En 6ème, tu vas apprendre à décomposer les nombres décimaux, pas seulement les entiers. Ce cours te montre les trois types de décomposition (additive, canonique avec puissances de 10, et en fractions décimales) en les appliquant à chaque fois sur le même exemple pour que tu voies les différences. Tu découvriras aussi le piège des zéros dans les décimaux (0,05 et 0,5 ne valent pas la même chose), un tableau comparatif, des exercices corrigés et une FAQ qui couvre les questions les plus fréquentes.
Rappel : les rangs décimaux
Avant de décomposer, il faut savoir nommer chaque position à droite de la virgule. Tu connais déjà les positions entières (unités, dizaines, centaines…). Les positions décimales sont le miroir des positions entières, de l’autre côté de la virgule. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur l’écriture des nombres décimaux.
| Centaines | Dizaines | Unités | , | Dixièmes | Centièmes | Millièmes |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 100 | 10 | 1 | , | 0,1 | 0,01 | 0,001 |
| , | 1/10 | 1/100 | 1/1 000 |
À retenir
Chaque rang décimal vaut 10 fois moins que le précédent :
1 dixième = 0,1 | 1 centième = 0,01 | 1 millième = 0,001
En fractions : 1/10 | 1/100 | 1/1 000
Prenons le nombre 45,378 et plaçons-le dans le tableau :
| Dizaines | Unités | , | Dixièmes | Centièmes | Millièmes |
|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 5 | , | 3 | 7 | 8 |
Le 4 vaut 40, le 5 vaut 5, le 3 vaut 0,3 (3 dixièmes), le 7 vaut 0,07 (7 centièmes), le 8 vaut 0,008 (8 millièmes).
Décomposition additive d’un décimal
La décomposition additive consiste à écrire le nombre comme une somme de valeurs, chaque chiffre étant exprimé à la valeur de sa position.
Exemple : 45,378
45,378 = 40 + 5 + 0,3 + 0,07 + 0,008
Exemple : 12,6
12,6 = 10 + 2 + 0,6
Exemple : 207,15
207,15 = 200 + 7 + 0,1 + 0,05
Le 0 des dizaines n’apparaît pas (comme pour les entiers, on ne note pas les termes qui valent 0).
Astuce
Pour vérifier ta décomposition additive, additionne tous les termes sur ta calculatrice (ou en posant l’opération). Tu dois retomber sur le nombre de départ.
Décomposition canonique (avec puissances de 10)
La décomposition canonique fait apparaître chaque chiffre multiplié par la puissance de 10 correspondant à sa position. C’est la forme la plus complète et la plus utilisée au collège. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur les fractions décimales.
Les puissances de 10 à connaître
| Position | Valeur | Écriture en puissance de 10 |
|---|---|---|
| Centaines | 100 | 10² |
| Dizaines | 10 | 10¹ |
| Unités | 1 | 10⁰ |
| Dixièmes | 0,1 | 10⁻¹ |
| Centièmes | 0,01 | 10⁻² |
| Millièmes | 0,001 | 10⁻³ |
Exemple : 45,378
45,378 = (4 × 10) + (5 × 1) + (3 × 0,1) + (7 × 0,01) + (8 × 0,001)
Avec les puissances de 10 :
45,378 = (4 × 10¹) + (5 × 10⁰) + (3 × 10⁻¹) + (7 × 10⁻²) + (8 × 10⁻³)
Exemple : 207,15
207,15 = (2 × 100) + (7 × 1) + (1 × 0,1) + (5 × 0,01)
Ou avec puissances de 10 : (2 × 10²) + (7 × 10⁰) + (1 × 10⁻¹) + (5 × 10⁻²)
Décomposition en fractions décimales
Cette troisième forme remplace les décimaux par des fractions dont le dénominateur est 10, 100, 1 000, etc.
Les correspondances à connaître
- 0,1 = 1/10
- 0,01 = 1/100
- 0,001 = 1/1 000
- 0,3 = 3/10
- 0,07 = 7/100
- 0,008 = 8/1 000
Exemple : 45,378
45,378 = 40 + 5 + 3/10 + 7/100 + 8/1 000
On peut aussi écrire la partie décimale comme une seule fraction :
45,378 = 45 + 378/1 000
Exemple : 12,6
12,6 = 12 + 6/10
Exemple : 207,15
207,15 = 207 + 15/100 ou 207 + 1/10 + 5/100
À retenir
Pour écrire un décimal en fraction, compte le nombre de chiffres après la virgule. Ce nombre donne le nombre de zéros du dénominateur :
1 chiffre → /10 | 2 chiffres → /100 | 3 chiffres → /1 000
Le piège des zéros (0,05 vs 0,5)
C’est le piège numéro un en 6ème. Les zéros dans la partie décimale changent radicalement la valeur du nombre. Regarde : Pour aller plus loin, consultez notre cours sur les valeurs approchées d’un décimal.
| Nombre | Valeur en fraction | Valeur | Position du chiffre 5 |
|---|---|---|---|
| 0,5 | 5/10 | cinq dixièmes | rang des dixièmes |
| 0,05 | 5/100 | cinq centièmes | rang des centièmes |
| 0,005 | 5/1 000 | cinq millièmes | rang des millièmes |
0,5 c’est la moitié de 1. 0,05 c’est vingt fois moins. 0,005 c’est deux cents fois moins. Le zéro entre la virgule et le 5 décale le 5 d’un rang vers la droite, ce qui divise sa valeur par 10.
Décomposition de 3,05
Décomposition additive : 3,05 = 3 + 0,05
Décomposition canonique : 3,05 = (3 × 1) + (5 × 0,01)
En fractions décimales : 3,05 = 3 + 5/100
Le zéro au rang des dixièmes signifie qu’il y a 0 dixième. Le chiffre 5 est au rang des centièmes.
️ Erreur fréquente
Écrire 3,05 = 3 + 5/10. C’est faux. 3 + 5/10 = 3,5 (pas 3,05). Le chiffre 5 dans 3,05 est au rang des centièmes, donc c’est 5/100.
Décomposition de 10,302
Additive : 10,302 = 10 + 0,3 + 0,002
Canonique : 10,302 = (1 × 10) + (3 × 0,1) + (2 × 0,001)
Fractions : 10,302 = 10 + 3/10 + 2/1 000 = 10 + 302/1 000
Le 0 au rang des centièmes n’apparaît pas dans la décomposition, tout comme les zéros intercalaires dans les entiers.
Les 3 types sur un même nombre (tableau comparatif)
Pour bien voir les différences entre les trois décompositions, voici le nombre 52,407 décomposé de trois façons :
| Type de décomposition | Écriture de 52,407 |
|---|---|
| Additive | 50 + 2 + 0,4 + 0,007 |
| Canonique (× puissances de 10) | (5 × 10) + (2 × 1) + (4 × 0,1) + (7 × 0,001) |
| Fractions décimales | 52 + 4/10 + 7/1 000 ou 52 + 407/1 000 |
Remarque le zéro au rang des centièmes : il n’apparaît dans aucune des trois décompositions. Le chiffre 7 est au rang des millièmes (pas des centièmes) à cause de ce zéro intercalaire.
Voici un deuxième exemple avec 8,06 :
| Type de décomposition | Écriture de 8,06 |
|---|---|
| Additive | 8 + 0,06 |
| Canonique | (8 × 1) + (6 × 0,01) |
| Fractions décimales | 8 + 6/100 |
Erreurs fréquentes
️ Erreur fréquente
Confondre le rang d’un chiffre décimal quand il y a un zéro. Dans 4,07, le 7 est au rang des centièmes (pas des dixièmes). Le zéro occupe le rang des dixièmes. Il faut placer le nombre dans le tableau pour ne pas se tromper.
️ Erreur fréquente
Écrire 0,3 = 3/100. Non : 0,3 = 3/10. Le chiffre 3 est au rang des dixièmes. Pour savoir quel dénominateur utiliser, regarde la position du dernier chiffre significatif à droite. Un chiffre au rang des dixièmes → dénominateur 10. Au rang des centièmes → dénominateur 100.
️ Erreur fréquente
Oublier la partie entière dans la décomposition en fractions. 12,6 ≠ 126/10 dans une décomposition en fractions décimales « classique ». On écrit 12 + 6/10. (Attention : 126/10 est mathématiquement correct, mais ce n’est pas la forme de décomposition attendue en cours.)
️ Erreur fréquente
Mélanger les types de décomposition. Dans la décomposition canonique, chaque terme est de la forme chiffre × valeur de position. Dans la décomposition additive, on écrit directement les valeurs. Ne mélange pas les deux formats dans la même ligne.
Exercices corrigés
️ Exercice 1
Écris les trois décompositions du nombre 7,24.
Voir la correction
Additive : 7,24 = 7 + 0,2 + 0,04
Canonique : 7,24 = (7 × 1) + (2 × 0,1) + (4 × 0,01)
Fractions décimales : 7,24 = 7 + 2/10 + 4/100 = 7 + 24/100
️ Exercice 2
Écris les trois décompositions du nombre 30,08.
Voir la correction
Additive : 30,08 = 30 + 0,08
Canonique : 30,08 = (3 × 10) + (8 × 0,01)
Fractions décimales : 30,08 = 30 + 8/100
Le 0 au rang des dixièmes et le 0 au rang des unités n’apparaissent pas dans la décomposition.
️ Exercice 3
Recompose le nombre : (6 × 10) + (1 × 0,1) + (9 × 0,001)
Voir la correction
On calcule chaque terme : 60 + 0,1 + 0,009 = 60,109
Le chiffre des unités est 0, le chiffre des centièmes est 0. Ce sont des zéros intercalaires.
️ Exercice 4
Complète : 15,6 = 15 + …/10
Voir la correction
15,6 = 15 + 0,6
0,6 = 6/10
Donc : 15,6 = 15 + 6/10
️ Exercice 5
Vrai ou faux ? 0,30 et 0,3 représentent le même nombre.
Voir la correction
Vrai. 0,30 = 30/100 = 3/10 = 0,3. Le zéro final à droite de la partie décimale ne change pas la valeur du nombre.
Attention : cela fonctionne uniquement pour les zéros à droite de la partie décimale (zéros « terminaux »). Un zéro entre la virgule et un chiffre change la valeur (0,03 ≠ 0,3).
FAQ
Quelle décomposition mon prof attend-il ?
Lis l’énoncé attentivement. Si on te demande une « décomposition en fractions décimales », utilise des fractions. Si on te demande une « décomposition canonique » ou « avec puissances de 10 », utilise les multiplications. Si l’énoncé dit juste « décompose », la décomposition canonique est le choix le plus sûr en 6ème.
Peut-on décomposer un nombre décimal en une seule fraction ?
Oui. Par exemple, 3,75 = 375/100. Tu prends le nombre sans la virgule (375) et tu le divises par 10 élevé au nombre de chiffres après la virgule (ici 2 chiffres → 100). Mais cette forme ne fait pas apparaître les rangs, donc ce n’est pas une « décomposition » au sens habituel du cours.
0,50 et 0,5, c’est pareil ?
Oui, ces deux écritures représentent le même nombre (cinq dixièmes). Le zéro final n’ajoute rien. Par contre, 0,50 et 0,05 sont très différents : 0,50 = 50/100 = 5/10 = 0,5, tandis que 0,05 = 5/100.
Pourquoi utiliser des fractions décimales ?
Les fractions décimales permettent de faire le lien entre les nombres décimaux et les fractions que tu étudies en parallèle. Savoir que 0,75 = 75/100 = 3/4 te sera très utile pour les pourcentages, les probabilités et les proportions.
Comment décomposer un décimal avec beaucoup de chiffres (ex. : 123,4567) ?
Le principe reste le même : chaque chiffre se multiplie par la valeur de sa position. 123,4567 = (1 × 100) + (2 × 10) + (3 × 1) + (4 × 0,1) + (5 × 0,01) + (6 × 0,001) + (7 × 0,0001). La position après les millièmes s’appelle les dix-millièmes (0,0001 = 10⁻⁴).
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Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
