La proportionnalité, c’est une des notions les plus utiles des mathématiques du quotidien. Quand tu doubles une recette de cuisine, quand tu calcules le prix de 3 kg de pommes en connaissant le prix au kilo, quand tu lis une carte routière… tu utilises la proportionnalité sans le savoir. En CM1, tu apprends à reconnaître une situation de proportionnalité, à trouver le coefficient et à compléter un tableau. Ce cours reprend tout depuis le début, avec des exemples concrets, la méthode du produit en croix simplifiée et même le lien avec les graphiques.
C’est quoi la proportionnalité ?
Deux grandeurs sont proportionnelles quand l’une se déduit de l’autre en multipliant toujours par le même nombre.
Prenons un exemple simple. Des bonbons coûtent 2 euros le sachet :
| Nombre de sachets | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Prix (en euros) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
Pour passer de la première ligne à la deuxième, tu multiplies toujours par 2. Le prix est proportionnel au nombre de sachets.
📐 À retenir
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité.
Voici un contre-exemple. L’âge d’une personne et sa taille ne sont PAS proportionnels. Un bébé de 1 an mesure environ 75 cm. Si c’était proportionnel, un adulte de 20 ans mesurerait 75 × 20 = 1 500 cm, soit 15 mètres. Ça n’a aucun sens.
Reconnaître une situation de proportionnalité
Pour vérifier que deux grandeurs sont proportionnelles dans un tableau, tu calcules le rapport entre les valeurs de la deuxième ligne et celles de la première ligne. Si ce rapport est toujours le même, c’est proportionnel.
Exemple : est-ce proportionnel ?
| Nombre de livres | 2 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|
| Prix (en euros) | 14 | 35 | 56 |
On calcule les rapports :
- 14 ÷ 2 = 7
- 35 ÷ 5 = 7
- 56 ÷ 8 = 7
Le rapport est toujours 7 → c’est bien proportionnel. Le coefficient de proportionnalité est 7 (chaque livre coûte 7 euros).
Contre-exemple
| Âge | 2 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|
| Taille (en cm) | 85 | 110 | 140 |
On calcule les rapports :
- 85 ÷ 2 = 42,5
- 110 ÷ 5 = 22
- 140 ÷ 10 = 14
Les rapports sont différents → ce n’est PAS proportionnel.
💡 Astuce
Si tu doutes, calcule tous les quotients. Un seul quotient différent suffit à prouver que ce n’est pas proportionnel. En revanche, pour prouver que c’est proportionnel, il faut que TOUS les quotients soient identiques.
Le coefficient de proportionnalité
Le coefficient de proportionnalité, c’est le nombre par lequel tu multiplies pour passer de la première grandeur à la deuxième.
Comment le trouver ?
Tu divises n’importe quelle valeur de la deuxième ligne par la valeur correspondante de la première ligne.
Reprenons l’exemple des livres :
Coefficient = prix ÷ nombre de livres = 14 ÷ 2 = 7
Ce coefficient te permet de calculer n’importe quelle valeur du tableau. Tu veux le prix de 12 livres ? 12 × 7 = 84 euros. Découvre aussi les problèmes en CM1.
Le coefficient dans l’autre sens
Tu peux aussi passer de la deuxième grandeur à la première. Dans ce cas, tu divises par le coefficient (ou tu multiplies par son inverse).
Si le prix est de 49 euros, combien de livres ? 49 ÷ 7 = 7 livres.
📐 À retenir
Pour aller de la grandeur A vers la grandeur B : on multiplie par le coefficient.
Pour aller de la grandeur B vers la grandeur A : on divise par le coefficient.
Compléter un tableau de proportionnalité
C’est l’exercice classique du CM1. On te donne un tableau avec des cases vides, et tu dois les remplir.
Méthode 1 : utiliser le coefficient
| Nombre de croissants | 3 | 6 | 10 | ? |
|---|---|---|---|---|
| Prix (en euros) | 3,60 | ? | ? | 18 |
- Trouve le coefficient : 3,60 ÷ 3 = 1,20 (un croissant coûte 1,20 euro)
- Prix de 6 croissants : 6 × 1,20 = 7,20 euros
- Prix de 10 croissants : 10 × 1,20 = 12 euros
- Nombre de croissants pour 18 euros : 18 ÷ 1,20 = 15 croissants
Méthode 2 : utiliser les propriétés de linéarité
Dans un tableau de proportionnalité, tu peux :
- Multiplier une colonne par un nombre pour en obtenir une autre (si tu connais le prix de 3, tu multiplies par 2 pour avoir le prix de 6)
- Additionner deux colonnes pour en obtenir une troisième (prix de 3 + prix de 7 = prix de 10)
Cette méthode est très pratique quand le coefficient n’est pas un nombre « simple ».
💡 Astuce
Au CM1, commence toujours par chercher le coefficient. Si c’est un nombre simple (entier ou décimal facile), utilise-le directement. Si c’est compliqué, utilise les propriétés de linéarité (multiplier ou additionner les colonnes).
La règle de trois (produit en croix simplifié)
La règle de trois est une méthode universelle pour résoudre un problème de proportionnalité quand tu connais trois valeurs et que tu cherches la quatrième.
Le principe
Si 4 stylos coûtent 6 euros, combien coûtent 10 stylos ?
- Écris ce que tu sais : 4 stylos → 6 euros
- Écris ce que tu cherches : 10 stylos → ? euros
- Calcule le prix d’un stylo : 6 ÷ 4 = 1,5 euro
- Multiplie par le nombre voulu : 1,5 × 10 = 15 euros
📐 À retenir
La règle de trois en trois étapes :
1. Je connais la correspondance entre deux valeurs.
2. Je ramène à l’unité (je divise).
3. Je multiplie pour trouver la valeur cherchée.
Le produit en croix (pour aller plus vite)
Le produit en croix est une technique rapide qui revient au même calcul, présentée différemment.
| Stylos | Prix |
|---|---|
| 4 | 6 |
| 10 | ? |
Le produit en croix donne : ? = (10 × 6) ÷ 4 = 60 ÷ 4 = 15 euros.
On multiplie « en croix » (10 × 6) puis on divise par le nombre restant (4). Le résultat est le même qu’avec la règle de trois, mais en une seule opération.
Proportionnalité et graphique
La proportionnalité a une traduction visuelle très claire : un graphique en ligne droite qui passe par l’origine (le point 0).
Pourquoi une droite passant par l’origine ?
Si tu traces un graphique avec le nombre de sachets de bonbons en abscisse (horizontal) et le prix en ordonnée (vertical), tu obtiens les points suivants :
- (0 ; 0) → 0 sachet coûte 0 euro
- (1 ; 2) → 1 sachet coûte 2 euros
- (2 ; 4) → 2 sachets coûtent 4 euros
- (3 ; 6) → 3 sachets coûtent 6 euros
Ces points sont alignés sur une droite, et cette droite passe par le point (0 ; 0). C’est la caractéristique graphique de la proportionnalité.
📐 À retenir
Une situation est proportionnelle si et seulement si son graphique est une droite passant par l’origine (le point 0,0).
Si les points sont alignés mais ne passent pas par l’origine, ce n’est PAS de la proportionnalité. Découvre aussi poser une multiplication.
Reconnaître la proportionnalité sur un graphique
Quand on te donne un graphique et qu’on te demande si c’est proportionnel, vérifie deux choses :
- Les points sont-ils alignés ? (forment-ils une droite ?)
- La droite passe-t-elle par l’origine (0 ; 0) ?
Si l’une des deux conditions n’est pas remplie, ce n’est pas proportionnel.
Le coefficient de proportionnalité dans le graphique
Le coefficient de proportionnalité correspond à la pente de la droite (combien elle monte pour chaque pas vers la droite). Plus le coefficient est grand, plus la droite est « raide ».
⚠️ Erreur fréquente
Une droite qui ne passe PAS par l’origine n’est PAS une situation de proportionnalité, même si les points sont parfaitement alignés. Par exemple, un forfait téléphone à 10 euros + 0,05 euro par minute : le graphique est une droite, mais elle commence à 10 (pas à 0). Ce n’est pas proportionnel.
Les erreurs fréquentes
⚠️ Erreur fréquente
Croire que « si ça augmente, c’est proportionnel ». Faux. L’âge et la taille augmentent ensemble, mais pas de manière proportionnelle. Pour que ce soit proportionnel, il faut que le rapport soit CONSTANT.
⚠️ Erreur fréquente
Se tromper de sens dans le coefficient. Si 5 kg de pommes coûtent 15 euros, le coefficient pour passer des kg au prix est 15 ÷ 5 = 3 (et pas 5 ÷ 15). Vérifie toujours : nombre de la 2e ligne ÷ nombre de la 1re ligne.
⚠️ Erreur fréquente
Additionner au lieu de multiplier. Certains élèves pensent que « si 3 bonbons coûtent 6 euros, alors 5 bonbons coûtent 8 euros » (ils ajoutent 2 au lieu de multiplier par le coefficient). La proportionnalité est multiplicative, pas additive.
⚠️ Erreur fréquente
Appliquer la proportionnalité quand elle ne s’applique pas. « Si 1 peintre met 6 heures, alors 6 peintres mettent 36 heures. » Non. Plus il y a de peintres, moins ça prend de temps. Cette situation n’est pas proportionnelle (elle est inversement proportionnelle).
Exercices corrigés
✏️ Exercice 1
Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ? Justifie ta réponse.
Nombre de tickets : 2 | 5 | 8
Prix : 3 | 7,50 | 12
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On calcule les quotients :
3 ÷ 2 = 1,5
7,50 ÷ 5 = 1,5
12 ÷ 8 = 1,5
Les trois quotients sont égaux à 1,5. C’est bien un tableau de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité est 1,5 : chaque ticket coûte 1,50 euro.
✏️ Exercice 2
Complète ce tableau de proportionnalité :
Nombre de gâteaux : 4 | ? | 15
Prix : 10 | 17,50 | ?
✅ Voir la correction
Coefficient de proportionnalité = 10 ÷ 4 = 2,5
Nombre de gâteaux pour 17,50 euros : 17,50 ÷ 2,5 = 7 gâteaux
Prix de 15 gâteaux : 15 × 2,5 = 37,50 euros Découvre aussi la division en CM1.
✏️ Exercice 3
3 kg de cerises coûtent 12,60 euros. Combien coûtent 7 kg de cerises ?
✅ Voir la correction
Méthode par le passage à l’unité :
Prix d’1 kg = 12,60 ÷ 3 = 4,20 euros
Prix de 7 kg = 4,20 × 7 = 29,40 euros
Vérification par produit en croix :
? = (7 × 12,60) ÷ 3 = 88,20 ÷ 3 = 29,40 euros. C’est cohérent.
✏️ Exercice 4
Sur un graphique, les points suivants sont tracés : (0 ; 0), (2 ; 6), (4 ; 12), (5 ; 15). Est-ce une situation de proportionnalité ? Si oui, quel est le coefficient ?
✅ Voir la correction
Vérifions les deux conditions :
1. Les points passent-ils par l’origine ? Oui, le point (0 ; 0) est dans la liste.
2. Les rapports sont-ils constants ?
6 ÷ 2 = 3
12 ÷ 4 = 3
15 ÷ 5 = 3
Tous les rapports valent 3. Les points sont alignés sur une droite passant par l’origine.
C’est bien une situation de proportionnalité, et le coefficient est 3.
✏️ Exercice 5
Pour préparer du sirop de menthe, il faut 1 volume de sirop pour 7 volumes d’eau. Combien de litres d’eau faut-il pour 3 litres de sirop ? Quel volume total de boisson obtient-on ?
✅ Voir la correction
Le rapport est : 1 volume de sirop pour 7 volumes d’eau. C’est proportionnel.
Le coefficient de proportionnalité (sirop → eau) est 7.
Pour 3 litres de sirop : 3 × 7 = 21 litres d’eau.
Volume total de boisson = sirop + eau = 3 + 21 = 24 litres.
FAQ sur la proportionnalité en CM1
C’est quoi la différence entre la proportionnalité et la règle de trois ?
La proportionnalité est le concept mathématique (deux grandeurs liées par un coefficient constant). La règle de trois est une méthode de calcul qui permet de trouver une valeur manquante dans une situation proportionnelle. La règle de trois est un outil, la proportionnalité est la notion qui justifie qu’on puisse l’utiliser.
Comment savoir si un problème relève de la proportionnalité ?
Pose-toi la question : « Si je double la première grandeur, est-ce que la deuxième double aussi ? ». Si oui, c’est proportionnel. Exemple : si tu achètes deux fois plus de pommes, tu paies deux fois plus cher → proportionnel. Si tu mets deux fois plus de temps à courir, tu ne parcours pas forcément deux fois plus de distance (tu peux ralentir) → pas forcément proportionnel.
Le coefficient de proportionnalité est-il toujours un nombre entier ?
Non, pas du tout. Le coefficient peut être un nombre décimal (comme 1,5 ou 0,75) ou même une fraction. Par exemple, si 4 articles coûtent 7 euros, le coefficient est 7 ÷ 4 = 1,75 euro par article. Découvre aussi les fractions en CM1.
Peut-on utiliser la proportionnalité pour les pourcentages ?
Oui, les pourcentages reposent entièrement sur la proportionnalité. Dire « 20 % de 150 », c’est utiliser le coefficient 20/100 = 0,2. Le calcul donne 150 × 0,2 = 30. Tu apprendras les pourcentages en détail au collège, mais le principe de base est déjà celui de la proportionnalité.
Pourquoi faut-il que la droite passe par l’origine sur le graphique ?
Parce que la proportionnalité implique que quand une grandeur vaut 0, l’autre vaut aussi 0. Si tu achètes 0 bonbon, tu paies 0 euro. Si la droite ne passe pas par l’origine, ça signifie qu’il y a un « coût fixe » ou une valeur de départ, et ce n’est plus de la proportionnalité pure. C’est la différence entre « 2 euros par bonbon » (proportionnel) et « 5 euros d’entrée + 2 euros par bonbon » (pas proportionnel). Découvre aussi la proportionnalité en CM2.
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Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
