Arithmétique – Cours 3 ème

L’arithmétique tire son nom du grec arithmos, qui signifie « nombre ». Cette branche des mathématiques étudie les entiers naturels (0, 1, 2, 3…) et leurs propriétés, comme la divisibilité ou la factorisation. Elle est la base de nombreux concepts avancés, des équations aux probabilités.

🔍 Une anecdote l’illustre: la conjecture de Goldbach, énoncée en 1742, affirme que tout nombre pair supérieur à 2 peut être exprimé comme la somme de deux nombres premiers. Malgré des siècles de recherche, elle reste non démontrée, rappelant que l’arithmétique est à la fois simple et profonde.

🔢 Comprendre la divisibilité

✅ Règles de divisibilité à connaître

Critères simples pour diviser un nombre entier :

• Par 2 : le dernier chiffre est pair (0, 2, 4, 6, 8).
  → Exemple : 124 est divisible par 2 ✅
• Par 5 : le dernier chiffre est 0 ou 5.
  → Exemple : 135 est divisible par 5 ✅
• Par 10 : le dernier chiffre est 0.
  → Exemple : 230 est divisible par 10 ✅
• Par 3 ou 9 : la somme des chiffres est divisible par 3 ou 9.
  → Exemple : 123 → 1+2+3 = 6 → divisible par 3 ✅

✨ Ces astuces permettent de vérifier rapidement la divisibilité sans calculs complexes.

🧠 Exemples concrets à retenir

• 15 : 1 + 5 = 6 → divisible par 3, et se termine par 5 → divisible par 5.
• 456 : 4 + 5 + 6 = 15 → divisible par 3.

Ces exemples montrent comment appliquer les critères de divisibilité pour identifier les diviseurs.

🧮 Méthode pour trouver tous les diviseurs

🗂️ Dresser la liste des diviseurs

Pour lister tous les diviseurs d’un nombre, testez les entiers de 1 jusqu’à √nombre.
Exemple avec 24 :

• 1 × 24
• 2 × 12
• 3 × 8
• 4 × 6

👉 Résultat : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Astuce : travaillez par paires pour ne rien oublier ✅

🔍 Nombres premiers et décomposition

⭐ Nombres premiers : définition et exemples

Un nombre premier est un entier > 1 qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

Ils sont les « briques » de l’arithmétique 🧱 car tout nombre entier peut être construit à partir d’eux.

🧪 Méthode pour reconnaître un nombre premier

Testez sa divisibilité par les nombres premiers inférieurs à sa √racine carrée.
Exemple : 11 → √11 ≈ 3,3 → Test 2 et 3. Aucun ne le divise → ✅ 11 est premier.

🧠 Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers

📌 Définition et propriété

Tout entier > 1 peut être exprimé comme un produit unique de nombres premiers :
👉 Théorème fondamental de l’arithmétique

• 20 = 2 × 2 × 5 → 2² × 5
• 231 = 3 × 7 × 11
• 225 = 3² × 5²

📉 Méthode pas à pas : décomposition de 300

Décomposons 300 :

• 300 ÷ 2 = 150
• 150 ÷ 2 = 75
• 75 ÷ 3 = 25
• 25 ÷ 5 = 5
• 5 ÷ 5 = 1

👉 Résultat : 2² × 3 × 5²

🎲 Divertissement mathématique

✨ Le nombre 73939133 est premier. Supprimez un chiffre à droite :
→ 7393913, puis 739391, 73939… jusqu’à 7 → tous premiers !

Cette rare propriété montre la beauté cachée des nombres premiers ✨

➗ Application aux fractions

🧩 Fraction irréductible : définition

Une fraction est irréductible si son numérateur et dénominateur n’ont aucun diviseur commun sauf 1.
Exemples :

• 4/9 → irréductible
• 2/8 → réductible → 1/4 ✅

📉 Méthode pour simplifier une fraction

Prenons 60/126 :

• 60 = 2² × 3 × 5
• 126 = 2 × 3² × 7

Écriture :
60/126 = (2² × 3 × 5)/(2 × 3² × 7)

👉 Simplification : annulez un 2 et un 3 → 10/21

✅ 10 et 21 n’ont que 1 en commun → la fraction est irréductible.

Pour connaitre tout le programme de 3ème en maths, c’est ici.

🧠 Conclusion : ce qu’il faut retenir du cours d’arithmétique

L’arithmétique repose sur :

• la divisibilité
• les nombres premiers
• la décomposition en facteurs
• les fractions irréductibles

Ces outils sont là pour tout calcul, du quotidien à l’algèbre avancée.

💡 Avec des règles simples et des méthodes, vous avez désormais les clés pour aborder les nombres avec confiance.