J puis J)
P(B puis B) = 2/5 × 2/5 = 4/25
P(J puis J) = 3/5 × 3/5 = 9/25
P(même couleur) = 4/25 + 9/25 = 13/25
Exercice 3 : Urne sans remise
️ Exercice
Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules noires. On tire deux boules successivement sans remise. Calcule la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge.
Voir la correction
On utilise le complémentaire : P(au moins une rouge) = 1 – P(aucune rouge) = 1 – P(deux noires).
Pour completer, decouvre notre cours sur statistiques de position.
P(1ère noire) = 3/8
P(2ème noire sachant 1ère noire) = 2/7 (il reste 5R et 2N, soit 7 boules dont 2 noires)
P(deux noires) = 3/8 × 2/7 = 6/56 = 3/28
P(au moins une rouge) = 1 – 3/28 = 25/28
La probabilité d’obtenir au moins une boule rouge est 25/28.
Exercice 4 : QCM au hasard
️ Exercice
Un QCM comporte 2 questions. Chaque question propose 4 réponses dont une seule est correcte. Un élève répond au hasard aux deux questions. Calcule la probabilité qu’il ait au moins une bonne réponse.
Voir la correction
Les deux questions sont indépendantes.
P(bonne réponse à une question) = 1/4
P(mauvaise réponse à une question) = 3/4
P(au moins une bonne) = 1 – P(aucune bonne) = 1 – P(deux mauvaises)
P(deux mauvaises) = 3/4 × 3/4 = 9/16
P(au moins une bonne) = 1 – 9/16 = 7/16
Exercice 5 : Deux dés
️ Exercice
On lance deux dés équilibrés à 6 faces. Calcule la probabilité que la somme des deux dés soit égale à 7.
Voir la correction
Le nombre total de couples possibles est 6 × 6 = 36.
Les couples dont la somme vaut 7 sont : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Il y en a 6.
Chaque couple a la même probabilité : 1/6 × 1/6 = 1/36.
P(somme = 7) = 6 × 1/36 = 6/36 = 1/6
La probabilité d’obtenir une somme de 7 est 1/6.
FAQ
Pourquoi multiplie-t-on les probabilités le long d’un chemin ?
Parce que chaque branche représente une condition : « sachant que j’en suis là, quelle est la probabilité d’aller là ? ». La probabilité d’un chemin complet, c’est la probabilité que toutes ces conditions se réalisent successivement. Mathématiquement, c’est la règle des probabilités conditionnelles : P(A et B) = P(A) × P(B sachant A).
Quelle est la différence entre indépendant et incompatible ?
Deux événements sont indépendants quand la réalisation de l’un ne change pas la probabilité de l’autre (par exemple, deux lancers de dé successifs). Deux événements sont incompatibles quand ils ne peuvent pas se réaliser en même temps (par exemple, obtenir pile et face sur un seul lancer). Ce sont deux notions très différentes.
Peut-on faire un arbre avec plus de deux épreuves ?
Oui, on peut étendre l’arbre à 3, 4 ou autant d’épreuves que nécessaire. Le principe reste le même : on multiplie le long d’un chemin et on additionne entre chemins. Mais l’arbre devient vite très grand, c’est pourquoi au brevet on se limite généralement à deux épreuves.
Comment savoir si c’est avec ou sans remise ?
L’énoncé le précise toujours, en utilisant des formulations comme : « on remet la boule » (avec remise), « on tire successivement sans remettre » (sans remise), « on tire deux boules simultanément » (équivalent à sans remise). Si l’énoncé ne dit rien, c’est généralement sans remise.
Les probabilités à deux épreuves tombent-elles au brevet ?
Oui, presque chaque année. Le sujet typique du brevet propose une urne avec un tirage en deux étapes ou un arbre de probabilités à compléter. Les questions portent sur la construction de l’arbre, le calcul de probabilités composées et l’utilisation de la technique du complémentaire.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
