En CM2, les nombres décimaux deviennent incontournables. Tu sais déjà les lire et les comparer, mais il reste une compétence qui pose beaucoup de difficultés : la décomposition. Décomposer un nombre décimal, c’est le découper en morceaux pour comprendre exactement de quoi il est fait. Dixièmes, centièmes, fractions décimales, zéros qui disparaissent… les pièges sont nombreux et les erreurs fréquentes. Ce cours complet reprend tout depuis le début. Tu vas comprendre la logique de la décomposition additive, maîtriser la décomposition avec des fractions décimales, et déjouer les pièges classiques qui font perdre des points. Cinq exercices corrigés t’attendent en fin de page pour vérifier que tout est bien en place.
Partie entière et partie décimale
Un nombre décimal se compose de deux parties séparées par une virgule.
- La partie entière : c’est ce qui se trouve à gauche de la virgule. Elle représente les unités, les dizaines, les centaines, etc.
- La partie décimale : c’est ce qui se trouve à droite de la virgule. Elle représente les dixièmes, les centièmes, les millièmes, etc.
Prenons le nombre 45,738. Sa partie entière est 45 et sa partie décimale est 738 (qui correspond à 7 dixièmes, 3 centièmes et 8 millièmes).
| Dizaines | Unités | , | Dixièmes | Centièmes | Millièmes |
|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 5 | , | 7 | 3 | 8 |
📐 À retenir
Chaque chiffre d’un nombre décimal occupe une position précise. En se déplaçant vers la droite, chaque position vaut 10 fois moins que la précédente. Les unités valent 1, les dixièmes valent 0,1, les centièmes valent 0,01, les millièmes valent 0,001.
Bien comprendre la valeur de chaque position est la clé pour réussir toutes les décompositions. Si tu confonds dixièmes et centièmes, toute la décomposition sera fausse.
Décomposition additive
La décomposition additive consiste à écrire un nombre décimal comme la somme de ses différentes parties, selon la position de chaque chiffre. C’est la forme de décomposition la plus courante en CM2.
La méthode
Pour décomposer un nombre décimal de façon additive, tu identifies la valeur de chaque chiffre en fonction de sa position, puis tu écris la somme.
Prenons le nombre 3,56.
- Le chiffre 3 est dans la position des unités : il vaut 3.
- Le chiffre 5 est dans la position des dixièmes : il vaut 0,5.
- Le chiffre 6 est dans la position des centièmes : il vaut 0,06.
La décomposition additive de 3,56 est donc : 3,56 = 3 + 0,5 + 0,06.
Avec des nombres plus grands
Prenons maintenant 127,405.
- 1 centaine = 100
- 2 dizaines = 20
- 7 unités = 7
- 4 dixièmes = 0,4
- 0 centième = 0 (on ne l’écrit pas dans la décomposition)
- 5 millièmes = 0,005
La décomposition additive est : 127,405 = 100 + 20 + 7 + 0,4 + 0,005.
💡 Astuce
Quand un chiffre vaut 0 dans une position, tu ne l’écris pas dans la décomposition additive. Par exemple, dans 127,405, il y a 0 centième, donc tu passes directement des dixièmes aux millièmes. Ça allège l’écriture sans rien changer au résultat.
Vérifier sa décomposition
Pour vérifier que ta décomposition est correcte, il suffit d’additionner tous les morceaux. Si tu retrouves le nombre de départ, c’est bon. Par exemple : 100 + 20 + 7 + 0,4 + 0,005 = 127,405. Le compte est bon.
Décomposition avec fractions décimales
En CM2, on te demande aussi de décomposer les nombres décimaux en utilisant des fractions décimales. Les fractions décimales sont des fractions dont le dénominateur est 10, 100 ou 1 000.
📐 À retenir
Les correspondances entre positions et fractions décimales sont les suivantes :
- 1 dixième = 1/10 = 0,1
- 1 centième = 1/100 = 0,01
- 1 millième = 1/1 000 = 0,001
Exemple détaillé
Décomposons 8,47 avec des fractions décimales.
- 8 unités = 8
- 4 dixièmes = 4/10
- 7 centièmes = 7/100
On écrit : 8,47 = 8 + 4/10 + 7/100. Découvre aussi les nombres décimaux.
Tu peux aussi regrouper la partie décimale en une seule fraction. Comme 4 dixièmes et 7 centièmes font 47 centièmes, on peut écrire : 8,47 = 8 + 47/100.
Avec un nombre à trois décimales
Prenons 2,639.
- Décomposition détaillée : 2,639 = 2 + 6/10 + 3/100 + 9/1 000
- Décomposition regroupée : 2,639 = 2 + 639/1 000
Les deux écritures sont correctes. La forme regroupée est souvent plus rapide, mais la forme détaillée montre mieux la valeur de chaque chiffre.
✏️ Exercice
Décompose le nombre 15,208 de deux façons : en décomposition additive et avec des fractions décimales (forme détaillée).
✅ Voir la correction
Décomposition additive : 15,208 = 10 + 5 + 0,2 + 0,008
Avec fractions décimales : 15,208 = 10 + 5 + 2/10 + 8/1 000
(Le 0 centième n’apparaît pas dans la décomposition.)
Le piège des zéros : 0,30 = 0,3
Voilà un piège classique qui perturbe beaucoup d’élèves. Un zéro placé à la fin de la partie décimale ne change pas la valeur du nombre. Autrement dit : 0,30 = 0,3 et 0,500 = 0,5.
Pourquoi le zéro final ne change rien ?
Regarde : 0,3 signifie 3 dixièmes, c’est-à-dire 3/10. Et 0,30 signifie 30 centièmes, c’est-à-dire 30/100. Or 30/100 = 3/10 (tu divises le numérateur et le dénominateur par 10). Les deux fractions sont égales, donc les deux nombres décimaux sont égaux.
Autre façon de voir les choses : ajouter un zéro après le dernier chiffre décimal, c’est comme écrire 7 au lieu de 07. Ça ne change rien à la valeur.
⚠️ Erreur fréquente
Attention : un zéro au milieu de la partie décimale change tout ! Le nombre 0,305 n’est pas du tout la même chose que 0,35. Dans 0,305, le 0 occupe la position des centièmes et il est essentiel. Seuls les zéros à la fin de la partie décimale peuvent être supprimés sans conséquence.
Quand faut-il garder les zéros finaux ?
En mathématiques pures, on simplifie toujours : on écrit 0,3 et pas 0,30. Mais dans la vie courante, les zéros finaux servent parfois à indiquer la précision. Par exemple, sur une étiquette de prix, on écrit 2,50 € (et pas 2,5 €) parce qu’on exprime le montant en centimes d’euros. En CM2, sauf indication contraire, simplifie en enlevant les zéros inutiles à la fin.
Recomposer un nombre décimal
Recomposer, c’est l’opération inverse de décomposer : on te donne les morceaux et tu dois retrouver le nombre décimal complet. C’est un exercice très fréquent en évaluation de CM2.
À partir d’une décomposition additive
Si on te dit que le nombre vaut 40 + 7 + 0,3 + 0,09, tu additionnes simplement : 40 + 7 = 47, puis 47 + 0,3 = 47,3, puis 47,3 + 0,09 = 47,39.
À partir de fractions décimales
Si on te dit que le nombre vaut 6 + 3/10 + 5/1 000, tu convertis chaque fraction en nombre décimal : Découvre aussi l’écriture décimale.
- 3/10 = 0,3
- 5/1 000 = 0,005
Puis tu additionnes : 6 + 0,3 + 0,005 = 6,305. Attention au 0 au milieu : il n’y a pas de centième, donc tu mets un 0 à la position des centièmes.
💡 Astuce
Pour recomposer sans erreur, utilise un tableau de numération. Dessine les colonnes (dizaines, unités, dixièmes, centièmes, millièmes) et place chaque chiffre dans la bonne colonne. Tu lis ensuite le nombre de gauche à droite.
À partir d’une écriture avec unités de numération
Parfois l’exercice dit : « le nombre a 2 dizaines, 5 unités, 0 dixième, 4 centièmes et 1 millième ». Tu places chaque chiffre dans sa colonne : 2 en dizaines, 5 en unités, 0 en dixièmes, 4 en centièmes, 1 en millièmes. Le nombre est 25,041.
Erreurs fréquentes
⚠️ Erreur fréquente
Confondre dixièmes et dizaines. Le chiffre des dixièmes est juste après la virgule (à droite), tandis que le chiffre des dizaines est deux positions avant la virgule (à gauche). Dans 53,7 : le chiffre des dizaines est 5 et le chiffre des dixièmes est 7. Les noms se ressemblent, mais les positions sont très différentes.
⚠️ Erreur fréquente
Oublier le zéro au milieu lors de la recomposition. Si on te donne 3 + 2/10 + 5/1 000, le nombre n’est pas 3,25 mais 3,205. Il n’y a pas de centième, donc tu dois mettre un 0 en position des centièmes. Sans ce 0, le 5 se retrouverait en position des centièmes au lieu des millièmes.
⚠️ Erreur fréquente
Écrire 4/10 = 0,04 au lieu de 0,4. La fraction 4/10 vaut 4 dixièmes, c’est-à-dire 0,4. Le nombre 0,04 correspond à 4 centièmes, soit 4/100. Ce sont deux valeurs complètement différentes. Fais toujours le lien entre la fraction et la position correspondante.
⚠️ Erreur fréquente
Supprimer un zéro situé au milieu de la partie décimale. Dans 7,302, le 0 est en position des centièmes. Il ne peut pas être supprimé car il maintient le 2 à sa place (les millièmes). Si tu l’enlèves, tu obtiens 7,32, qui est un nombre complètement différent (32 centièmes au lieu de 302 millièmes).
Exercices corrigés
✏️ Exercice 1
Écris la décomposition additive de 94,62.
✅ Voir la correction
94,62 = 90 + 4 + 0,6 + 0,02
Vérification : 90 + 4 + 0,6 + 0,02 = 94,62. C’est correct.
✏️ Exercice 2
Décompose 5,703 avec des fractions décimales (forme détaillée).
✅ Voir la correction
5,703 = 5 + 7/10 + 3/1 000
Le 0 centième ne s’écrit pas dans la décomposition. On peut aussi écrire sous forme regroupée : 5,703 = 5 + 703/1 000.
✏️ Exercice 3
Recompose le nombre suivant : 200 + 30 + 8 + 0,04 + 0,001.
✅ Voir la correction
200 + 30 + 8 = 238 pour la partie entière. Pour la partie décimale : 0,04 + 0,001 = 0,041. Il n’y a pas de dixième, donc on met un 0 en position des dixièmes. Le nombre est 238,041.
✏️ Exercice 4
Quel nombre est égal à 70 + 6 + 9/10 + 2/100 + 5/1 000 ? Découvre aussi comparer les décimaux.
✅ Voir la correction
70 + 6 = 76. Puis 9/10 = 0,9, 2/100 = 0,02, 5/1 000 = 0,005. On additionne la partie décimale : 0,9 + 0,02 + 0,005 = 0,925. Le nombre est 76,925.
✏️ Exercice 5
Parmi les écritures suivantes, lesquelles représentent le même nombre ? 0,50 — 0,5 — 0,05 — 5/10 — 5/100 — 50/100.
✅ Voir la correction
Les écritures qui représentent le même nombre sont : 0,50 = 0,5 = 5/10 = 50/100. Elles valent toutes 5 dixièmes.
En revanche, 0,05 = 5/100 vaut 5 centièmes, ce qui est dix fois plus petit. Attention à ne pas les confondre.
Questions fréquentes sur la décomposition des nombres décimaux
Quelle est la différence entre décomposition additive et décomposition avec fractions décimales ?
La décomposition additive exprime chaque chiffre sous forme de nombre décimal : 4,56 = 4 + 0,5 + 0,06. La décomposition avec fractions décimales utilise des fractions : 4,56 = 4 + 5/10 + 6/100. Les deux formes disent la même chose, mais la seconde fait le lien avec les fractions, ce qui est important pour la suite du programme.
Peut-on décomposer un nombre entier de la même façon ?
Absolument. La décomposition additive fonctionne aussi pour les nombres entiers : 5 832 = 5 000 + 800 + 30 + 2. C’est exactement le même principe. Avec les nombres décimaux, tu prolonges simplement le système après la virgule.
Combien de décimales peut avoir un nombre décimal en CM2 ?
En CM2, tu travailles principalement avec des nombres ayant 1, 2 ou 3 chiffres après la virgule (dixièmes, centièmes, millièmes). Au collège, tu rencontreras des nombres avec davantage de décimales, mais le principe reste toujours le même.
Pourquoi est-ce que 0,3 et 0,30 sont le même nombre ?
Parce que 0,3 = 3/10 et 0,30 = 30/100. Or 30/100 se simplifie en 3/10 (on divise numérateur et dénominateur par 10). Les deux fractions sont égales, donc les deux écritures décimales représentent la même valeur. Le zéro final n’ajoute aucune information supplémentaire sur la quantité.
Comment savoir si un zéro dans un nombre décimal est important ou pas ?
Un zéro est important s’il se trouve entre deux chiffres non nuls dans la partie décimale (comme le 0 dans 3,05) ou entre la virgule et un chiffre non nul (comme le 0 dans 0,07). Un zéro n’est pas important s’il se trouve à la fin de la partie décimale, après le dernier chiffre non nul (comme le 0 dans 5,40). Découvre aussi la décomposition des nombres entiers.
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Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
