Formules trigonométriques et calcul d’angles – Cours de Maths 3ème

La trigonometrie fait partie des chapitres les plus redoutes en maths de 3eme. Pourtant, une fois que tu as compris le principe, c’est un outil redoutablement efficace pour calculer des longueurs et trouver des angles dans un triangle rectangle. Ce cours complet reprend tout depuis le debut : le vocabulaire des cotes, les trois formules (cosinus, sinus, tangente), le moyen mnemotechnique SOH-CAH-TOA, les valeurs remarquables et des exercices corriges. Tu auras toutes les cartes en main pour reussir le brevet.

Cote adjacent, cote oppose, hypotenuse : comment les reperer

Avant de toucher aux formules, tu dois maitriser le vocabulaire. Dans un triangle rectangle, chaque cote porte un nom qui depend de l’angle que tu etudies. Si tu te trompes de cote, tout le calcul sera faux. Prenons le temps de bien comprendre.

L’hypotenuse

L’hypotenuse est le cote le plus long du triangle rectangle. C’est toujours le cote qui se trouve en face de l’angle droit. Peu importe l’angle que tu etudies, l’hypotenuse ne change jamais de place. C’est le premier cote a reperer car c’est le plus simple.

Pour t’aider : l’hypotenuse est le seul cote qui ne touche pas l’angle droit directement en tant que « bras » de cet angle. Les deux autres cotes forment l’angle droit.

Le cote adjacent

Le cote adjacent est le cote qui touche l’angle etudie (autre que l’angle droit) et qui n’est pas l’hypotenuse. « Adjacent » veut dire « a cote de ». Ce cote est donc juste a cote de ton angle.

Le cote oppose

Le cote oppose est le cote qui se trouve en face de l’angle etudie. Il ne touche pas du tout cet angle. « Oppose » veut dire « en face ».

Exemple concret : Dans un triangle ABC rectangle en A, tu etudies l’angle B. L’hypotenuse est [BC] (en face de l’angle droit A). Le cote adjacent a l’angle B est [AB] (il touche B et n’est pas l’hypotenuse). Le cote oppose a l’angle B est [AC] (en face de B).

Attention : si tu changes d’angle etudie, les roles de « adjacent » et « oppose » s’inversent. L’hypotenuse, elle, reste toujours la meme.

Les 3 formules : cosinus, sinus, tangente

Les trois rapports trigonometriques relient un angle aigu d’un triangle rectangle aux longueurs de ses cotes. Chaque formule utilise deux cotes sur trois. C’est pour cela qu’il faut choisir la bonne formule selon les donnees de l’exercice.

Le cosinus

Le cosinus d’un angle aigu est le rapport entre le cote adjacent et l’hypotenuse.

Tu utilises le cosinus quand tu connais (ou tu cherches) le cote adjacent et l’hypotenuse. Le cote oppose n’intervient pas.

Exemple : Dans le triangle DEF rectangle en E, cos(D) = DE / DF. Le cote adjacent a l’angle D est DE, et l’hypotenuse est DF.

Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur triangle rectangle en 3eme.

Le sinus

Le sinus d’un angle aigu est le rapport entre le cote oppose et l’hypotenuse.

Tu utilises le sinus quand tu connais (ou tu cherches) le cote oppose et l’hypotenuse. Le cote adjacent n’intervient pas.

Exemple : Dans le triangle DEF rectangle en E, sin(D) = EF / DF. Le cote oppose a l’angle D est EF, et l’hypotenuse est DF.

La tangente

La tangente d’un angle aigu est le rapport entre le cote oppose et le cote adjacent.

Tu utilises la tangente quand tu connais (ou tu cherches) le cote oppose et le cote adjacent. L’hypotenuse n’intervient pas.

Exemple : Dans le triangle DEF rectangle en E, tan(D) = EF / DE. Le cote oppose a l’angle D est EF, et le cote adjacent est DE.

Comment choisir la bonne formule

Pour savoir quelle formule utiliser, repère les deux cotes qui interviennent dans ton exercice (ceux que tu connais ou que tu cherches) :

Tu connais / cherches	Formule a utiliser
Adjacent + Hypotenuse	Cosinus
Oppose + Hypotenuse	Sinus
Oppose + Adjacent	Tangente

SOH-CAH-TOA : le moyen mnemotechnique

Le plus gros defi en trigonometrie, c’est de ne pas melanger les formules. Pour cela, il existe un moyen mnemotechnique celebre que tous les profs de maths utilisent : SOH-CAH-TOA.

Chaque groupe de trois lettres te donne la formule : la première lettre est la fonction trigonometrique, les deux suivantes sont le numerateur et le denominateur de la fraction.

Tu peux aussi retenir cette phrase : « Sors Obligatoirement par l’Hypotenuse, Cours Autour de l’Hypotenuse, Traverse Obligatoirement l’Adjacent ». Certains eleves preferent inventer leur propre phrase. L’essentiel est que tu retiennes l’ordre des lettres.

Une autre phrase tres populaire : « CalAdHyp SinOpHyp TanOpAd » : Cosinus = Adjacent / Hypotenuse, Sinus = Oppose / Hypotenuse, Tangente = Oppose / Adjacent.

Tableau des valeurs remarquables

Certains angles reviennent tres souvent dans les exercices et au brevet : 30°, 45° et 60°. Leurs valeurs de cosinus, sinus et tangente sont exactes et s’expriment avec des racines carrées. Tu dois les connaitre par coeur.

Angle	cos	sin	tan
30°	√3 / 2 ≈ 0,866	1 / 2 = 0,5	1 / √3 = √3 / 3 ≈ 0,577
45°	√2 / 2 ≈ 0,707	√2 / 2 ≈ 0,707	1
60°	1 / 2 = 0,5	√3 / 2 ≈ 0,866	√3 ≈ 1,732

Pour l’angle de 45°, le triangle rectangle est isocele (les deux cotes de l’angle droit sont egaux). Le cosinus et le sinus valent donc la meme chose, et la tangente vaut 1 puisque oppose = adjacent.

Ce point est approfondi dans notre cours sur définition de la racine carrée.

Ces valeurs apparaissent dans les exercices du brevet. Si l’enonce te dit « dans un triangle rectangle, un angle mesure 60° et l’hypotenuse mesure 8 cm », tu peux calculer les cotes exactement, sans calculatrice, grace a ces valeurs.

Calculer une longueur avec la trigonometrie

C’est l’utilisation la plus courante de la trigonometrie en 3eme. Tu connais un angle et un cote, et tu veux trouver un autre cote. Voici la méthode en 4 etapes, suivie de trois exemples detailles.

Méthode générale

1. Vérifié que tu travailles dans un triangle rectangle.
2. Repère les cotes par rapport a l’angle connu : hypotenuse, adjacent, oppose.
3. Choisis la formule qui utilise le cote connu et le cote cherche (SOH, CAH ou TOA).
4. Isole l’inconnue et calcule.

Exemple 1 : trouver le cote oppose avec le sinus

Dans le triangle MNP rectangle en N, l’angle M mesure 35° et l’hypotenuse MP = 10 cm. Calcule NP.

NP est le cote oppose a l’angle M. MP est l’hypotenuse. On utilise le sinus (SOH).

sin(35°) = NP / MP

sin(35°) = NP / 10

NP = 10 × sin(35°)

NP = 10 × 0,5736

NP ≈ 5,74 cm

Exemple 2 : trouver l’hypotenuse avec le cosinus

Dans le triangle RST rectangle en S, l’angle R mesure 50° et RS = 6 cm. Calcule RT.

RS est le cote adjacent a l’angle R. RT est l’hypotenuse. On utilise le cosinus (CAH).

cos(50°) = RS / RT

cos(50°) = 6 / RT

RT = 6 / cos(50°)

RT = 6 / 0,6428

RT ≈ 9,33 cm

Exemple 3 : trouver le cote adjacent avec la tangente

Dans le triangle GHI rectangle en H, l’angle G mesure 40° et HI = 7 cm. Calcule GH.

HI est le cote oppose a l’angle G. GH est le cote adjacent a l’angle G. On utilise la tangente (TOA).

tan(40°) = HI / GH

tan(40°) = 7 / GH

GH = 7 / tan(40°)

GH = 7 / 0,8391

GH ≈ 8,34 cm

Calculer un angle avec la trigonometrie

Dans ce cas, tu connais deux cotes du triangle rectangle et tu veux trouver la mesure d’un angle. La méthode est similaire, mais au lieu d’isoler un cote, tu utilises les fonctions réciproques de ta calculatrice.

Les touches de la calculatrice

Pour retrouver un angle a partir d’un rapport trigonometrique, tu utilises les fonctions inverses :

• cos⁻¹ (ou arccos, ou Shift + cos) pour retrouver l’angle a partir du cosinus
• sin⁻¹ (ou arcsin, ou Shift + sin) pour retrouver l’angle a partir du sinus
• tan⁻¹ (ou arctan, ou Shift + tan) pour retrouver l’angle a partir de la tangente

Sur la plupart des calculatrices Casio ou Texas Instruments, tu appuies sur la touche Shift (ou 2nd) puis sur la touche cos, sin ou tan.

Pour completer, decouvre notre cours sur opérations sur les racines carrées.

Méthode pour calculer un angle

1. Repère les deux cotes connus par rapport a l’angle cherche.
2. Choisis la bonne formule (SOH, CAH ou TOA).
3. Calcule le rapport (la division des deux cotes).
4. Utilise la fonction inverse sur ta calculatrice.
5. Arrondis au degré pres (sauf indication contraire).

Exemple 1 : avec le cosinus

Dans le triangle ABC rectangle en B, AB = 4 cm et AC = 9 cm. Calcule l’angle A.

AB est le cote adjacent a l’angle A. AC est l’hypotenuse. On utilise le cosinus.

cos(A) = AB / AC = 4 / 9 ≈ 0,4444

A = cos⁻¹(0,4444)

A ≈ 63,6°

Exemple 2 : avec la tangente

Dans le triangle KLM rectangle en L, KL = 5 cm et LM = 8 cm. Calcule l’angle K.

LM est le cote oppose a l’angle K. KL est le cote adjacent a l’angle K. On utilise la tangente.

tan(K) = LM / KL = 8 / 5 = 1,6

K = tan⁻¹(1,6)

K ≈ 58°

Pour vérifier, tu peux calculer l’autre angle aigu : 90° – 58° = 32°. Tu peux aussi vérifier avec une autre formule trigonometrique pour t’assurer de la coherence.

Erreurs frequentes en trigonometrie

La trigonometrie est un chapitre ou les erreurs reviennent souvent. Voici les pieges les plus courants, pour que tu puisses les eviter le jour du controle ou du brevet.

Exercices corriges

Voici cinq exercices progressifs pour t’entrainer. Essaie de les faire seul avant de regarder la correction.

Ce sujet est détaillé dans notre cours sur les angles.

✅ Voir la correction

Le triangle est rectangle en B. On etudie l’angle A.

AB est le cote adjacent a l’angle A. BC est le cote oppose a l’angle A.

On cherche le cote oppose et on connait le cote adjacent : on utilise la tangente (TOA).

tan(42°) = BC / AB

tan(42°) = BC / 6

BC = 6 × tan(42°)

BC = 6 × 0,9004

BC ≈ 5,40 cm

✅ Voir la correction

Le triangle est rectangle en F. On cherche l’angle G.

EG est l’hypotenuse (en face de l’angle droit F). FG est le cote adjacent a l’angle G.

On connait l’adjacent et l’hypotenuse : on utilise le cosinus (CAH).

cos(G) = FG / EG = 7 / 12 ≈ 0,5833

G = cos⁻¹(0,5833)

G ≈ 54°

✅ Voir la correction

On modelise la situation par un triangle rectangle : le mur est vertical, le sol est horizontal, l’escabeau est l’hypotenuse.

L’hypotenuse (escabeau) = 2,5 m. Le cote adjacent a l’angle au sol = 0,8 m (distance du pied au mur).

On connait l’adjacent et l’hypotenuse : on utilise le cosinus (CAH).

cos(angle) = 0,8 / 2,5 = 0,32

angle = cos⁻¹(0,32)

angle ≈ 71°

L’escabeau forme un angle d’environ 71° avec le sol.

✅ Voir la correction

Le triangle est rectangle en J. IK est l’hypotenuse (en face de l’angle droit). On etudie l’angle I = 60°.

Calcul de IJ (cote adjacent) :

cos(60°) = IJ / IK

On sait que cos(60°) = 1/2 (valeur remarquable).

1/2 = IJ / 14

IJ = 14 × 1/2 = 7 cm

Calcul de JK (cote oppose) :

sin(60°) = JK / IK

On sait que sin(60°) = √3/2 (valeur remarquable).

√3/2 = JK / 14

JK = 14 × √3/2 = 7√3 cm ≈ 12,12 cm

Vérification : par le théorème de Pythagore : IJ² + JK² = 7² + (7√3)² = 49 + 147 = 196 = 14² = IK². Le résultat est coherent.

✅ Voir la correction

On modelise par un triangle rectangle : le sol est horizontal, la hauteur est verticale, le fil est l’hypotenuse.

Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur Pythagore en 4eme.

L’hypotenuse (fil) = 50 m. L’angle avec le sol = 55°. La hauteur est le cote oppose a cet angle.

On cherche le cote oppose et on connait l’hypotenuse : on utilise le sinus (SOH).

sin(55°) = hauteur / 50

hauteur = 50 × sin(55°)

hauteur = 50 × 0,8192

hauteur ≈ 40,96 m

Le cerf-volant se trouve a environ 41 m de hauteur.

Questions frequentes sur la trigonometrie en 3eme

Quelle est la difference entre cosinus, sinus et tangente ?

Les trois fonctions sont des rapports entre les cotes d’un triangle rectangle, mais chacune utilise une paire de cotes differente. Le cosinus utilise le cote adjacent et l’hypotenuse. Le sinus utilise le cote oppose et l’hypotenuse. La tangente utilise le cote oppose et le cote adjacent. Tu choisis l’une ou l’autre selon les donnees de ton exercice. Si tu connais l’hypotenuse et le cote adjacent, tu prends le cosinus. Si tu connais l’hypotenuse et le cote oppose, tu prends le sinus. Si tu n’as pas l’hypotenuse, tu prends la tangente.

Comment savoir si je dois multiplier ou diviser ?

Tout depend de la position de l’inconnue dans la formule. Si l’inconnue est au numerateur (en haut de la fraction), tu multiplies. Par exemple, sin(30°) = x / 10, donc x = 10 × sin(30°). Si l’inconnue est au denominateur (en bas de la fraction), tu divises. Par exemple, cos(40°) = 5 / x, donc x = 5 / cos(40°). Ecris toujours la formule de base avant de l’isoler, tu eviteras les erreurs.

La trigonometrie tombe-t-elle souvent au brevet ?

La trigonometrie est un grand classique du brevet des colleges. Elle apparait presque chaque annee, souvent dans un exercice de géométrie combinant Pythagore et trigonometrie. L’exercice typique te donne un triangle rectangle avec un angle et un cote, et te demande de calculer une longueur ou un angle. Parfois, la trigonometrie est integree dans un problème concret (hauteur d’un batiment, pente d’une route, distance d’un bateau a la cote). Maitriser ce chapitre te rapporte des points precieux.

Peut-on utiliser la trigonometrie dans un triangle qui n’est pas rectangle ?

En 3eme, non. Les formules cos, sin et tan telles que tu les apprends ne fonctionnent que dans un triangle rectangle. Cependant, dans certains exercices, on te demande de tracer une hauteur pour creer un triangle rectangle a l’interieur d’un triangle quelconque. Tu peux alors appliquer la trigonometrie dans ce sous-triangle. Au lycee, tu decouvriras des formules plus generales (loi des sinus, loi des cosinus) qui fonctionnent dans tous les triangles.

Quelle formule utiliser si on me donne les trois cotes mais pas d’angle ?

Si tu connais les trois cotes et que tu cherches un angle, tu peux utiliser n’importe laquelle des trois formules (cosinus, sinus ou tangente) puisque tu disposes de tous les cotes. En pratique, on choisit souvent le cosinus car la formule cos(angle) = adjacent / hypotenuse est la plus utilisee. Tu calcules le rapport, puis tu appliques la fonction cos⁻¹ sur ta calculatrice. Vérifié toujours en calculant la somme des angles : dans un triangle, la somme fait 180°, et dans un triangle rectangle, les deux angles aigus font 90° a eux deux.