Arithmétique – Cours de Maths 3ème

L’arithmétique en 3ème regroupe tout ce qui concerne la divisibilité, les nombres premiers, la décomposition en facteurs premiers, le PGCD et les fractions irréductibles. C’est un chapitre qui revient chaque année au brevet des collèges, et la bonne nouvelle c’est qu’il repose sur des règles simples et logiques. Ce cours complet te guide à travers chaque notion avec des exemples détaillés, la méthode d’Euclide, le crible d’Ératosthène, et des exercices corrigés pour être prêt le jour J.

Divisibilité (critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9, 10)

Un nombre entier a est divisible par un nombre entier b si la division de a par b tombe juste (reste = 0). On dit aussi que b divise a ou que b est un diviseur de a.

Les critères de divisibilité

Pas besoin de poser la division pour savoir si un nombre est divisible. Voici les critères à connaître par coeur :

Divisible par	Critère	Exemple
2	Le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 (nombre pair)	4 736 → se termine par 6 → divisible par 2
3	La somme des chiffres est divisible par 3	621 → 6+2+1 = 9, divisible par 3 → oui
4	Les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4	1 324 → 24 ÷ 4 = 6 → divisible par 4
5	Le chiffre des unités est 0 ou 5	785 → se termine par 5 → divisible par 5
9	La somme des chiffres est divisible par 9	738 → 7+3+8 = 18, divisible par 9 → oui
10	Le chiffre des unités est 0	530 → se termine par 0 → divisible par 10

Exemples d’application

Le nombre 2 340 est-il divisible par 2, 3, 5, 9 et 10 ?

• Par 2 ? Se termine par 0 (pair) → oui
• Par 3 ? 2+3+4+0 = 9, divisible par 3 → oui
• Par 5 ? Se termine par 0 → oui
• Par 9 ? 2+3+4+0 = 9, divisible par 9 → oui
• Par 10 ? Se termine par 0 → oui

2 340 est divisible par tous ces nombres !

Nombres premiers (définition, liste, crible d’Ératosthène)

Définition

Les nombres premiers inférieurs à 100

Voici la liste complète :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Il y en a 25 entre 1 et 100.

Le crible d’Ératosthène

Le crible d’Ératosthène est une méthode pour trouver tous les nombres premiers jusqu’à un nombre donné. Voici comment ça fonctionne :

Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur PGCD en 3eme.

1. Écris tous les nombres de 2 à N (par exemple, de 2 à 50).
2. Entoure 2 (premier nombre premier) et barre tous les multiples de 2 (4, 6, 8, 10…).
3. Le prochain nombre non barré est 3. Entoure-le et barre tous les multiples de 3 (6, 9, 12, 15…).
4. Le prochain nombre non barré est 5. Entoure-le et barre tous les multiples de 5.
5. Continue avec 7, etc.
6. Quand tu dépasses la racine carrée de N, tous les nombres non barrés sont premiers.

Nombres non premiers (composés)

Un nombre supérieur à 1 qui n’est pas premier est appelé nombre composé. Il peut toujours s’écrire comme un produit de nombres premiers. Par exemple : 12 = 2 × 2 × 3, ou 45 = 3 × 3 × 5.

Décomposition en facteurs premiers

Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 peut s’écrire comme un produit de nombres premiers. Cette écriture est unique (à l’ordre des facteurs près).

Méthode de décomposition

Pour décomposer un nombre, divise-le successivement par les plus petits nombres premiers possibles.

Exemple : décomposer 360

Nombre	Diviseur premier
360	2
180	2
90	2
45	3
15	3
5	5
1	(terminé)

Donc : 360 = 2³ × 3² × 5 (c’est-à-dire 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5)

Autres exemples

• 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7
• 225 = 3 × 3 × 5 × 5 = 3² × 5²
• 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2² × 3² × 5
• 1 001 = 7 × 11 × 13

✅ Voir la correction

126 ÷ 2 = 63
63 ÷ 3 = 21
21 ÷ 3 = 7
7 ÷ 7 = 1

126 = 2 × 3² × 7

PGCD : le plus grand commun diviseur

Définition

Méthode 1 : La liste des diviseurs

Liste tous les diviseurs de chaque nombre, puis trouve le plus grand diviseur commun.

Exemple : PGCD(24 ; 36)

• Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
• Diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
• Diviseurs communs : 1, 2, 3, 4, 6, 12
• PGCD(24 ; 36) = 12

Méthode 2 : La décomposition en facteurs premiers

Décompose les deux nombres, puis garde les facteurs premiers communs avec le plus petit exposant.

Exemple : PGCD(360 ; 84)

• 360 = 2³ × 3² × 5
• 84 = 2² × 3 × 7
• Facteurs communs : 2 (exposant min = 2) et 3 (exposant min = 1)
• PGCD(360 ; 84) = 2² × 3 = 4 × 3 = 12

Méthode 3 : L’algorithme d’Euclide

C’est la méthode la plus rapide pour les grands nombres. Le principe : tu fais des divisions euclidiennes successives jusqu’à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.

Ce point est approfondi dans notre cours sur rendre une fraction irreductible.

Exemple : PGCD(546 ; 390)

Étape	Division euclidienne	Reste
1	546 = 390 × 1 + 156	156
2	390 = 156 × 2 + 78	78
3	156 = 78 × 2 + 0	0

Le dernier reste non nul est 78. Donc PGCD(546 ; 390) = 78.

Vérification : 546 ÷ 78 = 7 et 390 ÷ 78 = 5. Les deux divisions tombent juste.

Fractions irréductibles (simplifier avec le PGCD)

Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier, c’est-à-dire quand le numérateur et le dénominateur n’ont plus aucun diviseur commun autre que 1.

Exemple 1 : Simplifier 84/126

Cherchons PGCD(84 ; 126) par l’algorithme d’Euclide :

• 126 = 84 × 1 + 42
• 84 = 42 × 2 + 0

PGCD(84 ; 126) = 42

84/126 = (84 ÷ 42) / (126 ÷ 42) = 2/3

Exemple 2 : Simplifier 360/540

Par décomposition :

• 360 = 2³ × 3² × 5
• 540 = 2² × 3³ × 5
• PGCD = 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180

360/540 = (360 ÷ 180) / (540 ÷ 180) = 2/3

Exemple 3 : Simplifier 35/91

PGCD(91 ; 35) :

• 91 = 35 × 2 + 21
• 35 = 21 × 1 + 14
• 21 = 14 × 1 + 7
• 14 = 7 × 2 + 0

PGCD = 7

35/91 = (35 ÷ 7) / (91 ÷ 7) = 5/13

Nombres premiers entre eux

Attention : être « premiers entre eux » ne signifie pas que les nombres sont eux-mêmes premiers ! Par exemple, 8 et 15 sont premiers entre eux (PGCD = 1), mais ni 8 ni 15 n’est un nombre premier.

Comment vérifier ?

Calcule le PGCD des deux nombres. Si le résultat est 1, ils sont premiers entre eux.

Exemples :

Pour completer, decouvre notre cours sur puissances en 3eme.

• 14 et 15 : 15 = 14 × 1 + 1, 14 = 1 × 14 + 0. PGCD = 1 → premiers entre eux
• 12 et 18 : 18 = 12 × 1 + 6, 12 = 6 × 2 + 0. PGCD = 6 → pas premiers entre eux
• 25 et 36 : 36 = 25 × 1 + 11, 25 = 11 × 2 + 3, 11 = 3 × 3 + 2, 3 = 2 × 1 + 1, 2 = 1 × 2 + 0. PGCD = 1 → premiers entre eux

Le lien avec les fractions irréductibles

Une fraction a/b est irréductible si et seulement si a et b sont premiers entre eux. C’est la même chose, formulée différemment.

Propriété utile

Deux nombres consécutifs (qui se suivent) sont toujours premiers entre eux. Par exemple, 99 et 100 sont premiers entre eux, tout comme 1 000 et 1 001.

Erreurs fréquentes

Exercices corrigés

✅ Voir la correction

Par 2 ? Le chiffre des unités est 4 (pair) → oui

Par 3 ? Somme des chiffres : 2+7+5+4 = 18, et 18 est divisible par 3 → oui

Par 5 ? Le chiffre des unités est 4 (ni 0 ni 5) → non

Par 9 ? Somme des chiffres : 18, et 18 est divisible par 9 → oui

✅ Voir la correction

1 260 ÷ 2 = 630
630 ÷ 2 = 315
315 ÷ 3 = 105
105 ÷ 3 = 35
35 ÷ 5 = 7
7 ÷ 7 = 1

1 260 = 2² × 3² × 5 × 7

Vérification : 4 × 9 × 5 × 7 = 36 × 35 = 1 260 ✓

✅ Voir la correction

252 = 180 × 1 + 72
180 = 72 × 2 + 36
72 = 36 × 2 + 0

Ce sujet est détaillé dans notre opérations sur les fractions.

Le dernier reste non nul est 36.

PGCD(252 ; 180) = 36

Vérification : 252 ÷ 36 = 7 et 180 ÷ 36 = 5. Les deux divisions sont exactes. ✓

✅ Voir la correction

Calculons PGCD(234 ; 156) :

234 = 156 × 1 + 78
156 = 78 × 2 + 0

PGCD(234 ; 156) = 78

156/234 = (156 ÷ 78) / (234 ÷ 78) = 2/3

Vérification : PGCD(2 ; 3) = 1, la fraction est bien irréductible. ✓

✅ Voir la correction

a) Le nombre de bouquets doit diviser à la fois 180 et 252. Le plus grand nombre possible est le PGCD.

PGCD(252 ; 180) :

252 = 180 × 1 + 72
180 = 72 × 2 + 36
72 = 36 × 2 + 0

PGCD(252 ; 180) = 36

Le fleuriste peut réaliser 36 bouquets.

b) Chaque bouquet contient :

180 ÷ 36 = 5 roses rouges
252 ÷ 36 = 7 roses blanches

Chaque bouquet est composé de 5 roses rouges et 7 roses blanches.

FAQ

L’arithmétique tombe-t-elle souvent au brevet ?

Oui, quasiment tous les ans. L’exercice classique te donne deux grands nombres et te demande de calculer leur PGCD (souvent par l’algorithme d’Euclide), puis de simplifier une fraction ou de résoudre un problème de partage (bouquets, rangées, lots identiques). Maîtriser ce chapitre, c’est s’assurer des points au brevet.

Comment savoir quelle méthode utiliser pour le PGCD ?

Si les nombres sont petits (inférieurs à 50), la liste des diviseurs fonctionne bien. Si les nombres sont moyens, la décomposition en facteurs premiers est pratique. Pour les grands nombres, l’algorithme d’Euclide est le plus efficace. Au brevet, c’est souvent l’algorithme d’Euclide qui est attendu car il est rapide et vérifiable.

Existe-t-il un plus grand nombre premier ?

Non. Euclide a démontré il y a plus de 2 000 ans qu’il existe une infinité de nombres premiers. Le plus grand nombre premier connu à ce jour fait des millions de chiffres (il est de la forme 2^p – 1, appelé nombre de Mersenne), mais il y en a toujours un plus grand qui attend d’être découvert.

Quelle est la différence entre le PGCD et le PPCM ?

Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) est le plus grand nombre qui divise deux nombres donnés. Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) est le plus petit nombre qui est un multiple de ces deux nombres. Par exemple, pour 12 et 18 : PGCD = 6 et PPCM = 36. Il existe une relation entre les deux : PGCD(a;b) × PPCM(a;b) = a × b.

À quoi sert la décomposition en facteurs premiers dans la vie réelle ?

La décomposition en facteurs premiers est à la base de la cryptographie, qui sécurise les achats en ligne, les mots de passe et les communications numériques. Le principe : il est facile de multiplier deux très grands nombres premiers (des nombres de 300 chiffres), mais retrouver ces deux facteurs à partir de leur produit est quasiment impossible, même pour un ordinateur. C’est ce qui protège tes données sur internet.