Le calcul des variations est l’une des branches les plus profondes de l’analyse mathématique. Là où le calcul différentiel classique cherche les extremums d’une fonction (un nombre qui optimise une quantité), le calcul des variations cherche les extremums d’une fonctionnelle, c’est-à-dire une application qui associe un nombre réel à une fonction tout entière. Ce cours de niveau L3 te donne les fondements théoriques, l’équation d’Euler-Lagrange, les conditions aux bords, et les exemples classiques qui font la richesse de cette théorie.
Qu’est-ce qu’une fonctionnelle ?
De la fonction à la fonctionnelle
En analyse classique, tu travailles avec des fonctions f : R → R qui associent un nombre à un nombre. En calcul des variations, tu montes d’un cran : une fonctionnelle est une application J qui associe un nombre réel à une fonction.
La notation est J[y], où y est une fonction. Les crochets signalent que l’argument est une fonction, pas un nombre.
📐 À retenir
Une fonctionnelle est une application de la forme :
J[y] = ∫ab F(x, y(x), y'(x)) dx
où F est une fonction donnée de trois variables (appelée lagrangien), y est la fonction inconnue, et y’ sa dérivée. On cherche la fonction y qui rend J[y] extrémale (minimale ou maximale).
Exemples de fonctionnelles
Pour fixer les idées, voici des fonctionnelles concrètes que tu rencontreras tout au long de ce cours :
- Longueur d’une courbe : J[y] = ∫ab √(1 + y'(x)²) dx. La fonction qui minimise cette intégrale entre deux points est la droite (plus court chemin dans le plan).
- Aire sous une courbe : J[y] = ∫ab y(x) dx. C’est la fonctionnelle la plus simple.
- Action en mécanique : J[q] = ∫t₁t₂ (T − V) dt, où T est l’énergie cinétique et V l’énergie potentielle. Le principe de moindre action dit que la trajectoire physique rend cette fonctionnelle stationnaire.
- Brachistochrone : trouver la courbe le long de laquelle un objet glisse le plus vite d’un point à un autre sous l’effet de la gravité.
💡 Astuce
Pense au calcul des variations comme le passage de la dimension finie à la dimension infinie. En optimisation classique, tu cherches un point (x₁, …, xₙ) dans Rⁿ. En calcul des variations, tu cherches une fonction, c’est-à-dire un point dans un espace de dimension infinie. Les outils changent, mais la philosophie reste la même : annuler une « dérivée ».
La variation première et l’équation d’Euler-Lagrange
Notion de variation
En optimisation classique, pour trouver le minimum de f(x), tu écris f'(x) = 0. En calcul des variations, la notion analogue est la variation première de la fonctionnelle.
On perturbe la fonction optimale y par une « petite » fonction η (appelée variation) : y est remplacée par y + εη, où ε est un paramètre réel petit. On impose que η s’annule aux extrémités : η(a) = η(b) = 0 (pour respecter les conditions aux bords).
On définit alors la fonction d’une variable réelle :
Φ(ε) = J[y + εη] = ∫ab F(x, y + εη, y’ + εη’) dx
Si y est un extremum de J, alors Φ a un extremum en ε = 0, donc Φ'(0) = 0 pour toute variation η admissible.
📐 À retenir
La variation première (ou dérivée de Gâteaux) de J en y dans la direction η est :
δJ[y, η] = Φ'(0) = ∫ab [∂F/∂y · η + ∂F/∂y’ · η’] dx
La condition nécessaire d’extremum est : δJ[y, η] = 0 pour toute η telle que η(a) = η(b) = 0.
Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur l’analyse complexe en L3.
Dérivation de l’équation d’Euler-Lagrange
L’étape cruciale consiste à intégrer par parties le terme contenant η’. On a :
∫ab (∂F/∂y’) · η’ dx = [(∂F/∂y’) · η]ab − ∫ab d/dx(∂F/∂y’) · η dx
Le terme entre crochets s’annule car η(a) = η(b) = 0. On obtient :
δJ = ∫ab [∂F/∂y − d/dx(∂F/∂y’)] · η dx = 0
Cette égalité doit être vérifiée pour toute fonction η de classe C¹ qui s’annule aux bords. Par le lemme fondamental du calcul des variations (si ∫ab f(x)η(x) dx = 0 pour toute η, alors f = 0), on en déduit que l’expression entre crochets est nulle.
📐 À retenir
Équation d’Euler-Lagrange :
∂F/∂y − d/dx(∂F/∂y’) = 0
C’est une condition nécessaire pour que y soit un extremum de la fonctionnelle J[y] = ∫ab F(x, y, y’) dx.
C’est une équation différentielle ordinaire du second ordre (car d/dx(∂F/∂y’) fait intervenir y »).
⚠️ Erreur fréquente
L’équation d’Euler-Lagrange est une condition nécessaire, pas suffisante. Une solution de cette équation est un point stationnaire de la fonctionnelle, mais ce n’est pas forcément un minimum (ça peut être un maximum ou un point-selle). Pour confirmer la nature de l’extremum, il faut étudier la variation seconde.
Cas particuliers importants
Cas 1 : F ne dépend pas de y (F = F(x, y’))
L’équation d’Euler-Lagrange se simplifie en ∂F/∂y’ = constante.
Cas 2 : F ne dépend pas de x (F = F(y, y’))
On dispose de l’intégrale première de Beltrami : F − y’ · ∂F/∂y’ = constante. Cette relation simplifie considérablement la résolution.
Cas 3 : F ne dépend pas de y’ (F = F(x, y))
L’équation se réduit à ∂F/∂y = 0, qui n’est plus une équation différentielle mais une équation algébrique.
Conditions aux bords
Conditions de Dirichlet (bords fixes)
Le cas le plus courant : les valeurs de y aux extrémités sont imposées, c’est-à-dire y(a) = y₀ et y(b) = y₁. Les variations η doivent alors vérifier η(a) = η(b) = 0 pour respecter ces contraintes.
Conditions de Neumann (bords libres)
Quand une extrémité est libre (la valeur de y n’est pas imposée), le terme de bord de l’intégration par parties ne s’annule plus automatiquement. On obtient une condition naturelle supplémentaire.
📐 À retenir
Si l’extrémité x = b est libre (y(b) n’est pas imposé), alors la condition naturelle est :
∂F/∂y'(b, y(b), y'(b)) = 0
C’est la condition de transversalité. Elle remplace la condition de Dirichlet quand le bord est libre.
Conditions mixtes
On peut avoir un bord fixe et un bord libre, ou des conditions plus complexes (bord mobile sur une courbe donnée). Dans ce dernier cas, la condition de transversalité se généralise et fait intervenir la pente de la courbe-bord.
Retrouvez les détails dans notre fiche sur l’analyse fonctionnelle en L3.
Exemples classiques
Le plus court chemin entre deux points
✏️ Exercice
Trouve la courbe y(x) de longueur minimale reliant les points A(a, y₀) et B(b, y₁) dans le plan. La fonctionnelle à minimiser est :
J[y] = ∫ab √(1 + y’²) dx
✅ Voir la correction
Ici F(x, y, y’) = √(1 + y’²). Le lagrangien ne dépend ni de x ni de y, seulement de y’.
Méthode 1 : F ne dépend pas de y, donc ∂F/∂y = 0 et l’équation d’Euler-Lagrange donne d/dx(∂F/∂y’) = 0, soit ∂F/∂y’ = constante.
∂F/∂y’ = y’ / √(1 + y’²) = C (constante).
Élevons au carré : y’² / (1 + y’²) = C². Donc y’² = C²(1 + y’²), soit y’²(1 − C²) = C², donc y’² = C² / (1 − C²) = constante.
Conclusion : y’ = constante, ce qui signifie que y est une fonction affine : y(x) = αx + β.
La courbe de plus courte longueur entre deux points du plan est bien la droite. Les constantes α et β sont déterminées par y(a) = y₀ et y(b) = y₁.
La brachistochrone
C’est le problème historique qui a donné naissance au calcul des variations. En 1696, Jean Bernoulli pose la question : quelle est la courbe le long de laquelle un objet, partant du repos, glisse le plus vite d’un point A à un point B sous l’effet de la seule gravité (sans frottements) ?
On place A à l’origine et B en un point (x₁, y₁) avec l’axe y orienté vers le bas. La conservation de l’énergie donne la vitesse v = √(2gy) à la hauteur y. Le temps de descente est :
T[y] = ∫0x₁ √(1 + y’²) / √(2gy) dx
✏️ Exercice
Applique l’intégrale première de Beltrami (cas F indépendant de x) au lagrangien de la brachistochrone pour montrer que la solution est une cycloïde.
✅ Voir la correction
Le lagrangien est F(y, y’) = √(1 + y’²) / √(2gy) = √((1 + y’²) / (2gy)). Il ne dépend pas explicitement de x.
Intégrale première de Beltrami : F − y’ · ∂F/∂y’ = C.
Calculons ∂F/∂y’ = y’ / √(2gy(1 + y’²)).
Donc F − y’ · ∂F/∂y’ = √((1 + y’²)/(2gy)) − y’² / √(2gy(1 + y’²))
= [1 + y’² − y’²] / √(2gy(1 + y’²)) = 1 / √(2gy(1 + y’²)) = C.
En élevant au carré : 1 / [2gy(1 + y’²)] = C², soit y(1 + y’²) = 1/(2gC²) = 2R (en posant 2R = 1/(2gC²)).
Ce thème est développé dans notre article sur l’optimisation en L3.
L’équation différentielle y(1 + y’²) = 2R admet pour solution la cycloïde paramétrée par :
x = R(θ − sin θ)
y = R(1 − cos θ)
Vérifions : y’ = dy/dx = (R sin θ) / (R(1 − cos θ)) = sin θ / (1 − cos θ).
y’² = sin²θ / (1 − cos θ)² = (1 − cos²θ) / (1 − cos θ)² = (1 + cos θ) / (1 − cos θ).
1 + y’² = [1 − cos θ + 1 + cos θ] / (1 − cos θ) = 2 / (1 − cos θ).
y(1 + y’²) = R(1 − cos θ) × 2/(1 − cos θ) = 2R. L’équation est bien satisfaite.
💡 Astuce
La cycloïde a une propriété remarquable : c’est aussi la courbe tautochrone, le long de laquelle le temps de descente est le même quel que soit le point de départ. Ce double rôle a fasciné les mathématiciens du XVIIe siècle et a motivé le développement du calcul des variations.
Les géodésiques
Une géodésique est la courbe de plus courte longueur entre deux points sur une surface. C’est la généralisation de la droite à des espaces courbes.
Géodésiques du plan : Ce sont les droites (on vient de le démontrer).
Géodésiques de la sphère : Ce sont les grands cercles (cercles dont le centre coïncide avec le centre de la sphère). C’est la raison pour laquelle les avions suivent des routes en arc de grand cercle pour minimiser la distance parcourue.
Sur une surface paramétrée par (u, v) avec la métrique ds² = E du² + 2F du dv + G dv², la longueur d’une courbe v(u) est :
L = ∫ √(E + 2F v’ + G v’²) du
L’équation d’Euler-Lagrange appliquée à cette fonctionnelle donne l’équation des géodésiques de la surface.
✏️ Exercice
Trouve les géodésiques du cylindre de rayon R. En coordonnées cylindriques (θ, z), la métrique est ds² = R² dθ² + dz². On cherche z(θ).
✅ Voir la correction
La longueur d’une courbe z(θ) sur le cylindre est :
L = ∫ √(R² + z’²) dθ, où z’ = dz/dθ.
Le lagrangien F = √(R² + z’²) ne dépend ni de θ ni de z. L’équation d’Euler-Lagrange donne :
∂F/∂z’ = z’ / √(R² + z’²) = C (constante).
Donc z’² / (R² + z’²) = C², soit z’² = C²R² / (1 − C²) = constante.
Conclusion : z’ = constante, donc z = αθ + β.
Les géodésiques du cylindre sont les hélices (dont les droites verticales et les cercles horizontaux sont des cas particuliers). Si tu « déroules » le cylindre à plat, ces hélices deviennent des droites, ce qui confirme le résultat.
Voir aussi : la géométrie différentielle pour compléter vos connaissances.
La variation seconde et les conditions suffisantes
Variation seconde
Comme en optimisation classique où la dérivée seconde détermine la nature d’un point critique, la variation seconde détermine si un point stationnaire de la fonctionnelle est un minimum, un maximum ou ni l’un ni l’autre.
📐 À retenir
La variation seconde est :
δ²J[y, η] = Φ »(0) = ∫ab [∂²F/∂y² · η² + 2 · ∂²F/∂y∂y’ · η·η’ + ∂²F/∂y’² · η’²] dx
Une condition suffisante de minimum (faible) est que δ²J > 0 pour toute η ≠ 0.
La condition de Legendre
Une condition nécessaire plus maniable pour un minimum est la condition de Legendre :
📐 À retenir
Condition de Legendre : Si y est un minimum (faible) de J, alors :
∂²F/∂y’²(x, y(x), y'(x)) ≥ 0 pour tout x ∈ [a, b].
Si l’inégalité est stricte (> 0 partout), on parle de condition de Legendre renforcée.
Les points conjugués et la condition de Jacobi
La condition de Legendre renforcée ne suffit pas seule. Il faut aussi vérifier l’absence de points conjugués sur l’intervalle, ce qui constitue la condition de Jacobi.
On considère l’équation de Jacobi (aussi appelée équation accessoire), qui est une équation différentielle linéaire du second ordre obtenue à partir de la variation seconde. Si cette équation admet une solution non triviale qui s’annule en x = a et en un point c ∈ (a, b], alors c est un point conjugué de a, et l’extremum n’est pas un minimum.
💡 Astuce
Pour les examens de L3, retiens la hiérarchie des conditions :
1. Euler-Lagrange → condition nécessaire (annulation de la variation première).
2. Legendre renforcée + absence de points conjugués (Jacobi) → conditions suffisantes pour un minimum faible.
La plupart des exercices d’examen se limitent à l’étape 1, mais tu dois savoir énoncer les étapes 2.
Problèmes avec contraintes : les multiplicateurs de Lagrange
Contrainte isopérimétrique
On veut parfois minimiser une fonctionnelle sous une contrainte portant sur une autre fonctionnelle. Le cas classique est le problème isopérimétrique : trouver la courbe fermée de longueur donnée qui enferme l’aire maximale.
En général, on veut rendre extrémale J[y] = ∫ab F(x, y, y’) dx sous la contrainte K[y] = ∫ab G(x, y, y’) dx = l (valeur donnée).
📐 À retenir
Pour un problème avec contrainte isopérimétrique, on forme le lagrangien augmenté :
J*[y] = J[y] + λ K[y] = ∫ab [F + λG] dx
où λ est un multiplicateur de Lagrange. On applique ensuite l’équation d’Euler-Lagrange au nouveau lagrangien F* = F + λG, ce qui donne :
∂(F + λG)/∂y − d/dx[∂(F + λG)/∂y’] = 0
Nous vous conseillons également notre cours sur la théorie des groupes.
Le multiplicateur λ est déterminé par la contrainte K[y] = l.
✏️ Exercice
Parmi toutes les courbes y(x) reliant (0, 0) à (1, 0) telles que ∫₀¹ y dx = A (aire fixée sous la courbe), trouve celle qui a la longueur minimale.
✅ Voir la correction
On minimise J[y] = ∫₀¹ √(1 + y’²) dx sous la contrainte K[y] = ∫₀¹ y dx = A.
Lagrangien augmenté : F* = √(1 + y’²) + λy.
Équation d’Euler-Lagrange :
∂F*/∂y = λ et ∂F*/∂y’ = y’/√(1 + y’²).
L’équation est : λ − d/dx[y’/√(1 + y’²)] = 0.
Donc d/dx[y’/√(1 + y’²)] = λ, soit y’/√(1 + y’²) = λx + C₁.
Posons p = y’. Alors p/√(1 + p²) = λx + C₁. En posant sin φ = λx + C₁, on obtient p = tan φ.
La résolution complète montre que y(x) décrit un arc de cercle. La courbe de longueur minimale qui enferme une aire donnée est un arc circulaire.
Ce résultat est cohérent avec le problème isopérimétrique classique : parmi toutes les courbes fermées de périmètre donné, le cercle est celle qui enferme l’aire maximale.
Liens avec la physique : le principe de moindre action
Le calcul des variations est le langage naturel de la mécanique analytique. En physique, le lagrangien L = T − V (énergie cinétique moins énergie potentielle) joue le rôle de F, et l’action S = ∫ L dt joue le rôle de J.
Le principe de Hamilton (ou principe de moindre action) affirme que la trajectoire physique rend l’action stationnaire. L’équation d’Euler-Lagrange appliquée à ce contexte redonne les équations de Lagrange de la mécanique :
📐 À retenir
d/dt(∂L/∂q’) − ∂L/∂q = 0
où q est la coordonnée généralisée et q’ = dq/dt. C’est exactement l’équation d’Euler-Lagrange avec x remplacé par t et y par q.
Pour un point matériel de masse m dans un potentiel V(q), L = (1/2)mq’² − V(q). L’équation donne mq » = −V'(q), qui est la deuxième loi de Newton F = ma.
⚠️ Erreur fréquente
Le terme « moindre action » est trompeur : l’action n’est pas toujours minimale, elle est stationnaire (sa variation première est nulle). Dans certains cas, la trajectoire physique correspond à un maximum ou un point-selle de l’action. Le nom exact devrait être « principe d’action stationnaire ».
Pour aller plus loin
Le calcul des variations s’étend dans de nombreuses directions que tu pourras explorer en master :
- Fonctionnelles à plusieurs fonctions inconnues : J[y₁, y₂, …, yₙ], ce qui donne un système d’équations d’Euler-Lagrange couplées.
- Fonctionnelles avec dérivées d’ordre supérieur : J[y] = ∫ F(x, y, y’, y ») dx, ce qui donne une équation d’Euler-Lagrange d’ordre 4.
- Problèmes en dimension supérieure : fonctionnelles portant sur des fonctions de plusieurs variables, comme J[u] = ∬ F(x, y, u, u_x, u_y) dx dy. L’équation d’Euler-Lagrange devient une EDP.
- Méthodes directes : approche moderne (Tonelli, De Giorgi) qui prouve l’existence de minimiseurs sans résoudre l’équation d’Euler-Lagrange, en utilisant la compacité dans des espaces de Sobolev.
Tu possèdes maintenant les fondements du calcul des variations. Les trois piliers à retenir sont la construction de la fonctionnelle, la dérivation de l’équation d’Euler-Lagrange par intégration par parties, et l’interprétation des conditions aux bords. Les exemples classiques (plus court chemin, brachistochrone, géodésiques) te serviront de modèles pour aborder les problèmes plus avancés.
Articles du même niveau (Licence 3)
- l’analyse fonctionnelle en L3
- la géométrie différentielle
- la théorie des groupes
- la théorie des anneaux et corps
- l’analyse complexe en L3
- les statistiques inférentielles
- l’optimisation en L3
Pour aller plus loin
- l’intégration et les équations différentielles (niveau Licence 2)
- les nombres complexes et la géométrie (niveau CAPES)
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
