La distributivité, c’est une des propriétés les plus utiles en maths. Elle te permet de développer des expressions, de factoriser, et surtout de faire du calcul mental beaucoup plus rapidement. Si tu n’as jamais compris pourquoi on peut écrire 3 x (20 + 7) = 3 x 20 + 3 x 7, ce cours va tout t’expliquer. Et une fois que tu maîtrises la distributivité, tu as la clé pour tout le calcul littéral du collège.
Pourquoi la distributivité change tout
Imagine que tu dois calculer 7 x 98 de tête. Pas facile, hein ? Mais si tu écris 7 x 98 = 7 x (100 – 2) = 700 – 14 = 686, c’est beaucoup plus simple. Ce que tu viens de faire, c’est utiliser la distributivité de la multiplication par rapport à la soustraction. Et ça marche aussi avec l’addition : 4 x 53 = 4 x (50 + 3) = 200 + 12 = 212.
En 5ème, la distributivité va te servir dans trois domaines : le calcul mental, le développement d’expressions littérales et la factorisation. C’est la base de tout le travail sur les expressions littérales.
La propriété de distributivité
Pour tous les nombres a, b et c :
a x (b + c) = a x b + a x c
Et aussi : (b + c) x a = b x a + c x a
La multiplication se « distribue » sur chaque terme de la somme.
Pour tous les nombres a, b et c :
a x (b – c) = a x b – a x c
Même principe, mais avec une soustraction. Le signe « moins » est conservé.
En clair, quand tu multiplies un nombre par une somme (ou une différence), tu peux multiplier ce nombre par chaque terme séparément, puis additionner (ou soustraire) les résultats.
Exemples numériques :
5 x (30 + 4) = 5 x 30 + 5 x 4 = 150 + 20 = 170
6 x (50 – 3) = 6 x 50 – 6 x 3 = 300 – 18 = 282
3 x (100 + 20 + 7) = 3 x 100 + 3 x 20 + 3 x 7 = 300 + 60 + 21 = 381
Pour multiplier par 99, utilise la distributivité : 99 = 100 – 1.
Donc 7 x 99 = 7 x 100 – 7 x 1 = 700 – 7 = 693.
Pour multiplier par 101 : 101 = 100 + 1.
Donc 8 x 101 = 800 + 8 = 808.
C’est beaucoup plus rapide qu’un calcul posé !
Développer une expression
Développer, c’est transformer un produit en somme (ou différence) en utilisant la distributivité. On « ouvre » les parenthèses.
Pour développer k(a + b) :
1. Multiplie k par le premier terme : k x a
2. Multiplie k par le deuxième terme : k x b
3. Relie les deux avec le signe + (ou – si c’était une soustraction)
Exemples avec des lettres :
3(x + 5) = 3x + 15
2(4a – 7) = 8a – 14
5(2x + 3y) = 10x + 15y
-4(x – 2) = -4x + 8
3(x + 5) = 3x + 5 ??? FAUX !
3(x + 5) = 3x + 15 (il faut aussi multiplier 5 par 3)
C’est l’erreur la plus fréquente. Le facteur devant la parenthèse multiplie tous les termes à l’intérieur, pas seulement le premier.
-2(x – 3) = -2x – 3 ??? FAUX !
-2(x – 3) = -2x + 6
Quand tu multiplies -2 par -3, le résultat est +6. Retiens la règle des signes :
– x – = +
– x + = –
+ x – = –
+ x + = +
La règle des signes est liée au travail sur les nombres relatifs. Si tu as du mal avec les multiplications de nombres négatifs, revois ce chapitre.
Factoriser une expression
Factoriser, c’est l’opération inverse du développement. On transforme une somme (ou différence) en produit en mettant un facteur commun en évidence.
Pour factoriser, cherche le facteur commun à tous les termes.
1. Identifie le nombre (ou la lettre) qui apparaît dans chaque terme
2. Mets-le devant la parenthèse
3. Écris entre parenthèses ce qui reste de chaque terme
Exemples :
6x + 18 = 6(x + 3) (facteur commun : 6)
12a – 8 = 4(3a – 2) (facteur commun : 4)
15x + 10y = 5(3x + 2y) (facteur commun : 5)
3x + x = x(3 + 1) = 4x (facteur commun : x)
Pour les nombres, cherche le plus grand diviseur commun. Par exemple, pour 12 et 18, c’est 6. Pour 15 et 25, c’est 5.
Pour vérifier ta factorisation, redéveloppe le résultat. Tu dois retomber sur l’expression de départ. C’est le meilleur moyen de ne jamais se tromper.
12x + 18 = 2(6x + 9) Pas faux, mais incomplet !
On peut encore factoriser : 2 x 3(2x + 3) = 6(2x + 3).
Il faut chercher le plus grand facteur commun pour que la factorisation soit complète.
Développer et réduire
Souvent, on te demande de « développer et réduire » une expression. Ça veut dire : développe d’abord (enlève les parenthèses), puis regroupe les termes de même nature.
Développe et réduis : 3(2x + 4) + 5(x – 1)
Étape 1 — Développer :
3(2x + 4) = 6x + 12
5(x – 1) = 5x – 5
Étape 2 — Rassembler :
6x + 12 + 5x – 5
Étape 3 — Réduire :
= (6x + 5x) + (12 – 5)
= 11x + 7
Pour réduire, tu regroupes les termes en x ensemble et les constantes ensemble. C’est le même principe que la réduction d’expressions littérales en 4ème, mais tu commences à t’y entraîner dès la 5ème.
Autre exemple avec des signes négatifs :
Développe et réduis : 4(3x – 2) – 2(x + 5)
4(3x – 2) = 12x – 8
-2(x + 5) = -2x – 10
12x – 8 – 2x – 10 = 10x – 18
Quand il y a un signe « – » devant la parenthèse, tous les signes à l’intérieur changent :
-(x + 3) = -x – 3 (pas -x + 3)
-(2x – 7) = -2x + 7 (pas -2x – 7)
C’est comme si tu multipliait par -1. Fais très attention à cette règle, c’est la source de beaucoup d’erreurs.
Priorités opératoires et parenthèses
La distributivité est intimement liée aux priorités opératoires. Rappel des règles :
| Priorité | Opérations | Exemple |
|---|---|---|
| 1 (la plus forte) | Parenthèses | 3 x (2 + 5) = 3 x 7 = 21 |
| 2 | Multiplications et divisions | 3 + 2 x 5 = 3 + 10 = 13 |
| 3 (la plus faible) | Additions et soustractions | De gauche à droite |
Quand tu as une expression sans parenthèses comme 3 + 4 x 5, tu fais d’abord la multiplication : 3 + 20 = 23 (et non 7 x 5 = 35). La distributivité te permet justement de supprimer les parenthèses en « distribuant » la multiplication, ce qui te ramène ensuite aux règles de priorité classiques.
Pour revoir les bases sur les écritures fractionnaires, n’hésite pas à consulter le cours correspondant, car les fractions suivent les mêmes règles de priorité.
Exercices corrigés
Calcule en utilisant la distributivité :
a) 6 x 103
b) 8 x 97
c) 12 x 25
Voir la correction
a) 6 x 103 = 6 x (100 + 3) = 600 + 18 = 618
b) 8 x 97 = 8 x (100 – 3) = 800 – 24 = 776
c) 12 x 25 = 12 x (20 + 5) = 240 + 60 = 300
Développe :
a) 4(x + 7)
b) 3(2a – 5)
c) -2(x + 4)
Voir la correction
a) 4(x + 7) = 4x + 28
b) 3(2a – 5) = 6a – 15
c) -2(x + 4) = -2x – 8
Attention au c) : -2 x (+4) = -8, pas +8.
Factorise :
a) 8x + 12
b) 15a – 10
c) 6x + 9y
Voir la correction
a) 8x + 12 = 4(2x + 3) (facteur commun : 4)
b) 15a – 10 = 5(3a – 2) (facteur commun : 5)
c) 6x + 9y = 3(2x + 3y) (facteur commun : 3)
Vérification du a) : 4 x 2x + 4 x 3 = 8x + 12. C’est bon.
Développe et réduis :
2(3x + 1) + 4(x – 3)
Voir la correction
2(3x + 1) = 6x + 2
4(x – 3) = 4x – 12
6x + 2 + 4x – 12 = (6x + 4x) + (2 – 12) = 10x – 10
On peut même factoriser le résultat : 10x – 10 = 10(x – 1).
Développe et réduis :
5(2x – 3) – 3(x + 4)
Voir la correction
5(2x – 3) = 10x – 15
-3(x + 4) = -3x – 12
10x – 15 – 3x – 12 = (10x – 3x) + (-15 – 12) = 7x – 27
Factorise :
a) 14x + 21
b) 20a – 30b + 10
Voir la correction
a) 14x + 21 = 7(2x + 3) (facteur commun : 7)
b) 20a – 30b + 10 = 10(2a – 3b + 1) (facteur commun : 10)
Vérification du b) : 10 x 2a – 10 x 3b + 10 x 1 = 20a – 30b + 10. C’est correct.
Calcule 15 x 12 de trois façons différentes en utilisant la distributivité.
Voir la correction
Méthode 1 : 15 x 12 = 15 x (10 + 2) = 150 + 30 = 180
Méthode 2 : 15 x 12 = (10 + 5) x 12 = 120 + 60 = 180
Méthode 3 : 15 x 12 = 15 x (15 – 3) = 225 – 45 = 180
Les trois méthodes donnent bien le même résultat.
Développe et réduis :
-(3x – 7) + 2(x + 1)
Voir la correction
-(3x – 7) = -3x + 7 (les signes changent)
2(x + 1) = 2x + 2
-3x + 7 + 2x + 2 = (-3x + 2x) + (7 + 2) = -x + 9
Un rectangle a pour longueur (2x + 3) et pour largeur 5. Exprime son périmètre en fonction de x, puis développe et réduis.
Voir la correction
Périmètre = 2 x (longueur + largeur)
P = 2 x ((2x + 3) + 5)
P = 2 x (2x + 8)
P = 4x + 16
Le périmètre vaut 4x + 16.
Par exemple, si x = 3 : P = 4 x 3 + 16 = 12 + 16 = 28. Vérifions : longueur = 2 x 3 + 3 = 9, largeur = 5. P = 2 x (9 + 5) = 2 x 14 = 28. Correct.
Montre que l’expression 3(2x + 5) – 2(3x – 1) est égale à un nombre constant (qui ne dépend pas de x).
Voir la correction
3(2x + 5) = 6x + 15
-2(3x – 1) = -6x + 2
6x + 15 – 6x + 2 = (6x – 6x) + (15 + 2) = 0 + 17 = 17
Les termes en x s’annulent. L’expression vaut toujours 17, quelle que soit la valeur de x. C’est ce qu’on appelle une expression constante.
FAQ — Questions fréquentes sur la distributivité
Ce sont les opérations inverses. Développer = transformer un produit en somme : 3(x + 2) devient 3x + 6. Factoriser = transformer une somme en produit : 3x + 6 devient 3(x + 2). Pour vérifier, développe ta factorisation : tu dois retrouver l’expression de départ.
Comment ne pas se tromper avec les signes ?
Écris chaque multiplication séparément. Par exemple, pour -3(2x – 5) : -3 x 2x = -6x, puis -3 x (-5) = +15. Résultat : -6x + 15. En détaillant chaque produit, tu ne fais plus d’erreur de signe.
La distributivité fonctionne-t-elle avec la division ?
On peut distribuer une division sur une addition : (a + b) / c = a/c + b/c. Mais attention, on ne peut pas distribuer un nombre sur une division : a / (b + c) n’est PAS a/b + a/c. C’est un piège classique.
Comment trouver le facteur commun pour factoriser ?
Cherche le plus grand nombre qui divise tous les coefficients. Par exemple, pour 12x + 18 : les diviseurs communs de 12 et 18 sont 1, 2, 3 et 6. Le plus grand est 6, donc facteur commun = 6.
La distributivité, c’est utile au brevet ?
Absolument. Le calcul littéral (développer, factoriser, réduire) est au programme de la 5ème à la 3ème et tombe presque chaque année au brevet. La distributivité est la brique de base de tous ces calculs.
Peut-on distribuer avec plus de deux termes dans la parenthèse ?
Oui, la distributivité fonctionne avec autant de termes que tu veux : a(b + c + d) = ab + ac + ad. Tu multiplies le facteur par chaque terme de la parenthèse.
La distributivité est une propriété fondamentale que tu vas utiliser pendant tout le collège et au-delà. Retiens les deux sens : développer (du produit vers la somme) et factoriser (de la somme vers le produit). Fais attention aux signes, surtout quand il y a un « moins » devant la parenthèse. Pour t’entraîner davantage, consulte le cours sur les expressions littérales et celui sur les nombres relatifs pour bien maîtriser la règle des signes.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
