Comment représenter graphiquement une fonction linéaire ? En quelques étapes simples, tu verras que la fonction est décrite par la formule f(x) = ax, formant une droite qui passe par l’origine.
Définition des fonctions linéaires
Pour comprendre les fonctions linéaires, tu dois savoir qu’il s’agit de fonctions particulières exprimées sous la forme f(x) = ax. Ici, le paramètre a est une constante, souvent appelée le coefficient de la fonction.
C’est ce coefficient qui donne à la fonction sa caractéristique principale : elle traduit une situation de proportionnalité entre deux grandeurs. Cela signifie que si tu multiplies l’entrée par deux, l’image est aussi multipliée par deux. Comprendre ce concept est essentiel pour travailler efficacement avec ces fonctions !
Représentation graphique
La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine, c’est-à-dire le point (0,0). Elle passe également par le point (1;a), ce qui est un excellent moyen de vérifier si une représentation est correcte.
Utiliser des outils graphiques pour tracer ces droites peut t’aider à mieux visualiser comment elles représentent les situations de proportionnalité. Essayons d’illustrer avec un exemple pratique.
📈 Exemple de fonction linéaire
Considérons la fonction f(x) = 3x. Cette fonction linéaire a pour représentation graphique une droite passant par les points (0,0) et (1,3).
Si tu prends x = 2, l’image sera f(2) = 3×2 = 6. Cela signifie que pour chaque unité augmentée dans x, la sortie f(x) augmente de trois unités.
💡 Astuces pour déterminer une fonction linéaire
Pour savoir si une fonction est vraiment linéaire, vérifie que pour tout couple de points (x₁, y₁) et (x₂, y₂), le rapport (y₂-y₁)/(x₂-x₁) est constant et égal au coefficient a.
Utilise des tableaux de valeurs pour mieux observer les proportions. Cela est souvent plus simple que de faire des calculs répétitifs.
Application et exercices pratiques
Passer de la théorie à la pratique avec des exercices est essentiel pour bien comprendre. Quand tu rencontres une situation de proportionnalité, pense à comment cela pourrait être modélisé par une fonction de la forme f(x) = ax.
Pour t’exercer, tu peux essayer de déterminer une fonction linéaire f telle que f(3) = 9 et f(-2) = -6. Pense à vérifier les propriétés vues pour confirmer ta réponse.
Découvre d’autres ressources sur les fonctions linéaires
Exercices de maths
Voici quelques exercices pour t’entraîner et mieux comprendre les fonctions linéaires et leurs applications concrètes.
Exercice sur la Représentation des Fonctions Linéaires
Énoncé de l’exercice
Soit une fonction linéaire notée f telle que f(x) = 3x. 📈
On te demande de déterminer l’image de x = 2 et de vérifier si le point (1, 3) appartient à la droite représentant la fonction f. 🔍
Ce qu’il faut faire :
1. Calcule f(2).
2. Vérifie si (1, 3) est bien un point de la droite qui passe par l’origine.
N’oublie pas que l’équation de la droite est y = ax où ici a = 3. 😉
Instructions
- 🔢 Calcule l’image de x = 2 en utilisant la fonction f(x) = 3x.
- Substitue x par 2 dans l’expression.
- Assure-toi de bien effectuer les opérations. 🧮
- Substitue x par 2 dans l’expression.
- Assure-toi de bien effectuer les opérations. 🧮
- 📊 Vérifie si le point (1, 3) appartient à la fonction f.
- Calcule f(1) à partir de f(x) = 3x.
- Compare le résultat obtenu à y = 3.
- Calcule f(1) à partir de f(x) = 3x.
- Compare le résultat obtenu à y = 3.
- Substitue x par 2 dans l’expression.
- Assure-toi de bien effectuer les opérations. 🧮
- Calcule f(1) à partir de f(x) = 3x.
- Compare le résultat obtenu à y = 3.
Correction
🔢 Calcul de l’image de x = 2 :
En utilisant la fonction f(x) = 3x, on remplace x par 2 :
f(2) = 3 × 2 = 6.
Donc, l’image de x = 2 est 6.
📊 Vérification du point (1, 3) :
On calcule f(1) avec l’expression f(x) = 3x :
f(1) = 3 × 1 = 3.
On constate que f(1) = 3, donc le point (1, 3) appartient bien à la droite de la fonction. ✅
Ainsi, le point (1, 3) appartient à la fonction linéaire.
Identifier et représenter une fonction linéaire
Énoncé de l’exercice
🥇 Considérons la fonction f définie par f(x) = 4x.
🌈 Tracez la représentation graphique de cette fonction sur un repère orthogonal et déterminez les coordonnées de deux points par lesquels passe la droite 🔍.
✨ Astuce : Pensez à utiliser les propriétés des fonctions linéaires pour trouver les points.
Instructions
- 🔍 Tout d’abord, identifiez la forme de la fonction donnée et le coefficient a.
- 🖊️ Ensuite, choisissez deux valeurs de x pour calculer leurs images y.
- 📈 Tracez la droite correspondant à ces points sur votre repère orthogonal.
- ✅ Vérifiez que la droite passe bien par l’origine du repère.
💡 Un indice : la droite d’une fonction linéaire passe toujours par l’origine !
Correction
🔍 Pour commencer, la fonction f(x) = 4x est une fonction linéaire car elle est de la forme f(x) = ax où ici a = 4.
🖊️ Choisissons x = 0 et x = 1 pour trouver nos points :
- Pour x = 0, f(0) = 4 × 0 = 0. Le point est (0, 0).
- Pour x = 1, f(1) = 4 × 1 = 4. Le point est (1, 4).
📈 Tracez maintenant la droite passant par ces deux points (0, 0) et (1, 4).
✅ Comme attendu, la droite passe par l’origine et à travers les points choisis.
Votre réponse correcte devrait ressembler à une droite passant par : (0,0) et (1,4).
Calcul d’une Fonction Linéaire et Interprétation
Énoncé de l’exercice
🎯 Dans cet exercice, tu dois trouver la valeur de a pour une fonction linéaire f telle que f(3) = 9 et f(5) = 15. Tip : observe attentivement la relation entre les valeurs données 🌟.
Instructions
- 🟢 Identifie d’abord la forme de la fonction linéaire, qui est f(x) = ax.
- 📏 Compare les valeurs de f(x) données pour x = 3 et x = 5 aux équations correspondantes.
- 🔍 Résous l’équation pour déterminer la valeur de a.
- 🤔 Vérifie ta réponse en insérant la valeur de a dans l’équation et en validant avec les valeurs données.
- 🔗 Repense à la relation de proportionnalité entre les valeurs pour assurer la cohérence des résultats.
Correction
🔍 Étape 1 : La fonction linéaire est donnée par f(x) = a x. Pour x = 3, on a f(3) = 3a = 9.
🖋️ Étape 2 : Résolvons l’équation 3a = 9. En divisant chaque côté par 3, on trouve a = 3.
🔎 Étape 3 : Vérifions avec l’autre donnée : pour x = 5, f(5) doit être égal à 5a = 15. Avec a = 3, cela nous donne : 5 × 3 = 15, ce qui est correct.
✅ Ainsi, la valeur de a est 3.
En découvrant les fonctions linéaires, tu as acquis une nouvelle clé pour comprendre les notions de proportionnalité et de relations entre les nombres. Cette approche te permet de visualiser et de modéliser des situations de manière simple.
En t’entraînant à tracer et à analyser les graphiques, tu renforces ta capacité à résoudre des problèmes de manière analytique. Ton expérience avec les fonctions linéaires te prépare à explorer d’autres types de fonctions, comme les fonctions affines.
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Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
