Comment calculer un angle dans un triangle rectangle? En utilisant les formules de trigonométrie avec les fonctions cosinus, sinus et tangente, tu pourras résoudre des problèmes de mesure d’angles et de longueurs !
Comprendre les bases de la trigonométrie
La trigonométrie, c’est le domaine des mathématiques qui s’intéresse aux triangles et plus spécifiquement aux triangles rectangles. Dans ces triangles, nous utilisons trois rapports trigonométriques principaux: le sinus, le cosinus et la tangente. Ces rapports sont liés à la mesure des angles du triangle rectangle et ne dépendent que de l’angle en question.
Quelles sont les 3 formules de trigonométrie?
Pour bien débuter avec la trigonométrie, il faut s’habituer avec les formules suivantes :
Cosinus d’un angle (noté cos) : il se calcule en divisant le côté adjacent par l’hypoténuse. La formule est : cos(Angle) = Adjacent / Hypoténuse.
Sinus d’un angle (noté sin) : il correspond au rapport du côté opposé sur l’hypoténuse. Soit : sin(Angle) = Opposé / Hypoténuse.
Tangente d’un angle (noté tan) : utilisé pour calculer la division du côté opposé par le côté adjacent. Voici la formule : tan(Angle) = Opposé / Adjacent.
Tu peux retenir ces formules grâce à une petite phrase mnémotechnique : « SOH CAH TOA » ou « CAH SOH TOA« , représentant Sinus = Opposé/Hypoténuse, Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent.
Exemples pratiques 📘
🎨 Considère un triangle ABC rectangle en C. Prenons un angle Â, et supposons que l’hypoténuse AB mesure 10 cm, le côté adjacent AC mesure 8 cm et le côté opposé BC mesure 6 cm. Pour le cosinus de Â, nous allons utiliser : cos(Â) = Adjacent / Hypoténuse = 8/10 = 0,8.
🎨 Pour calculer le sinus de Â, on applique: sin(Â) = Opposé / Hypoténuse = 6/10 = 0,6.
🎨 La tangente se trouve ainsi: tan(Â) = Opposé / Adjacent = 6/8 = 0,75.
🖩 Utilise les touches cos, sin et tan sur ta calculatrice pour obtenir les valeurs des rapports directement en fonction de l’angle donné. Pour inverser ce calcul et récupérer l’angle, emploie les fonctions inverses comme arccos, arcsin, et arctan. Cela te permettra de déduire l’angle quand tu connais déjà les ratios.
Les coordonnées dans le cercle trigonométrique
Dans un cercle trigonométrique de centre O et de rayon r, les coordonnées d’un point P associé à un angle θ peuvent être déterminées avec les formules trigonométriques : x = x0 + r * cos(θ) et y = y0 + r * sin(θ). Cela permet de comprendre comment la trigonométrie intervient dans la géométrie planaire.
Pour en savoir plus sur les relations trigonométriques et d’autres exemples utiles, plonge-toi dans les cours complets sur Inimath.
Exercices de maths
Voici quelques exercices pour s’entraîner et développer ta compréhension des concepts mathématiques abordés en classe de troisième.
Calcul d’un angle dans un triangle rectangle: exercice 3ème
Énoncé de l’exercice
Dans un triangle rectangle nommé ABC, l’angle droit est en C. Les longueurs des côtés sont : AC = 3 cm et BC = 4 cm. 🟦 🌟
Calcule la mesure de l’angle aigu en A. Conseil : utilise les fonctions trigonométriques et la calculatrice pour te guider.
Instructions
- 🔍 Identifie les côtés de l’angle que tu dois calculer.
- 📐 Choisis la fonction trigonométrique à utiliser. Indice : réfléchis à quel côté est adjacent et quel côté est opposé à l’angle.
- 🧮 Applique la formule et utilise ta calculatrice pour calculer l’angle.
Correction
🔍 Pour l’angle A : le côté adjacent est AC, et le côté opposé est BC.
📐 Nous utilisons la fonction tangente car elle implique le côté opposé et le côté adjacent : tan(A) = Opposé/Adjacent = BC/AC = 4/3.
🧮 Sur la calculatrice, nous calculons l’angle A en utilisant l’arc tangente (aussi notée arctan) :
A = arctan(4/3) ≈ 53,13°
✨ Donc, l’angle A mesure environ 53,13°.
Calculer l’angle avec les formules de trigonométrie en 3ème
Énoncé de l’exercice
Dans un triangle rectangle 🛆, l’hypoténuse mesure 10 cm et le côté adjacent à l’angle A mesure 8 cm. Trouvez la mesure de l’angle A en utilisant les formules de trigonométrie. Astuce : Pensez au cosinus ! 🔍
Instructions
- 🔎 Identifiez les éléments connus : l’hypoténuse et le côté adjacente sont donnés. Utilisez le cosinus pour commencer.
- ✏️ Écrivez la formule du cosinus : cos(A) = adjacent / hypoténuse.
- 💻 Calculez le cosinus de l’angle A en utilisant les valeurs fournies.
- 🧮 Utilisez une calculatrice pour trouver l’angle A en utilisant la fonction arccos.
Correction
🔎 Étape 1 : Les éléments connus sont l’hypoténuse (10 cm) et le côté adjacent (8 cm).
✏️ Étape 2 : On utilise la formule du cosinus : cos(A) = adjacent / hypoténuse.
🧮 Étape 3 : Calculons le cosinus : cos(A) = 8 / 10 = 0,8.
💻 Étape 4 : Maintenant, trouvons l’angle A à l’aide d’une calculatrice : A = arccos(0,8).
🟢 Résultat final : A ≈ 36,87°.
Calcul d’angles dans un triangle rectangle – Trigonométrie 3ème
Énoncé de l’exercice
Dans un triangle rectangle ABC, où le point C est l’angle droit, on a AC = 4 cm et BC = 3 cm. 💡 Calcule l’angle aigu  en utilisant les formules de trigonométrie ! (Pense à quel rapport trigonométrique utiliser !) 🎯
Ton objectif : Trouve la mesure de l’angle  ! 🔍
Instructions
- 🔍 Identifier quel rapport trigonométrique utiliser : cosinus, sinus ou tangente.
- 📐 Calculer l’angle  en utilisant la formule trigonométrique choisie.
- 📲 Utiliser une calculette pour obtenir l’angle, exprimé en degrés. Assure-toi que ta calculette est bien en mode degrés !
Correction
🎯 Étape 1 : Identifions le rapport trigonométrique à utiliser. Puisque nous avons les longueurs AC (4 cm) et BC (3 cm), ces deux longueurs représentent respectivement le côté adjacent à l’angle  et opposé à celui-ci.
➡️ Le rapport qui relie ces côtés est la tangente. Donc :
tan(Â) = BC / AC = 3 / 4
⚙️ Étape 2 : Calculons l’angle  en utilisant la fonction arctangente (tan⁻¹) :
 = tan⁻¹(3 / 4)
📲 Étape 3 : Sur ta calculette, entre la formule précédente pour tan⁻¹(3/4) et vérifie bien d’être en mode degrés. 🔍
📏 Résultat : L’angle  est approximativement 36,87°.
Conclusion
Comprendre les formules trigonométriques est un jeu d’enfant une fois que tu réalises à quel point elles sont liées aux mesures d’angles et de longueurs dans un triangle rectangle. Avec le cosinus, le sinus et la tangente, tu peux facilement naviguer parmi ces concepts.
Se lancer dans le calcul des angles avec la trigonométrie te permettra de renforcer ta maîtrise des mathématiques. N’oublie pas que chaque formule est une clé qui ouvre la porte à de nouvelles résolutions de problèmes.
Grâce à cet apprentissage, tu pourras aisément manipuler les notions de longueur et d’angle pour trouver des solutions élégantes à chaque défi imposé par la trigonométrie en classe de 3ème.
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Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.