Comment simplifier une expression en maths ? En 3ème, on apprend à factoriser en transformant une somme ou une différence en un produit. C’est comme assembler un puzzle en recherchant le facteur commun.
Comprendre la notion de factorisation
En classe de 3ème, il est essentiel de bien comprendre ce qu’est la factorisation. En mathématiques, factoriser, c’est transformer une somme ou une différence en un produit. Imagine que tu as une somme telle que 2x + 6. Plutôt que de laisser ces termes séparés, tu peux les réécrire comme 2(x + 3). Ainsi, tu vois que 2 est un facteur commun de chaque terme initial (c’est-à-dire 2x et 6). En factorisant, tu simplifies l’expression littérale et tu facilites les calculs ultérieurs.
La méthode de la recherche du facteur commun
Pour factoriser une expression, la première méthode que tu dois apprendre est la recherche du facteur commun. Cela consiste à trouver un nombre ou une lettre qui divise tous les termes de l’expression. Par exemple, considérons l’expression 3x + 15. Ici, le nombre 3 est un facteur commun car il divise à la fois 3x et 15. Ainsi, on peut écrire cette somme comme 3(x + 5).
🤓 Astuce : Lors de la recherche du facteur commun, pense à vérifier chaque terme de l’expression en te demandant s’ils partagent un même diviseur. Cela te simplifiera la tâche !
Utilisation de la distributivité pour la factorisation
La distributivité est une technique essentielle pour la factorisation. Elle peut être utilisée de manière inverse pour passer d’une somme à un produit. Par exemple, considérons (x + 4)(x – 3). En développant ce produit avec la distributivité, on obtient x² + x – 12. Cette expression développée peut être retransformée en (x + 4)(x – 3) en appliquant la factorisation.
📚 Exemple : Considère 5x + 10. En utilisant la distributivité inverse, tu vois que tu peux mettre 5 en facteur commun et obtenir 5(x + 2).
Les identités remarquables
En fin de 3ème, tu seras familier avec les identités remarquables. Ce sont des expressions qui reviennent fréquemment et qui ont des formes factorielles spécifiques. Par exemple, pour x² – y², tu peux factoriser cela sous la forme (x + y)(x – y). Ces raccourcis te permettent de factoriser rapidement certaines expressions sans nécessairement passer par chaque étape de recherche de facteur commun.
🤔 Astuce : Prends l’habitude de reconnaître les formes des identités remarquables dans tes exercices. Cela te fera gagner un temps précieux !
Pratique avec les exercices
Pour t’améliorer en factorisation, rien de mieux que la pratique. Fais des exercices variés pour renforcer tes compétences et vérifier ta compréhension. Consulter un site d’exercices de mathématiques te permettra d’accéder à une multitude d’exercices corrigés pour t’entraîner.
Exercices de maths
Voici quelques exercices pour t’entraîner en mathématiques et renforcer tes compétences en factorisation.
Apprenez à Factoriser avec Affinité : Trouvez le Facteur Commun
Énoncé de l’exercice
🎯 Factorisez l’expression suivante en identifiant le facteur commun : 6x + 18. Conseil : Chercher des chiffres qui divisent les deux termes est souvent une bonne astuce. 🔍
Instructions
- 🔍 Identifie le facteur commun dans 6x et 18. Souviens-toi, le plus grand facteur qui divise les deux termes est souvent le bon.
- 🧩 Utilise la distributivité en appliquant ce facteur commun pour transformer la somme en un produit.
- ✅ Vérifie ton résultat en développant l’expression factorisée pour t’assurer qu’elle correspond à l’expression initiale.
- 💡 Vérifie toujours s’il n’existe pas d’autres facteurs communs que tu aurais pu rater.
Correction
🔍 Commençons par trouver le facteur commun entre 6x et 18. Les deux termes partagent le facteur commun 6.
🧩 Maintenant, en utilisant la distributivité, nous pouvons factoriser l’expression :
6x + 18 devient 6(x + 3).
✅ Vérifions notre factorisation en développant :
Calculons : 6(x + 3) = 6x + 18, ce qui est exactement l’expression de départ. Bravo ! 🎉
💡 En validant, nous voyons qu’il n’existe pas d’autres facteurs communs plus grands à côté de 6, donc notre factorisation est correcte et complète. 🌟
Exercice de Factorisation pour les Élèves de 3ème
Énoncé de l’exercice
Transforme l’expression ci-dessous en un produit de facteurs. 🧮
Expression à factoriser : 12x² + 18x
Astuce : Trouve le facteur commun avant de commencer ! 🔍
Instructions
- 🔎 Identifie le facteur commun aux termes de l’expression (pense aux plus grands diviseurs).
- ✏️ Écris le facteur commun en dehors d’une parenthèse.
- 📐 À l’intérieur de la parenthèse, divise chaque terme de l’expression initiale par le facteur commun.
Correction
🔍 Premièrement, identifions le facteur commun : les deux termes, 12x² et 18x, partagent le facteur commun 6x.
✏️ Ensuite, nous écrivons ce facteur devant une parenthèse : 6x( ).
📐 Maintenant, nous divisons chaque terme par 6x : 12x² ÷ 6x = 2x et 18x ÷ 6x = 3.
🎉 En remplaçant dans la parenthèse, on obtient : 6x(2x + 3).
✅ La réponse finale est donc : 6x(2x + 3)
Exercice de Factorisation pour les Élèves de 3ème
Énoncé de l’exercice
Utilise tes compétences de factorisation pour réécrire l’expression suivante sous forme de produit : 6x2 + 9x 🎯.
Astuce : recherche un facteur commun !
Instructions
- 🔍 Trouver le facteur commun entre les termes 6x2 et 9x.
- 📝 Réécrire chaque terme en utilisant le facteur commun.
- ✏️ Exprimer l’expression initiale sous forme de produit en utilisant la distributivité.
- ℹ️ Pense à vérifier ton résultat en redéveloppant l’expression factorisée.
Correction
🔍 Pour factoriser l’expression 6x2 + 9x, nous commençons par identifier le facteur commun :
Les coefficients 6 et 9 ont pour facteur commun le nombre 3. En termes de x, le facteur commun est x.
📝 Réécrivons chaque terme :
- 6x2 = 3x * 2x
- 9x = 3x * 3
✏️ Nous pouvons alors factoriser l’expression :
(3x) * (2x + 3)
🟢 La réponse finale est donc : 3x(2x + 3)
ℹ️ Pour vérifier, développons : 3x * (2x + 3) = 6x2 + 9x, qui correspond à l’expression initiale. 🎉
En travaillant la factorisation, tu as appris à transformer une somme ou une différence en produit, ce qui simplifie le calcul. Cette compétence te permettra de manipuler plus facilement les expressions littérales.
En identifiant un facteur commun ou en appliquant les identités remarquables, tu pourras résoudre des problèmes plus complexes. N’hésite pas à revenir aux exercices pour consolider tes compétences.
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Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
