Comment sont calculées les probabilités dans une expérience à deux épreuves ? Tu tires une boule d’une urne, puis une autre numérotée : comprendre la probabilité d’un résultat devient plus facile si tu sais lire un arbre de probabilité !
Qu’est-ce qu’une expérience à deux épreuves ?
Une expérience à deux épreuves en probabilités consiste en la réalisation de deux expériences aléatoires successives. Chaque expérience individuelle a ses propres résultats possibles, et leur combinaison donne naissance à un ensemble plus vaste d’issues. Par exemple, imagine que tu disposes de deux urnes. Dans la première, tu as des boules de couleurs différentes, et dans la seconde, des boules numérotées.
📊 Pense à ces expériences comme à une loterie avec plusieurs étapes : si la première étape consiste à choisir un billet de couleur, la seconde pourrait être de tirer un numéro. Cette approche te permet d’explorer les différentes combinaisons possibles de résultats.
Comment Représenter une Expérience à Deux Épreuves ?
Pour bien comprendre et calculer les probabilités, on utilise souvent un arbre de probabilité. Chaque branche de cet arbre représente une étape de l’expérience, et chaque chemin à travers l’arbre indique une combinaison possible d’issues. L’arbre montre clairement les différentes options pour chaque étape et te permet de visualiser toutes les issues possibles.
💡 Astuces : Lorsque tu suis un chemin dans l’arbre, multiplie les probabilités rencontrées sur chaque branche pour obtenir la probabilité de l’ensemble des événements. Par exemple, si tu tires une boule rouge avec une probabilité de 1/3, puis un numéro 2 avec une probabilité de 1/6, alors la probabilité totale du tirage « rouge et 2 » est de (1/3) x (1/6) = 1/18.
Exemple Pratique d’une Expérience à Deux Épreuves
🎲 Imaginons que tu as une roue avec quatre sections colorées : rouge, bleu, vert et jaune. Ensuite, tu utilises une deuxième roue qui a des nombre entre 1 et 4. Si on te demande de trouver la probabilité d’obtenir « Rouge » avec la première et le numéro « 3 » avec la deuxième, tu calculeras la probabilité d’obtenir le rouge puis celle pour le chiffre 3.
📊 Lorsqu’on tourne la première roue, la probabilité d’obtenir « Rouge » est 1/4. Pour la deuxième roue, comme il y a quatre chiffres, la probabilité d’obtenir « 3 » est également 1/4. En multipliant ces probabilités, (1/4) x (1/4), tu obtiens 1/16. Voilà la probabilité de réaliser cet événement particulier.
Applications et Utilisation en Classe
Cette notion d’expérience à deux épreuves est cruciale pour résoudre des situations du quotidien ou des problèmes plus complexes. Dans la classe de 3e, tu rencontreras plusieurs exercices où tu devras appliquer ce concept pour calculer les probabilités. C’est une approche stratégique qui requiert de la pratique pour bien maîtriser.
🔍 Ne manque pas cette occasion de t’exercer en consultant des ressources supplémentaires ou des exercices sur ce thème. Pour continuer ta découverte et te former davantage, explore ce site spécialisé en mathématiques.
Exercices de maths
Voici quelques exercices pour t’entraîner : amuse-toi avec les probabilités et explore les expériences à deux épreuves!
Calcul des Probabilités dans une Expérience à Deux Épreuves
Énoncé de l’exercice
🎲 Vous disposez de deux roues de loterie composées chacune de quatre secteurs identiques. Les secteurs de la première roue sont numérotés de 1 à 4 et ceux de la deuxième roue de 5 à 8. 🌀 Quelle est la probabilité que la somme des numéros obtenus soit inférieure à 10 ? 🤔 💡 Astuce : pensez à utiliser un tableau pour organiser les possibilités !
Instructions
- 🔍 Identifier toutes les combinaisons possibles de numéros avec les deux roues.
- 🧮 Calculer la somme pour chaque combinaison.
- ✅ Déterminer les combinaisons où la somme est inférieure à 10.
- 🔢 Calculer la probabilité en divisant le nombre de combinaisons correctes par le nombre total de combinaisons.
- 🔄 Révisez vos calculs pour vous assurer qu’aucune possibilité n’est oubliée.
Correction
🔍 Étape 1 : Identifions toutes les combinaisons possibles. Chaque roue ayant 4 secteurs, il y a 4 x 4 = 16 combinaisons possibles.
🧮 Étape 2 : Calculons la somme de chaque combinaison :
- 1+5, 1+6, 1+7, 1+8
- 2+5, 2+6, 2+7, 2+8
- 3+5, 3+6, 3+7, 3+8
- 4+5, 4+6, 4+7, 4+8
✅ Étape 3 : Sélectionnons les combinaisons où la somme est inférieure à 10:
- 1+5 = 6
- 1+6 = 7
- 1+7 = 8
- 2+5 = 7
- 2+6 = 8
- 2+7 = 9
- 3+5 = 8
- 3+6 = 9
🔢 Étape 4 : Il y a 8 combinaisons inférieures à 10 sur 16 possibles. La probabilité est donc 8/16 = 1/2.
⭐ Réponse finale : La probabilité que la somme des numéros obtenus soit inférieure à 10 est de 1/2.
Calculer les Probabilités avec Deux Tirages d’Urgence
Énoncé de l’exercice
Tu participes à un jeu de société 🎲 qui consiste en une expérience aléatoire à deux épreuves. Dans la première urne, il y a trois balles : une rouge, une verte et une noire. Dans la seconde urne, les balles sont numérotées de 1 à 6. 😊 Ton objectif est de déterminer la probabilité d’obtenir à la fois une balle rouge et un numéro « 3« . N’oublie pas de bien interpréter l’arbre de probabilité 🧠 !
Instructions
- 🎲 Identifie la probabilité de tirer une balle rouge de la première urne.
- 🧮 Calcule la probabilité d’obtenir le numéro « 3 » avec la seconde urne.
- 🔗 Multiplie les probabilités obtenues pour chaque événement afin d’obtenir la probabilité totale. Rappelle-toi que pour des événements indépendants, on multiplie les probabilités 🚀.
Correction
🎲 La probabilité de tirer une balle rouge de la première urne est de 1/3 car il y a trois balles possibles et une seule est rouge.
🧮 La probabilité d’obtenir le numéro « 3 » dans la seconde urne est de 1/6, car il y a six balles numérotées de 1 à 6.
🔗 Pour obtenir l’événement « rouge et numéro 3 », on multiplie les probabilités individuelles :
1/3 × 1/6 = 1/18
✨ La probabilité de tirer une balle rouge et le numéro « 3 » est donc de 1/18.
Calculer les probabilités dans une double expérience aléatoire
Énoncé de l’exercice
🎲 On dispose de deux urnes contenant des boules de couleur. 🟡 La première urne contient 3 boules jaunes et 2 boules rouges. 🟥 La deuxième urne contient des boules numérotées de 1 à 6. ⬇️ Question : Quelle est la probabilité de tirer une boule jaune puis un numéro 3 ? Utilisez les règles de multiplication des probabilités pour les deux épreuves.
Instructions
- 🎨 Déterminez la probabilité de tirer une boule jaune de la première urne.
- 🔢 Calculez la probabilité de tirer le numéro 3 de la deuxième urne.
- ✍️ Multipliez les deux probabilités pour obtenir la réponse finale. Attention à bien simplifier la fraction si nécessaire !
Correction
🔍 Étape 1 : Calculer la probabilité de tirer une boule jaune. La première urne contient 3 boules jaunes parmi un total de 5 boules. Ainsi, la probabilité est :
Probabilité de jaune = 3/5
🔍 Étape 2 : Calculer la probabilité de tirer le numéro 3 de la deuxième urne. Il y a un numéro 3 parmi 6 numéros. Ainsi, la probabilité est :
Probabilité de 3 = 1/6
🔄 Étape 3 : Pour déterminer la probabilité de tirer une boule jaune et ensuite le numéro 3, nous multiplions les deux probabilités :
Probabilité totale = 3/5 × 1/6 = 3/30
🟢 Résultat final : En simplifiant la fraction, on obtient : 1/10
Tu as maintenant les bases pour comprendre les expériences aléatoires à deux épreuves. Ces concepts te permettent d’analyser des situations en deux étapes, en calculant la probabilité d’événements successifs grâce à des outils comme l’arbre de probabilité.
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Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
