Vecteurs colinéaires : déterminant et méthodes – 2nde

Tu travailles sur les vecteurs en seconde et tu tombes sur la notion de colinéarité. Deux vecteurs colinéaires, un déterminant qui vaut zéro, des points alignés… Ça peut sembler abstrait au premier abord. Ce cours complet sur les vecteurs colinéaires te donne toutes les méthodes, les formules et les exercices corrigés pour maîtriser cette notion du programme de maths de 2nde. Tu vas apprendre à vérifier la colinéarité avec le déterminant, avec un coefficient multiplicateur, et à appliquer tout ça pour prouver un alignement ou un parallélisme.

Qu’est-ce qu’un vecteur colinéaire ?

Avant de parler de colinéarité, rappelons ce qu’est un vecteur. Un vecteur est un objet mathématique défini par une direction, un sens et une norme (longueur). On le note avec une flèche : →u ou en gras : u.

Un vecteur du plan peut être repéré par ses coordonnées dans un repère. Si le vecteur →u a pour coordonnées (x ; y), cela signifie qu’il se déplace de x unités horizontalement et de y unités verticalement.

Concrètement, si tu as le vecteur →u(2 ; 3), alors le vecteur →v(4 ; 6) est colinéaire à →u car →v = 2 × →u. Le vecteur →w(-6 ; -9) est aussi colinéaire à →u car →w = -3 × →u.

Quelques propriétés à retenir :

• Le vecteur nul →0(0 ; 0) est colinéaire à tous les vecteurs
• Tout vecteur est colinéaire à lui-même (avec k = 1)
• Si →u et →v sont colinéaires, et →v et →w sont colinéaires (avec →v ≠ →0), alors →u et →w sont colinéaires
• Deux vecteurs de même direction mais de sens opposé sont colinéaires (k est négatif)

Méthode 1 : le déterminant

Le déterminant est l’outil le plus rapide pour vérifier si deux vecteurs sont colinéaires. C’est la méthode que tu utiliseras le plus souvent en contrôle.

Formule du déterminant

Le calcul se retient facilement : tu multiplies en croix et tu fais la différence. Première coordonnée du premier vecteur fois deuxième coordonnée du second, moins deuxième coordonnée du premier fois première coordonnée du second.

Moyen mnémotechnique

Pour ne jamais te tromper dans le calcul du déterminant, retiens ce schéma :

Vecteur	1re coordonnée	2e coordonnée
→u	x	y
→v	x’	y’

Tu traces mentalement une diagonale descendante (x → y’) et une diagonale montante (y → x’). Le déterminant = diagonale descendante − diagonale montante, soit x × y’ − y × x’.

Exemples de calcul du déterminant

Exemple 1 : →u(3 ; 2) et →v(6 ; 4)

1. det(→u ; →v) = 3 × 4 − 2 × 6
2. det(→u ; →v) = 12 − 12
3. det(→u ; →v) = 0

Le déterminant vaut 0, donc →u et →v sont colinéaires. On vérifie : →v = 2 × →u.

Exemple 2 : →u(5 ; -1) et →v(3 ; 7)

1. det(→u ; →v) = 5 × 7 − (-1) × 3
2. det(→u ; →v) = 35 − (-3)
3. det(→u ; →v) = 35 + 3 = 38

Le déterminant vaut 38, qui est différent de 0, donc →u et →v ne sont pas colinéaires.

Exemple 3 : →u(-4 ; 6) et →v(2 ; -3)

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur la multiplication d’un vecteur par un réel.

1. det(→u ; →v) = (-4) × (-3) − 6 × 2
2. det(→u ; →v) = 12 − 12
3. det(→u ; →v) = 0

Les vecteurs sont colinéaires. On a →v = -0,5 × →u. Ils ont la même direction mais des sens opposés.

Méthode 2 : le coefficient de colinéarité

La deuxième méthode consiste à chercher un réel k tel que →v = k × →u. C’est la méthode de la proportionnalité des coordonnées.

Comment trouver k

Si la première coordonnée de →u est non nulle, tu calcules k = x’/x. Tu vérifies que ce même k fonctionne pour la deuxième coordonnée : y’ = k × y.

Exemple : →u(4 ; -2) et →v(-10 ; 5)

1. On calcule k = x’/x = -10/4 = -2,5
2. On vérifie : k × y = -2,5 × (-2) = 5
3. On compare avec y’ = 5. C’est le même résultat.

Le coefficient k = -2,5 fonctionne pour les deux coordonnées, donc →u et →v sont colinéaires et →v = -2,5 × →u.

Contre-exemple : →u(3 ; 5) et →v(9 ; 14)

1. On calcule k = x’/x = 9/3 = 3
2. On vérifie : k × y = 3 × 5 = 15
3. On compare avec y’ = 14. Ce n’est pas égal (15 ≠ 14).

Le coefficient ne fonctionne pas pour la deuxième coordonnée, donc →u et →v ne sont pas colinéaires.

Cas particulier : une coordonnée nulle

Si →u(0 ; 3) et →v(0 ; -7), tu ne peux pas diviser par x = 0. Dans ce cas, tu remarques que les deux premières coordonnées sont nulles : les vecteurs sont tous les deux verticaux, donc colinéaires. Le coefficient vaut k = y’/y = -7/3.

Si →u(0 ; 3) et →v(2 ; -7), la première coordonnée de →u est nulle mais celle de →v ne l’est pas : les vecteurs ne sont pas colinéaires (un est vertical, l’autre ne l’est pas).

Colinéarité et alignement de 3 points

La colinéarité sert directement à démontrer que trois points sont alignés. C’est l’une des applications les plus fréquentes dans les exercices de seconde.

Retrouvez les détails dans notre fiche sur l’addition de vecteurs.

Méthode pas à pas

Pour démontrer que A, B et C sont alignés :

1. Calculer les coordonnées de →AB et →AC à partir des coordonnées des points
2. Calculer le déterminant det(→AB ; →AC)
3. Conclure : si det = 0, les points sont alignés ; sinon, ils ne le sont pas

Rappel pour calculer les coordonnées d’un vecteur : si A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), alors →AB a pour coordonnées (x_B − x_A ; y_B − y_A).

Exemple : A(1 ; 2), B(4 ; 8) et C(-2 ; -4). Les points A, B, C sont-ils alignés ?

1. →AB(4 − 1 ; 8 − 2) = →AB(3 ; 6)
2. →AC(-2 − 1 ; -4 − 2) = →AC(-3 ; -6)
3. det(→AB ; →AC) = 3 × (-6) − 6 × (-3) = -18 − (-18) = -18 + 18 = 0

Le déterminant vaut 0, donc →AB et →AC sont colinéaires, ce qui prouve que A, B et C sont alignés.

Colinéarité et parallélisme de droites

La colinéarité permet aussi de démontrer que deux droites sont parallèles. C’est la deuxième grande application de cette notion.

Méthode pas à pas

Pour démontrer que (AB) et (CD) sont parallèles :

1. Calculer les coordonnées de →AB et →CD
2. Calculer le déterminant det(→AB ; →CD)
3. Conclure : si det = 0, les droites sont parallèles ; sinon, elles sont sécantes

Exemple : A(2 ; 1), B(5 ; 7), C(0 ; -3), D(1 ; -1). Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?

1. →AB(5 − 2 ; 7 − 1) = →AB(3 ; 6)
2. →CD(1 − 0 ; -1 − (-3)) = →CD(1 ; 2)
3. det(→AB ; →CD) = 3 × 2 − 6 × 1 = 6 − 6 = 0

Le déterminant vaut 0, donc →AB et →CD sont colinéaires. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

On peut vérifier : →AB = 3 × →CD, ce qui confirme la colinéarité.

Lien entre parallélisme et alignement

Si les droites (AB) et (CD) sont parallèles et qu’elles ont un point commun, elles sont confondues. Cela se produit quand A, B, C, D ne forment que deux ou trois points distincts alignés.

Dans un exercice, on te demandera souvent de prouver que deux segments d’un quadrilatère sont parallèles, ce qui revient à vérifier la colinéarité de leurs vecteurs directeurs.

Ce thème est développé dans notre article sur les repères et coordonnées.

Décomposition d’un vecteur sur deux vecteurs non colinéaires

Quand deux vecteurs ne sont pas colinéaires, ils forment une base du plan. Tout vecteur du plan peut alors s’écrire comme combinaison de ces deux vecteurs.

Exemple : →u(1 ; 0) et →v(0 ; 1) ne sont pas colinéaires (det = 1 × 1 − 0 × 0 = 1 ≠ 0). Le vecteur →w(3 ; -5) se décompose en →w = 3 × →u + (-5) × →v.

Cette propriété est très utilisée en première pour les démonstrations de géométrie analytique.

Tableau récapitulatif des méthodes

Méthode	Principe	Quand l’utiliser	Avantage
Déterminant	Calculer x × y’ − y × x’ et vérifier si le résultat vaut 0	Toujours applicable, c’est la méthode standard	Rapide, un seul calcul
Coefficient k	Chercher k tel que →v = k × →u (proportionnalité)	Quand les coordonnées sont simples ou quand on a besoin de k	Donne le rapport entre les vecteurs
Alignement	Vérifier que det(→AB ; →AC) = 0	Prouver que 3 points sont alignés	Application directe du déterminant
Parallélisme	Vérifier que det(→AB ; →CD) = 0	Prouver que 2 droites sont parallèles	Application directe du déterminant

Erreurs fréquentes à éviter

Voici les pièges classiques qui font perdre des points en contrôle sur les vecteurs colinéaires :

Exercices corrigés

Voici 5 exercices progressifs pour t’entraîner sur les vecteurs colinéaires. Chaque exercice est suivi de sa correction détaillée.

Exercice 1 : Vérifier la colinéarité avec le déterminant

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a) det(→u ; →v) = 2 × 10 − 5 × 4 = 20 − 20 = 0. Les vecteurs →u et →v sont colinéaires.

b) det(→u ; →v) = 3 × 2 − (-1) × 6 = 6 − (-6) = 6 + 6 = 12. Le déterminant est non nul, donc →u et →v ne sont pas colinéaires.

c) det(→u ; →v) = (-1) × (-12) − 4 × 3 = 12 − 12 = 0. Les vecteurs →u et →v sont colinéaires. On a →v = -3 × →u.

Exercice 2 : Trouver une valeur pour la colinéarité

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Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si det(→u ; →v) = 0.

det(→u ; →v) = 2 × 6 − m × 3 = 12 − 3m

On résout 12 − 3m = 0 :

3m = 12

m = 4

Vérification : →u(2 ; 4) et →v(3 ; 6). det = 2 × 6 − 4 × 3 = 12 − 12 = 0. C’est correct.

On remarque que →v = 1,5 × →u, ce qui confirme la colinéarité.

Exercice 3 : Alignement de trois points

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Étape 1 : Calculer les coordonnées des vecteurs.

→AB(3 − 1 ; 7 − 3) = →AB(2 ; 4)

→AC(5 − 1 ; 11 − 3) = →AC(4 ; 8)

Étape 2 : Calculer le déterminant.

det(→AB ; →AC) = 2 × 8 − 4 × 4 = 16 − 16 = 0

Étape 3 : Conclure.

Le déterminant de →AB et →AC vaut 0, donc les vecteurs →AB et →AC sont colinéaires.

Les points A, B et C sont alignés.

On peut vérifier : →AC = 2 × →AB, ce qui signifie que C est « deux fois plus loin » de A que B, dans la même direction.

Exercice 4 : Parallélisme de deux droites

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Étape 1 : Calculer les coordonnées des vecteurs.

→AB(2 − 0 ; 5 − 1) = →AB(2 ; 4)

→CD(5 − 3 ; 3 − (-1)) = →CD(2 ; 4)

Étape 2 : Calculer le déterminant.

det(→AB ; →CD) = 2 × 4 − 4 × 2 = 8 − 8 = 0

Étape 3 : Conclure.

Le déterminant de →AB et →CD vaut 0, donc les vecteurs →AB et →CD sont colinéaires.

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Remarque : ici →AB = →CD (coordonnées identiques), ce qui signifie que ABDC est un parallélogramme.

Nous vous conseillons également notre cours sur le triangle isocèle.

Exercice 5 : Exercice de synthèse avec paramètre

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Question 1 :

Calculons les coordonnées des vecteurs :

→AB(4 − 1 ; t − 2) = →AB(3 ; t − 2)

→AC(7 − 1 ; 8 − 2) = →AC(6 ; 6)

Les points A, B, C sont alignés si et seulement si det(→AB ; →AC) = 0.

det(→AB ; →AC) = 3 × 6 − (t − 2) × 6 = 18 − 6(t − 2) = 18 − 6t + 12 = 30 − 6t

On résout 30 − 6t = 0 :

6t = 30

t = 5

Les points A, B et C sont alignés pour t = 5.

Question 2 :

Pour t = 5 : →AB(3 ; 3) et →AC(6 ; 6).

On cherche k tel que →AC = k × →AB :

6 = k × 3, donc k = 2.

Vérification : k × 3 = 2 × 3 = 6. C’est correct.

→AC = 2 × →AB

Cela signifie que B est le milieu du segment [AC] (B se situe à la moitié du chemin de A vers C).

FAQ sur les vecteurs colinéaires

Comment savoir si deux vecteurs sont colinéaires ?

Calcule le déterminant des deux vecteurs : si →u(x ; y) et →v(x’ ; y’), le déterminant vaut x × y’ − y × x’. Si ce résultat vaut 0, les vecteurs sont colinéaires. Si le résultat est différent de 0, ils ne le sont pas. Tu peux aussi vérifier que les coordonnées sont proportionnelles : si x’/x = y’/y (quand aucune coordonnée n’est nulle), les vecteurs sont colinéaires.

Quelle est la différence entre colinéaire et parallèle ?

La colinéarité concerne les vecteurs : deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction. Le parallélisme concerne les droites : deux droites sont parallèles si elles ne se coupent pas (ou si elles sont confondues). Le lien entre les deux : deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. La colinéarité est la version « vecteurs » du parallélisme.

Le vecteur nul est-il colinéaire à tous les vecteurs ?

Oui. Le vecteur nul →0(0 ; 0) est colinéaire à tout vecteur →u(x ; y). Le déterminant det(→0 ; →u) = 0 × y − 0 × x = 0, qui est bien nul. On peut aussi dire que →0 = 0 × →u, avec k = 0. C’est un cas particulier qu’il faut connaître : le vecteur nul n’a pas de direction définie, mais il est colinéaire à tout vecteur par convention et par calcul.

Peut-on avoir un déterminant négatif ?

Oui, le déterminant peut être positif, négatif ou nul. Seul le cas nul (det = 0) indique la colinéarité. Si le déterminant vaut -15 ou +42, les vecteurs ne sont pas colinéaires. La valeur absolue du déterminant correspond géométriquement à l’aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs, mais cela dépasse le programme de seconde.

Colinéarité et relation de Chasles : quel rapport ?

La relation de Chasles (→AB + →BC = →AC) sert à décomposer ou recomposer des vecteurs. Elle ne teste pas la colinéarité directement, mais tu l’utiliseras souvent pour obtenir les vecteurs dont tu veux vérifier la colinéarité. Par exemple, si on te demande de prouver que trois points M, N, P sont alignés, tu calcules →MN et →MP grâce aux coordonnées (ou via Chasles si les coordonnées ne sont pas données), puis tu testes la colinéarité avec le déterminant.