En 5eme, tu apprends a reperer des points sur une droite graduee et dans un plan muni d un repère. C est une competence fondamentale en mathematiques : elle te servira en géométrie, en fonctions, en statistiques et bien au-dela du college. Cet article t explique pas a pas le vocabulaire (abscisse, ordonnee, origine, repère orthogonal), les méthodes pour lire et placer des coordonnees, et les pieges classiques a eviter. Tu trouveras des exercices corriges pour t entrainer dans les conditions d un controle.
Reperage sur une droite graduee
La droite graduee et l abscisse
Une droite graduee est une droite sur laquelle on a choisi un point d origine O et une unite de longueur. Chaque point de la droite est repère par un seul nombre, appele son abscisse. L origine O a pour abscisse 0. Les nombres positifs sont a droite de O, les nombres negatifs a gauche. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur les nombres relatifs.
Par exemple, le point A d abscisse 3 se trouve a 3 unites a droite de O. Le point B d abscisse -2 se trouve a 2 unites a gauche de O. Le point C d abscisse 1,5 se trouve entre les graduations 1 et 2, a mi-chemin.
À retenir
Sur une droite graduee, chaque point est repère par un unique nombre : son abscisse. L origine a pour abscisse 0. Les abscisses positives sont a droite, les negatives a gauche. On ecrit A(3) pour dire « le point A d abscisse 3 ».
Lire l abscisse d un point
Pour lire l abscisse d un point sur une droite graduee, tu repères d abord l unite (la distance entre deux graduations consecutives). Ensuite, tu comptes le nombre d unites entre l origine et le point, en tenant compte du signe (positif a droite, negatif a gauche).
Si les graduations vont de 1 en 1 et qu un point se trouve entre 2 et 3, plus pres de 3, son abscisse est environ 2,7 ou 2,8. Si les graduations sont de 0,5 en 0,5, tu peux etre plus precis.
Attention a l echelle : si chaque graduation represente 2 unites (0, 2, 4, 6…), un point situe entre la graduation 4 et la graduation 6 n a pas forcement pour abscisse 5. Regarde bien l espacement et les valeurs indiquees. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur l’addition de nombres relatifs.
Placer un point sur la droite graduee
Pour placer le point M d abscisse -1,5, tu pars de l origine, tu vas vers la gauche (car l abscisse est negative) de 1,5 unite. Tu marques le point et tu ecris M(-1,5).
Pour les fractions, tu dois d abord convertir en décimal ou reperer la position exacte. Pour placer le point d abscisse 2/3, tu divises l unite en 3 parties egales et tu prends 2 parts a droite de la graduation 0. Ou tu calcules 2/3 = 0,666… et tu places le point un peu avant la graduation 0,7.
️ Exercice
Sur une droite graduee d unite 1 cm :
- Place les points A(3), B(-2), C(1,5), D(-0,5) et E(4).
- Quel point a la plus grande abscisse ? La plus petite ?
- Calcule la distance entre A et B.
Voir la correction
La plus grande abscisse est celle de E : 4. La plus petite est celle de B : -2.
Distance entre A(3) et B(-2) : on calcule la difference des abscisses en valeur absolue. |3 – (-2)| = |3 + 2| = 5 unites, soit 5 cm.
Le repère du plan
Les deux axes et l origine
Dans le plan, on utilise deux droites graduees perpendiculaires qui se croisent en un point O appele l origine. La droite horizontale est l axe des abscisses (axe x). La droite verticale est l axe des ordonnees (axe y). L ensemble forme un repère orthogonal.
Les deux axes divisent le plan en quatre zones appelees quadrants. En 5eme, tu n as pas besoin de retenir les noms des quadrants, mais tu dois savoir que les coordonnees peuvent etre positives ou negatives selon la position du point par rapport aux axes. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur la symétrie centrale.
À retenir
Un repère orthogonal du plan est forme de deux axes perpendiculaires gradues, qui se croisent a l origine O. L axe horizontal est l axe des abscisses (x), l axe vertical est l axe des ordonnees (y). Chaque point du plan est repère par un couple de coordonnees (x ; y).
Les coordonnees d un point
Chaque point du plan est repère par deux nombres : son abscisse (position horizontale) et son ordonnee (position verticale). On ecrit les coordonnees entre parentheses, separees par un point-virgule : A(3 ; 2) signifie que A a pour abscisse 3 et pour ordonnee 2.
L abscisse se lit sur l axe horizontal : c est la distance horizontale entre le point et l axe des ordonnees. L ordonnee se lit sur l axe vertical : c est la distance verticale entre le point et l axe des abscisses.
L origine O a pour coordonnees (0 ; 0). Un point sur l axe des abscisses a une ordonnee nulle : P(5 ; 0). Un point sur l axe des ordonnees a une abscisse nulle : Q(0 ; -3).
️ Erreur fréquente
L erreur la plus courante est d inverser l abscisse et l ordonnee. L abscisse est TOUJOURS en premier (horizontale), l ordonnee en second (verticale). Le point A(3 ; 2) est different du point B(2 ; 3). Pour t en souvenir : dans l alphabet, le « x » (abscisse) vient avant le « y » (ordonnee). Pour aller plus loin, consultez notre cours sur le repérage sur une demi-droite en 6ème.
Lire les coordonnees d un point
Méthode de lecture
Pour lire les coordonnees d un point M place dans un repère, tu traces (mentalement ou sur papier) une droite verticale passant par M : elle coupe l axe des abscisses en un point dont tu lis la valeur. C est l abscisse de M. Tu traces ensuite une droite horizontale passant par M : elle coupe l axe des ordonnees en un point dont tu lis la valeur. C est l ordonnee de M.
Exemple : si la verticale passant par M coupe l axe des abscisses a 4 et la horizontale coupe l axe des ordonnees a -1, alors M a pour coordonnees (4 ; -1).
Cas des coordonnees non entieres
Les coordonnees ne sont pas toujours des nombres entiers. Un point peut avoir pour coordonnees (2,5 ; -1,5) ou meme (1/3 ; 7/4). Pour lire des coordonnees non entieres, tu dois reperer les subdivisions de l unite sur chaque axe.
Si chaque carreau de ton quadrillage represente 0,5 unite, un point situe a 3 carreaux a droite de l axe des ordonnees a pour abscisse 3 x 0,5 = 1,5. Si les axes sont gradues de 2 en 2, un point entre les graduations 4 et 6 peut avoir une abscisse de 5.
Astuce
Avant de lire les coordonnees, vérifié toujours l echelle de chaque axe. Les deux axes n ont pas forcement la meme echelle. L axe x peut etre gradue de 1 en 1 et l axe y de 2 en 2. Regarde bien les nombres ecrits sur chaque axe avant de commencer.
️ Exercice
Dans un repère orthogonal gradue de 1 en 1 sur chaque axe, donne les coordonnees des points suivants :
- A est a 3 unites a droite de l axe y et 2 unites au-dessus de l axe x.
- B est a 1 unite a gauche de l axe y et 4 unites au-dessus de l axe x.
- C est a 2 unites a droite de l axe y et 3 unites en dessous de l axe x.
- D est exactement sur l axe des abscisses, a 5 unites a droite de l origine.
Voir la correction
A : 3 a droite → abscisse 3 ; 2 au-dessus → ordonnee 2. A(3 ; 2).
B : 1 a gauche → abscisse -1 ; 4 au-dessus → ordonnee 4. B(-1 ; 4).
C : 2 a droite → abscisse 2 ; 3 en dessous → ordonnee -3. C(2 ; -3).
D : sur l axe des abscisses → ordonnee 0 ; 5 a droite → abscisse 5. D(5 ; 0).
Placer un point dans un repère
Méthode de placement
Pour placer le point M(4 ; -2) dans un repère :
- Tu repères la valeur 4 sur l axe des abscisses.
- Tu repères la valeur -2 sur l axe des ordonnees.
- Tu traces (mentalement) une verticale passant par 4 sur l axe x et une horizontale passant par -2 sur l axe y.
- Le point d intersection de ces deux droites est M(4 ; -2).
Sur un quadrillage, c est encore plus simple : tu avances de 4 carreaux vers la droite et de 2 carreaux vers le bas (car l ordonnee est negative).
Placer des points a coordonnees negatives
Un point a coordonnees negatives se place a gauche de l axe y (si l abscisse est negative) ou en dessous de l axe x (si l ordonnee est negative). Le point E(-3 ; -4) se trouve a 3 unites a gauche de l axe y et 4 unites en dessous de l axe x. Il est dans la zone « en bas a gauche » du repère.
️ Erreur fréquente
Quand l abscisse est negative, tu vas vers la gauche. Quand l ordonnee est negative, tu vas vers le bas. Certains eleves confondent et vont vers la gauche pour une ordonnee negative. Retiens bien : l abscisse commande le deplacement horizontal, l ordonnee commande le deplacement vertical.
️ Exercice
Place les points suivants dans un repère orthogonal :
- A(2 ; 5)
- B(-3 ; 1)
- C(0 ; -4)
- D(-2 ; -2)
- E(4 ; 0)
- F(1,5 ; 3,5)
Quels points sont situes sur un axe ? Lequel ?
Voir la correction
C(0 ; -4) est sur l axe des ordonnees car son abscisse est 0.
E(4 ; 0) est sur l axe des abscisses car son ordonnee est 0.
Les autres points (A, B, D, F) ne sont sur aucun axe car leurs deux coordonnees sont non nulles.
Propriétés des coordonnees et symétries
Symétrie par rapport a l axe des abscisses
Le symétrique d un point M(x ; y) par rapport a l axe des abscisses est le point M'(x ; -y). Seule l ordonnee change de signe. Par exemple, le symétrique de A(3 ; 2) par rapport a l axe x est A'(3 ; -2).
C est logique : la symétrie par rapport a l axe horizontal « retourne » le point de haut en bas. Sa position horizontale ne change pas, mais sa position verticale s inverse.
Symétrie par rapport a l axe des ordonnees
Le symétrique d un point M(x ; y) par rapport a l axe des ordonnees est le point M'(-x ; y). Seule l abscisse change de signe. Par exemple, le symétrique de B(4 ; -1) par rapport a l axe y est B'(-4 ; -1).
Symétrie par rapport a l origine
Le symétrique d un point M(x ; y) par rapport a l origine O est le point M'(-x ; -y). Les deux coordonnees changent de signe. Par exemple, le symétrique de C(3 ; 5) par rapport a O est C'(-3 ; -5).
À retenir
Symétrie par rapport a l axe x : (x ; y) devient (x ; -y). Symétrie par rapport a l axe y : (x ; y) devient (-x ; y). Symétrie par rapport a l origine : (x ; y) devient (-x ; -y). Le signe qui change indique la direction du « retournement ».
️ Exercice
Donne les coordonnees des symétriques de chaque point :
- A(4 ; 3) par rapport a l axe des abscisses
- B(-2 ; 5) par rapport a l axe des ordonnees
- C(1 ; -6) par rapport a l origine
- D(-3 ; -1) par rapport a l axe des abscisses, puis par rapport a l origine
Voir la correction
A(4 ; 3) par rapport a l axe x : A'(4 ; -3).
B(-2 ; 5) par rapport a l axe y : B'(2 ; 5).
C(1 ; -6) par rapport a l origine : C'(-1 ; 6).
D(-3 ; -1) par rapport a l axe x : D'(-3 ; 1). D(-3 ; -1) par rapport a l origine : D »(3 ; 1).
Milieu d un segment
Coordonnees du milieu
Le milieu d un segment [AB] ou A a pour coordonnees (x_A ; y_A) et B a pour coordonnees (x_B ; y_B) est le point M dont les coordonnees sont les moyennes des coordonnees de A et B :
x_M = (x_A + x_B) / 2 et y_M = (y_A + y_B) / 2.
Exemple : A(2 ; 6) et B(8 ; -2). Milieu M : x_M = (2 + 8) / 2 = 5, y_M = (6 + (-2)) / 2 = 2. Donc M(5 ; 2).
Astuce
Pour vérifier que M est bien le milieu de [AB], tu peux calculer les distances AM et MB et vérifier qu elles sont egales. Ou plus simplement, vérifié que les coordonnees de M sont bien les moyennes : chaque coordonnee de M doit etre « entre » celles de A et B.
️ Exercice
Calcule les coordonnees du milieu de chaque segment :
- [AB] avec A(4 ; 2) et B(10 ; 8)
- [CD] avec C(-3 ; 5) et D(1 ; -1)
- [EF] avec E(0 ; -4) et F(6 ; 0)
Voir la correction
Milieu de [AB] : x = (4 + 10)/2 = 7, y = (2 + 8)/2 = 5. Milieu : (7 ; 5).
Milieu de [CD] : x = (-3 + 1)/2 = -1, y = (5 + (-1))/2 = 2. Milieu : (-1 ; 2).
Milieu de [EF] : x = (0 + 6)/2 = 3, y = (-4 + 0)/2 = -2. Milieu : (3 ; -2).
Distance entre deux points
Sur une droite graduee
Sur une droite graduee, la distance entre deux points A et B d abscisses a et b est |a – b| (la valeur absolue de la difference). La distance entre A(3) et B(-2) est |3 – (-2)| = |5| = 5 unites.
Dans le plan
Dans le plan, la distance entre A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) se calcule avec la formule issue du théorème de Pythagore : AB = racine de ((x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2).
Exemple : A(1 ; 2) et B(4 ; 6). AB = racine de ((4-1)^2 + (6-2)^2) = racine de (9 + 16) = racine de 25 = 5.
Cette formule n est pas toujours au programme de 5eme (elle est vue plus en detail en 4eme et 3eme avec Pythagore), mais certains professeurs l introduisent des la 5eme sur des exemples simples.
️ Exercice
Calcule la distance entre :
- A(7) et B(-3) sur une droite graduee
- C(0 ; 0) et D(3 ; 4) dans le plan
- E(1 ; 1) et F(4 ; 5) dans le plan
Voir la correction
A(7) et B(-3) : |7 – (-3)| = |10| = 10 unites.
C(0 ; 0) et D(3 ; 4) : racine de (9 + 16) = racine de 25 = 5 unites.
E(1 ; 1) et F(4 ; 5) : racine de ((4-1)^2 + (5-1)^2) = racine de (9 + 16) = racine de 25 = 5 unites.
Exercices de synthese
️ Exercice
Exercice 1 : Place dans un repère les points A(1 ; 3), B(5 ; 3), C(5 ; -1) et D(1 ; -1). Relie-les dans l ordre. Quelle figure obtiens-tu ? Justifie.
Exercice 2 : Le point M a pour coordonnees (2 ; -3). Donne les coordonnees de son symétrique par rapport a l axe x, puis par rapport a l axe y, puis par rapport a l origine.
Exercice 3 : A(3 ; 1) et B(-1 ; 5). Calcule les coordonnees du milieu I de [AB]. Vérifié en placant les trois points dans un repère.
Exercice 4 : Un quadrilatere a pour sommets P(0 ; 0), Q(6 ; 0), R(6 ; 4) et S(0 ; 4). Calcule son périmètre. Quelle est la nature de ce quadrilatere ?
Voir la correction
Exercice 1 : ABCD forme un rectangle. AB est horizontal (meme ordonnee 3, abscisses 1 et 5, longueur 4). BC est vertical (meme abscisse 5, ordonnees 3 et -1, longueur 4). CD est horizontal (longueur 4). DA est vertical (longueur 4). Les 4 cotes sont egaux et les 4 angles sont droits (cotes horizontaux et verticaux). C est meme un carré de cote 4.
Exercice 2 : Symétrique par rapport a l axe x : (2 ; 3). Par rapport a l axe y : (-2 ; -3). Par rapport a l origine : (-2 ; 3).
Exercice 3 : x_I = (3 + (-1))/2 = 1, y_I = (1 + 5)/2 = 3. Milieu : I(1 ; 3).
Exercice 4 : PQ = 6 (horizontal), QR = 4 (vertical), RS = 6 (horizontal), SP = 4 (vertical). Périmètre = 6 + 4 + 6 + 4 = 20 unites. Les cotes opposes sont egaux et les 4 angles sont droits (cotes parallèles aux axes). C est un rectangle de dimensions 6 x 4.
Articles de 5ème à découvrir
Cardia Anthony, 35 ans, professeur des écoles passionné depuis 2014.
