Diviser par un nombre décimal, c’est l’un des passages obligés du programme de maths en 5ème. Beaucoup d’élèves bloquent à cette étape parce qu’ils ne savent pas comment gérer la virgule du diviseur. Pourtant, avec une seule astuce, tout devient limpide : on transforme la division en une division par un nombre entier. Dans cet article, tu vas comprendre la méthode pas à pas, t’entraîner avec des exemples concrets et éviter les pièges classiques grâce à des exercices corrigés.
Rappel : la division euclidienne
Avant de plonger dans la division décimale, il faut que tu maîtrises le vocabulaire de base. Dans une division, on distingue quatre éléments : Pour aller plus loin, consultez notre cours sur la distributivité.
- Le dividende : c’est le nombre que l’on divise (celui qui est « partagé »).
- Le diviseur : c’est le nombre par lequel on divise.
- Le quotient : c’est le résultat de la division.
- Le reste : c’est ce qui reste quand la division ne tombe pas juste.
Par exemple, dans 47 ÷ 5, le dividende est 47, le diviseur est 5. On obtient un quotient de 9 et un reste de 2, car 5 × 9 = 45, et 47 − 45 = 2.
À retenir
La division euclidienne se vérifie toujours avec la relation : dividende = diviseur × quotient + reste. Le reste est toujours strictement inférieur au diviseur.
La division euclidienne ne concerne que les nombres entiers. Dès qu’un nombre décimal entre en jeu (dans le diviseur ou dans le dividende), on parle de division décimale. C’est justement le sujet principal de cette leçon.
Diviser par un nombre décimal : la méthode
Voici le principe fondamental : on ne pose jamais une division avec un diviseur décimal. On le transforme d’abord en nombre entier. Comment ? En multipliant le diviseur et le dividende par la même puissance de 10.
Pourquoi ça fonctionne ?
Multiplier le dividende et le diviseur par le même nombre ne change pas le quotient. C’est une propriété essentielle de la division :
a ÷ b = (a × k) ÷ (b × k)
Par exemple : 12 ÷ 4 = 3, et (12 × 10) ÷ (4 × 10) = 120 ÷ 40 = 3. Le résultat est identique. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur les multiples et diviseurs.
Les étapes concrètes
- Compte le nombre de chiffres après la virgule du diviseur.
- Multiplie le diviseur par 10, 100 ou 1 000 pour supprimer sa virgule (1 chiffre après la virgule → ×10, 2 chiffres → ×100, etc.).
- Multiplie le dividende par le même nombre.
- Pose la division comme une division classique par un nombre entier.
Astuce
Pense à « déplacer la virgule » vers la droite du même nombre de rangs dans le diviseur et le dividende. C’est exactement la même chose que multiplier par 10, 100, etc.
Exemples pas à pas
Exemple 1 : 7,2 ÷ 0,4
Le diviseur est 0,4. Il a 1 chiffre après la virgule, donc on multiplie par 10.
- 0,4 × 10 = 4
- 7,2 × 10 = 72
On calcule maintenant 72 ÷ 4 = 18.
Donc 7,2 ÷ 0,4 = 18.
Vérification : 0,4 × 18 = 7,2. C’est correct.
Exemple 2 : 15,6 ÷ 1,2
Le diviseur est 1,2. Il a 1 chiffre après la virgule, donc on multiplie par 10.
- 1,2 × 10 = 12
- 15,6 × 10 = 156
On pose 156 ÷ 12 :
- 12 × 13 = 156
Donc 15,6 ÷ 1,2 = 13.
Vérification : 1,2 × 13 = 15,6. Parfait.
Exemple 3 : 9,45 ÷ 0,15
Le diviseur est 0,15. Il a 2 chiffres après la virgule, donc on multiplie par 100.
- 0,15 × 100 = 15
- 9,45 × 100 = 945
On pose 945 ÷ 15 :
- 15 × 6 = 90, donc 15 va 6 fois dans 94 (reste 4)
- On abaisse le 5 : 45 ÷ 15 = 3
Donc 9,45 ÷ 0,15 = 63.
Vérification : 0,15 × 63 = 9,45. Le compte est bon.
À retenir
Plus le diviseur a de chiffres après la virgule, plus tu multiplies par une grande puissance de 10. Un chiffre → ×10. Deux chiffres → ×100. Trois chiffres → ×1 000.
Division décimale : obtenir un quotient avec virgule
Parfois, même après avoir transformé la division, le quotient ne tombe pas juste. Il faut alors poursuivre la division en ajoutant des zéros au dividende et en plaçant une virgule dans le quotient. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur les écritures fractionnaires.
Comment procéder ?
- Tu poses la division normalement.
- Quand tu as épuisé tous les chiffres du dividende et qu’il reste un reste non nul, tu places une virgule au quotient.
- Tu ajoutes un zéro à droite du reste (ce qui revient à continuer la division dans les dixièmes).
- Tu continues la division. Tu peux ajouter autant de zéros que nécessaire.
Exemple : 7 ÷ 4
- 7 ÷ 4 = 1, reste 3
- On place la virgule au quotient : 1,
- On abaisse un 0 : 30 ÷ 4 = 7, reste 2
- On abaisse un 0 : 20 ÷ 4 = 5, reste 0
Donc 7 ÷ 4 = 1,75.
Exemple : 23,5 ÷ 0,6
D’abord, on supprime la virgule du diviseur : on multiplie par 10.
- 0,6 × 10 = 6
- 23,5 × 10 = 235
On pose 235 ÷ 6 :
- 6 × 3 = 18, donc 23 ÷ 6 = 3, reste 5
- On abaisse le 5 : 55 ÷ 6 = 9, reste 1
- Virgule au quotient : 39,
- On abaisse un 0 : 10 ÷ 6 = 1, reste 4
- On abaisse un 0 : 40 ÷ 6 = 6, reste 4
- On obtient un quotient qui ne se termine pas : 39,166…
Ici, la division ne s’arrête jamais. Il faut donner une valeur approchée.
Valeur approchée d’un quotient
Quand une division ne tombe pas juste, on donne une valeur approchée du quotient, c’est-à-dire un nombre arrondi à un certain rang décimal.
Les types de valeurs approchées
| Type | Définition | Exemple pour 39,166… |
|---|---|---|
| Valeur approchée par défaut au dixième | On tronque après le premier chiffre décimal | 39,1 |
| Valeur approchée par excès au dixième | On prend le chiffre au-dessus | 39,2 |
| Arrondi au dixième | On regarde le chiffre des centièmes pour décider | 39,2 (car le 6 ≥ 5) |
| Valeur approchée par défaut à l’unité | On tronque la partie décimale | 39 |
| Arrondi à l’unité | On regarde le chiffre des dixièmes | 39 (car le 1 < 5) |
À retenir
Valeur approchée par défaut : on tronque (on coupe). Valeur approchée par excès : on prend la valeur supérieure. Arrondi : on regarde le chiffre suivant. S’il est 5, 6, 7, 8 ou 9, on arrondit au-dessus. Sinon, on garde le chiffre tel quel.
Encadrement d’un quotient
Donner un encadrement, c’est placer le quotient entre deux valeurs consécutives à un rang donné. Par exemple, pour 39,166… :
- Encadrement au dixième : 39,1 < 39,166… < 39,2
- Encadrement à l’unité : 39 < 39,166… < 40
Astuce
Pour vérifier ton encadrement, vérifie que la valeur par défaut × diviseur < dividende et que la valeur par excès × diviseur > dividende. C’est un contrôle rapide et fiable.
Erreurs fréquentes
️ Erreur fréquente
Multiplier seulement le diviseur par 10. Si tu multiplies le diviseur par 10, tu dois absolument multiplier le dividende par 10 aussi. Sinon, le quotient est faux. Exemple : 7,2 ÷ 0,4 ≠ 7,2 ÷ 4. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur poser une division décimale en 6ème.
️ Erreur fréquente
Oublier de placer la virgule au quotient. Quand tu ajoutes des zéros au dividende pour continuer la division, tu dois placer la virgule au quotient avant de continuer. Sinon, tu obtiens un quotient 10 ou 100 fois trop grand.
️ Erreur fréquente
Confondre « par défaut » et « par excès ». La valeur par défaut est toujours inférieure ou égale au nombre exact. La valeur par excès est toujours supérieure ou égale. Un moyen simple : « par défaut = en dessous », « par excès = au-dessus ».
️ Erreur fréquente
Penser que diviser par un nombre inférieur à 1 donne un résultat plus petit. C’est l’inverse : 6 ÷ 0,5 = 12. Diviser par un nombre entre 0 et 1, c’est comme multiplier. Si tu coupes une pizza en demi-parts (0,5), tu obtiens plus de parts, pas moins.
️ Erreur fréquente
Se tromper dans le nombre de décalages de virgule. Avec un diviseur comme 0,25 (2 chiffres après la virgule), certains élèves ne multiplient que par 10 au lieu de 100. Compte bien les chiffres après la virgule du diviseur avant de commencer.
Exercices corrigés
️ Exercice 1
Calcule 8,4 ÷ 0,7.
Voir la correction
Le diviseur 0,7 a 1 chiffre après la virgule. On multiplie par 10.
0,7 × 10 = 7 et 8,4 × 10 = 84.
84 ÷ 7 = 12.
Donc 8,4 ÷ 0,7 = 12.
Vérification : 0,7 × 12 = 8,4. C’est correct.
️ Exercice 2
Calcule 18,6 ÷ 0,03.
Voir la correction
Le diviseur 0,03 a 2 chiffres après la virgule. On multiplie par 100.
0,03 × 100 = 3 et 18,6 × 100 = 1 860.
1 860 ÷ 3 = 620.
Donc 18,6 ÷ 0,03 = 620.
Vérification : 0,03 × 620 = 18,6. C’est correct.
️ Exercice 3
Calcule 5 ÷ 0,8. Donne la valeur exacte.
Voir la correction
Le diviseur 0,8 a 1 chiffre après la virgule. On multiplie par 10.
0,8 × 10 = 8 et 5 × 10 = 50.
50 ÷ 8 :
8 × 6 = 48, reste 2. On place la virgule : 6,
20 ÷ 8 = 2, reste 4.
40 ÷ 8 = 5, reste 0.
Donc 5 ÷ 0,8 = 6,25.
Vérification : 0,8 × 6,25 = 5. C’est correct.
️ Exercice 4
Calcule 14 ÷ 0,6. Donne un encadrement au dixième et l’arrondi au dixième.
Voir la correction
On multiplie par 10 : 0,6 × 10 = 6 et 14 × 10 = 140.
140 ÷ 6 :
6 × 23 = 138, reste 2. On place la virgule : 23,
20 ÷ 6 = 3, reste 2.
20 ÷ 6 = 3, reste 2… Le quotient est 23,333…
Encadrement au dixième : 23,3 < 23,333… < 23,4
Le chiffre des centièmes est 3 (inférieur à 5), donc l’arrondi au dixième est 23,3.
️ Exercice 5
Un ruban mesure 4,5 mètres. On veut le couper en morceaux de 0,75 mètre. Combien de morceaux obtient-on ?
Voir la correction
On doit calculer 4,5 ÷ 0,75.
Le diviseur 0,75 a 2 chiffres après la virgule. On multiplie par 100.
0,75 × 100 = 75 et 4,5 × 100 = 450.
450 ÷ 75 = 6.
On obtient exactement 6 morceaux.
Vérification : 0,75 × 6 = 4,5. Le résultat est cohérent avec la longueur totale du ruban.
FAQ
Pourquoi ne peut-on pas poser directement une division avec un diviseur décimal ?
La technique de la division posée repose sur des soustractions et des multiplications successives avec le diviseur. Quand le diviseur contient une virgule, les calculs intermédiaires deviennent très compliqués et les risques d’erreur se multiplient. En le rendant entier, on retrouve une division classique, bien plus simple à poser.
Que faire si le dividende et le diviseur ont tous les deux des décimales ?
Tu te concentres uniquement sur le diviseur. Compte ses chiffres après la virgule et multiplie les deux nombres par la puissance de 10 correspondante. Par exemple, pour 3,6 ÷ 1,2, tu multiplies par 10 : tu obtiens 36 ÷ 12 = 3. Peu importe que le dividende ait aussi une virgule : c’est la virgule du diviseur qui détermine la multiplication.
Comment savoir si le quotient sera plus grand ou plus petit que le dividende ?
Si le diviseur est inférieur à 1, le quotient est plus grand que le dividende (tu « divises » par un petit nombre, donc tu obtiens plus). Si le diviseur est supérieur à 1, le quotient est plus petit que le dividende. Par exemple, 10 ÷ 0,5 = 20 (plus grand), mais 10 ÷ 2 = 5 (plus petit).
Comment donner une valeur approchée si l’énoncé ne précise pas le rang ?
Par défaut, en 5ème, on arrondit généralement au dixième ou au centième. Si l’énoncé dit simplement « donne une valeur approchée », choisis le dixième sauf indication contraire. En cas de doute, donne un encadrement avec la valeur par défaut et la valeur par excès au rang que tu as choisi.
La division par un nombre décimal est-elle au programme du brevet ?
Oui, la division par un nombre décimal fait partie des compétences attendues au brevet des collèges. Elle peut apparaître dans un exercice de calcul direct, dans un problème de proportionnalité, ou dans un contexte de grandeurs et mesures. C’est une compétence transversale que tu retrouveras dans beaucoup de chapitres jusqu’en 3ème.
Articles de 5ème à découvrir
Cardia Anthony, 35 ans, professeur des écoles passionné depuis 2014.
