📐 En bref
Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont exactement la même forme, mais pas forcément la même taille : l’un est un agrandissement ou une réduction de l’autre. Au programme de 3e, savoir reconnaître deux triangles semblables et utiliser leur rapport de proportionnalité pour calculer des longueurs est une compétence très souvent évaluée au Brevet.
Les triangles semblables sont l’un des chapitres clés de géométrie en classe de 3e. Ils prolongent ce que tu connais déjà sur la proportionnalité et sur le théorème de Thalès, et ils reviennent régulièrement dans les sujets du Diplôme National du Brevet. Dans ce cours, tu trouveras la définition exacte, les critères pour démontrer que deux triangles sont semblables, le rôle du rapport de similitude, le lien avec Thalès, l’effet sur les aires, ainsi que plusieurs exercices corrigés type Brevet.
Qu’est-ce que deux triangles semblables ?
📐 Définition
Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont deux à deux de même mesure. Autrement dit, ils ont la même forme : on passe de l’un à l’autre par un agrandissement ou une réduction.
Quand deux triangles sont semblables, on dispose en réalité de deux propriétés équivalentes, qui vont toujours ensemble :
- leurs angles sont égaux deux à deux ;
- les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles (les côtés qui se correspondent forment des rapports égaux).
Le vocabulaire des éléments homologues
Lorsque deux triangles sont semblables, les angles, les sommets et les côtés qui se correspondent sont dits homologues. Par exemple, si les triangles ABC et DEF sont semblables avec :
- angle A = angle D,
- angle B = angle E,
- angle C = angle F,
alors le sommet A est homologue de D, le côté [AB] est homologue de [DE], le côté [BC] de [EF], etc. Repérer correctement les côtés homologues est essentiel : c’est ce qui permet d’écrire les bons rapports proportionnels et de ne pas se tromper dans les calculs.
💡 Astuce
Pour repérer les côtés homologues sans erreur, place les deux triangles « dans le même sens » et compare-les angle par angle. Le côté homologue d’un côté donné est celui qui est opposé à l’angle égal. Le plus grand côté correspond toujours au plus grand côté, le plus petit au plus petit.
Comment démontrer que deux triangles sont semblables ?
Pour prouver dans un devoir ou au Brevet que deux triangles sont semblables, tu n’as pas besoin de tout vérifier. Il existe des critères : une seule de ces conditions suffit.
Critère 1 — Deux angles égaux deux à deux (le plus utilisé)
📐 Propriété
Si deux angles d’un triangle sont égaux à deux angles d’un autre triangle, alors ces deux triangles sont semblables.
Ce critère fonctionne grâce à une propriété que tu connais déjà : la somme des angles d’un triangle vaut toujours 180°. Si deux angles sont égaux, le troisième l’est forcément aussi, puisqu’il complète la somme à 180°. C’est de loin le critère le plus pratique, car il suffit de trouver deux angles égaux (souvent grâce à des angles alternes-internes, des angles opposés par le sommet ou un angle commun).
Critère 2 — Les trois côtés proportionnels
📐 Propriété
Si les longueurs des côtés d’un triangle sont proportionnelles aux longueurs des côtés d’un autre triangle, alors ces deux triangles sont semblables.
Concrètement, on calcule les trois rapports entre côtés homologues. Si ces trois rapports sont égaux, les triangles sont semblables. Par exemple, si :
AB / DE = BC / EF = AC / DF
alors les triangles ABC et DEF sont semblables.
Réciproque utile
Ces critères marchent aussi dans l’autre sens. Si l’on sait déjà que deux triangles sont semblables, alors on est sûr que leurs angles sont égaux deux à deux et que leurs côtés sont proportionnels. C’est précisément cela qui permet de calculer une longueur manquante.
Le rapport de similitude (agrandissement et réduction)
📐 Définition
Le rapport de similitude (ou coefficient d’agrandissement/réduction), souvent noté k, est le nombre par lequel on multiplie chaque longueur d’un triangle pour obtenir les longueurs du triangle semblable.
Si le triangle DEF est un agrandissement du triangle ABC de rapport k, alors :
DE = k × AB, EF = k × BC, DF = k × AC.
- Si k > 1, il s’agit d’un agrandissement (le triangle devient plus grand).
- Si 0 < k < 1, il s’agit d’une réduction (le triangle devient plus petit).
- Si k = 1, les deux triangles sont isométriques (mêmes angles ET mêmes longueurs : ils sont superposables).
Le lien avec le théorème de Thalès
Le théorème de Thalès et les triangles semblables sont très proches. Dans une configuration de Thalès (deux droites parallèles coupant deux sécantes), les deux triangles formés sont semblables : ils partagent un angle commun et ont des angles égaux grâce aux droites parallèles (angles correspondants ou alternes-internes).
C’est pour cela que Thalès donne des rapports de longueurs égaux : c’est en fait une application directe de la proportionnalité des côtés de triangles semblables. Réciproquement, dès que deux triangles sont semblables, on peut écrire les égalités de rapports « à la manière de Thalès ».
Effet d’un agrandissement-réduction sur les longueurs et les aires
C’est un point que les correcteurs adorent vérifier, car c’est une source d’erreur fréquente. Quand on multiplie les longueurs par un rapport k, l’aire, elle, n’est pas multipliée par k, mais par k².
| Grandeur | Effet d’un agrandissement/réduction de rapport k |
|---|---|
| Les longueurs (côtés, périmètre) | multipliées par k |
| Les angles | inchangés (conservés) |
| L’aire | multipliée par k² |
| Le volume (en 3D) | multiplié par k³ |
Exemple : si l’on agrandit un triangle avec un rapport k = 3, ses longueurs sont multipliées par 3, mais son aire est multipliée par 3² = 9.
Exercices type Brevet
✏️ Exercice 1 — Démontrer que deux triangles sont semblables
Dans un triangle ABC, l’angle  mesure 50° et l’angle B̂ mesure 60°. Dans un triangle DEF, l’angle D̂ mesure 50° et l’angle F̂ mesure 70°.
Les triangles ABC et DEF sont-ils semblables ?
Voir la correction
Calculons les angles manquants à l’aide de la somme des angles d’un triangle (180°).
Triangle ABC : Ĉ = 180 − 50 − 60 = 70°. Les angles sont donc 50°, 60°, 70°.
Triangle DEF : Ê = 180 − 50 − 70 = 60°. Les angles sont donc 50°, 70°, 60°.
Les deux triangles ont les mêmes mesures d’angles : 50°, 60° et 70°. D’après le critère « deux angles égaux deux à deux », les triangles ABC et DEF sont semblables.
✏️ Exercice 2 — Calculer une longueur manquante
Les triangles ABC et MNP sont semblables, les sommets étant homologues dans cet ordre (A↔M, B↔N, C↔P). On donne : AB = 4 cm, BC = 6 cm, et MN = 6 cm.
Calculer la longueur NP.
Voir la correction
Comme les triangles sont semblables, leurs côtés homologues sont proportionnels :
MN / AB = NP / BC
Cherchons d’abord le rapport de similitude k :
k = MN / AB = 6 / 4 = 1,5
Le triangle MNP est donc un agrandissement de rapport 1,5. On en déduit :
NP = k × BC = 1,5 × 6 = 9 cm
On peut vérifier avec le produit en croix : NP = (MN × BC) / AB = (6 × 6) / 4 = 36 / 4 = 9 cm. ✔
✏️ Exercice 3 — Effet sur l’aire
Un triangle a une aire de 12 cm². On l’agrandit pour obtenir un triangle semblable avec un rapport de similitude k = 2.
Quelle est l’aire du nouveau triangle ?
Voir la correction
Lors d’un agrandissement de rapport k, l’aire est multipliée par k² (et non par k).
Nouvelle aire = k² × ancienne aire = 2² × 12 = 4 × 12 = 48 cm²
L’aire est multipliée par 4, alors que les longueurs ne sont multipliées que par 2.
💡 Astuce
Au Brevet, pour démontrer que deux triangles sont semblables, cherche d’abord les angles : c’est presque toujours le chemin le plus rapide. Un angle commun, des droites parallèles (angles alternes-internes ou correspondants) ou des angles opposés par le sommet te donnent immédiatement les égalités d’angles dont tu as besoin.
⚠️ Erreur fréquente
Ne confonds pas l’effet sur les longueurs et l’effet sur les aires ! Si les longueurs sont multipliées par k, l’aire est multipliée par k², pas par k. Autre piège classique : écrire des rapports avec des côtés qui ne se correspondent pas. Vérifie toujours quel côté est homologue de quel côté (le grand avec le grand, le petit avec le petit) avant de poser ton égalité.
FAQ — Triangles semblables en 3e
Quelle est la différence entre triangles semblables et triangles isométriques ?
Deux triangles semblables ont la même forme (mêmes angles) mais des tailles différentes : l’un est l’agrandissement ou la réduction de l’autre. Deux triangles isométriques sont des triangles semblables particuliers, dont le rapport de similitude vaut k = 1 : ils ont à la fois les mêmes angles et les mêmes longueurs, donc ils sont superposables.
Combien d’angles égaux faut-il pour démontrer que deux triangles sont semblables ?
Il suffit de deux angles égaux deux à deux. En effet, comme la somme des angles d’un triangle vaut 180°, si deux angles sont égaux, le troisième l’est automatiquement. C’est le critère le plus rapide et le plus utilisé au Brevet.
Quel est le lien entre triangles semblables et théorème de Thalès ?
Dans une configuration de Thalès (deux droites parallèles coupant deux sécantes), les deux triangles formés sont semblables : ils ont un angle commun et des angles égaux grâce aux parallèles. Les égalités de rapports données par Thalès sont en réalité une application de la proportionnalité des côtés de triangles semblables.
Cardia Anthony, 35 ans, professeur des écoles passionné depuis 2014.
