Comparer les décimaux – Cours de Maths CM2

Comparer des nombres décimaux, c’est savoir dire lequel est le plus grand, le plus petit, ou s’ils sont égaux. En CM2, cette compétence est partout : dans les mesures, les problèmes, la géométrie et bien sûr le calcul. Pourtant, comparer des décimaux piège beaucoup d’élèves, car les réflexes appris avec les nombres entiers ne fonctionnent plus toujours. Ce cours complet te présente la méthode chiffre par chiffre, l’utilisation de la droite graduée, l’encadrement et l’intercalation de nombres décimaux, avec des exemples détaillés et des exercices corrigés pour devenir incollable.

Rappel : qu’est-ce qu’un nombre décimal ?

Un nombre décimal est un nombre qui s’écrit avec une partie entière et une partie décimale séparées par une virgule. La partie décimale contient un nombre fini de chiffres après la virgule.

Prenons le nombre 45,372 :

• 45 est la partie entière
• 372 est la partie décimale
• 3 est le chiffre des dixièmes
• 7 est le chiffre des centièmes
• 2 est le chiffre des millièmes

Les zéros inutiles

Ajouter des zéros à la fin de la partie décimale ne change pas la valeur du nombre : 3,5 = 3,50 = 3,500. Cette propriété est très utile quand tu compares des décimaux, car elle te permet de donner le même nombre de chiffres après la virgule à tous les nombres.

En revanche, ajouter un zéro devant la partie entière ne change rien non plus : 03,5 = 3,5. Mais attention : supprimer un zéro entre la virgule et le premier chiffre non nul change la valeur. 0,05 n’est pas du tout la même chose que 0,5.

La méthode chiffre par chiffre

C’est la méthode principale pour comparer deux nombres décimaux. Elle fonctionne toujours, quel que soit le nombre de chiffres.

Les étapes de la comparaison

1. Compare d’abord les parties entières. Le nombre avec la plus grande partie entière est le plus grand. Si les parties entières sont différentes, la comparaison est terminée.
2. Si les parties entières sont égales, compare le chiffre des dixièmes.
3. Si les dixièmes sont égaux, compare le chiffre des centièmes.
4. Continue ainsi position par position (millièmes, etc.) jusqu’à trouver une différence.

Exemples détaillés

Compare 7,45 et 7,6.

1. Parties entières : 7 = 7. On continue.
2. Dixièmes : 4 et 6. Comme 4 < 6, on a 7,45 < 7,6.

Compare 12,347 et 12,35.

1. Parties entières : 12 = 12. On continue.
2. Dixièmes : 3 = 3. On continue.
3. Centièmes : 4 et 5. Comme 4 < 5, on a 12,347 < 12,35.

Compare 0,8 et 0,72.

1. Parties entières : 0 = 0. On continue.
2. Dixièmes : 8 et 7. Comme 8 > 7, on a 0,8 > 0,72.

Cas particulier : nombres qui semblent proches

Compare 3,199 et 3,2.

On complète : 3,199 et 3,200. Parties entières égales (3 = 3). Dixièmes : 1 et 2. Comme 1 < 2, on a 3,199 < 3,2.

Même si 199 « semble grand », le chiffre des dixièmes (1 contre 2) tranche tout de suite. C’est toute la subtilité de la comparaison des décimaux.

Ranger des nombres décimaux

Ranger, c’est mettre plusieurs nombres dans l’ordre. On te demande de les classer dans l’ordre croissant (du plus petit au plus grand) ou dans l’ordre décroissant (du plus grand au plus petit). Voici aussi les nombres décimaux.

Méthode pour ranger

1. Complète les nombres avec des zéros pour qu’ils aient tous le même nombre de décimales
2. Compare-les deux par deux avec la méthode chiffre par chiffre
3. Place-les dans l’ordre demandé en utilisant les symboles < (croissant) ou > (décroissant)

Exemple

Range dans l’ordre croissant : 4,5 ; 4,08 ; 4,125 ; 4,5 ; 4,09

On complète : 4,500 ; 4,080 ; 4,125 ; 4,500 ; 4,090

Comparaison des dixièmes : 4,080 et 4,090 commencent par 0 (dixièmes) ; 4,125 commence par 1 ; 4,500 commence par 5.

Résultat : 4,08 < 4,09 < 4,125 < 4,5 = 4,5

La droite graduée

La droite graduée est un outil visuel qui te permet de situer, comparer et encadrer des nombres décimaux. En CM2, tu dois savoir placer des décimaux sur une droite graduée et lire les positions de points déjà placés.

Lire une graduation

Avant de placer un nombre, tu dois comprendre le pas de la graduation (l’écart entre deux traits consécutifs). Si la droite va de 3 à 4 avec 10 graduations, chaque petit trait représente un dixième (0,1). Si elle va de 3,4 à 3,5 avec 10 graduations, chaque trait représente un centième (0,01).

Placer un nombre décimal sur la droite

1. Repère entre quels entiers (ou quels dixièmes) se trouve ton nombre
2. Utilise les graduations pour déterminer la position exacte
3. Place un point et écris le nombre en dessous

Par exemple, pour placer 2,7 sur une droite graduée de 0 à 5 avec des graduations aux dixièmes : 2,7 se situe entre 2 et 3, au niveau de la 7e graduation après 2.

L’encadrement de nombres décimaux

Encadrer un nombre, c’est trouver deux nombres entre lesquels il se situe. On utilise les symboles < pour écrire un encadrement.

Encadrement à l’unité

Encadrer un nombre à l’unité, c’est trouver les deux entiers consécutifs entre lesquels il se trouve.

Exemples :

• 7 < 7,34 < 8
• 12 < 12,9 < 13
• 0 < 0,56 < 1

Encadrement au dixième

On cherche les deux nombres avec un chiffre après la virgule entre lesquels se situe notre nombre.

Exemples :

• 7,3 < 7,34 < 7,4
• 12,9 < 12,93 < 13,0
• 0,5 < 0,56 < 0,6

Encadrement au centième

On affine encore d’un cran :

• 7,34 < 7,347 < 7,35
• 12,93 < 12,935 < 12,94

L’intercalation de nombres décimaux

Intercaler un nombre entre deux autres, c’est trouver un nombre décimal situé entre eux. C’est l’une des grandes forces des nombres décimaux : entre deux décimaux différents, on peut toujours en trouver un autre.

Méthode simple

Pour trouver un nombre entre a et b :

• Ajoute des zéros si nécessaire pour avoir le même nombre de décimales
• Cherche un nombre entre les deux

Exemple : trouve un nombre entre 3,4 et 3,5.

Les nombres 3,41 ; 3,42 ; 3,43… ; 3,49 conviennent tous. Le plus simple est 3,45 (le milieu).

Exemple plus fin : trouve un nombre entre 3,47 et 3,48.

Complétons : 3,470 et 3,480. Tous les nombres entre les deux conviennent : 3,471 ; 3,475 ; 3,479, etc.

Intercaler entre des nombres très proches

Trouve un nombre entre 3,479 et 3,48.

On écrit 3,479 et 3,480. On peut prendre 3,4795, par exemple. Il suffit d’ajouter un chiffre supplémentaire après la virgule. Voici aussi l’écriture décimale.

Les pièges classiques de la comparaison

Voici les pièges les plus fréquents dans les exercices de CM2. Connaître ces erreurs te permettra de les éviter.

Piège n°1 : confondre nombre de chiffres et grandeur

4,9 est plus grand que 4,125, même si 125 a plus de chiffres que 9. On compare chiffre par chiffre, pas les parties décimales comme des entiers. Les dixièmes (9 contre 1) tranchent tout de suite.

Piège n°2 : oublier les zéros intercalés

0,07 est beaucoup plus petit que 0,7. Le zéro après la virgule dans 0,07 signifie que le chiffre 7 est au rang des centièmes (valeur 0,07), alors que dans 0,7, il est au rang des dixièmes (valeur 0,7). L’écart est de un à dix.

Piège n°3 : le cas des parties entières différentes

Si les parties entières sont différentes, inutile de comparer les décimales. 15,001 est toujours plus grand que 14,999, même si « 999 > 001 ». La partie entière tranche tout.

Piège n°4 : les nombres négatifs avec des décimaux

Avec les nombres négatifs, l’ordre s’inverse. -3,2 est plus petit que -3,1 (car -3,2 est plus éloigné de zéro vers la gauche sur la droite graduée). Ne mélange pas les règles des positifs et des négatifs.

Exercices corrigés

Entraîne-toi avec ces exercices variés qui couvrent toutes les compétences du programme de CM2.

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a) 6,80 et 6,72 : dixièmes 8 > 7, donc 6,8 > 6,72

b) 0,50 = 0,50, donc 0,5 = 0,50

c) 3,09 et 3,10 : dixièmes 0 < 1, donc 3,09 < 3,1

d) 14,700 = 14,700, donc 14,7 = 14,700

e) 0,099 et 0,100 : dixièmes 0 < 1, donc 0,099 < 0,1

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Complétons : 5,300 ; 5,030 ; 5,310 ; 5,013 ; 5,301

Parties entières toutes égales (5). On compare les dixièmes : 0 (pour 5,030 et 5,013), 3 (pour 5,300, 5,310, 5,301).

Groupe des dixièmes 0 : 5,013 < 5,030 (centièmes 1 < 3)

Groupe des dixièmes 3 : 5,300 < 5,301 < 5,310 (centièmes 0 = 0 puis millièmes 0 < 1 ; et 5,310 a centièmes 1 > 0)

Résultat : 5,013 < 5,03 < 5,3 < 5,301 < 5,31

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a) 8,4 < 8,47 < 8,5

b) 12,9 < 12,93 < 13,0

c) 0,0 < 0,06 < 0,1

d) 25,3 < 25,395 < 25,4

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Entre 4,7 et 4,8 : par exemple 4,73 et 4,76 (n’importe quel nombre 4,7… convient, avec un chiffre des centièmes entre 1 et 9). Voici aussi la valeur approchée des décimaux.

Entre 4,71 et 4,72 : par exemple 4,714 et 4,718 (il faut ajouter un chiffre des millièmes).

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Le plus rapide est celui qui a le temps le plus court (le plus petit nombre).

Complétons : 12,40 ; 12,38 ; 12,41 ; 12,30

Rangement croissant : 12,30 < 12,38 < 12,40 < 12,41

Du plus rapide au plus lent : Emma (12,3 s) ; Léa (12,38 s) ; Tom (12,4 s) ; Samir (12,41 s)

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À l’unité : 7 < 7,456 < 8

Au dixième : 7,4 < 7,456 < 7,5

Au centième : 7,45 < 7,456 < 7,46

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Complétons : 0,900 ; 0,890 ; 1,010 ; 0,909 ; 1,100

Les nombres dont la partie entière est 1 sont plus grands : 1,100 > 1,010

Les nombres dont la partie entière est 0 : 0,909 > 0,900 > 0,890

Ordre décroissant : 1,1 > 1,01 > 0,909 > 0,9 > 0,89

FAQ sur la comparaison des décimaux en CM2

Pourquoi 0,9 n’est-il pas plus petit que 0,12 ?

Parce qu’on compare chiffre par chiffre. Le chiffre des dixièmes de 0,9 est 9, celui de 0,12 est 1. Comme 9 > 1, on a 0,9 > 0,12. Ne regarde jamais la partie décimale comme un nombre entier (« 12 > 9 ») : c’est le piège classique.

Peut-on toujours trouver un nombre entre deux décimaux ?

Oui, toujours, à condition que les deux nombres soient différents. Il suffit d’ajouter des chiffres après la virgule. Entre 5,41 et 5,42, tu peux placer 5,411, 5,415, 5,419… Il y a une infinité de possibilités.

C’est quoi la différence entre encadrer et arrondir ?

Encadrer, c’est donner deux bornes (une inférieure et une supérieure) entre lesquelles se trouve le nombre. Arrondir, c’est choisir la borne la plus proche. Par exemple, 3,47 encadré au dixième donne 3,4 < 3,47 < 3,5, et 3,47 arrondi au dixième donne 3,5 (car 7 ≥ 5).

Comment comparer un nombre entier et un décimal ?

Écris le nombre entier avec une virgule et des zéros. Par exemple, pour comparer 5 et 4,98, écris 5,00 et 4,98. Les parties entières sont différentes (5 > 4), donc 5 > 4,98. C’est immédiat. Voici aussi la décomposition des décimaux.