Comment trouve-t-on le plus grand commun diviseur entre deux nombres ? Le PGCD est le plus grand entier qui divise simultanément ces deux nombres. Plongeons dans cette notion essentielle grâce à des exemples clairs et engageants.
Qu’est-ce que le Plus Grand Commun Diviseur ?
Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) représente le plus grand nombre qui peut diviser deux nombres sans laisser de reste. Quand on parle de diviseur, on fait référence à un nombre entier qui divise exactement un autre nombre. Si tu prends deux nombres, comme 36 et 24, le plus grand nombre qu’ils partagent en tant que diviseur est leur PGCD. Cela signifie qu’aucun autre nombre plus grand ne peut diviser à la fois 36 et 24.
Comment Calculer le PGCD ?
Pour déterminer le PGCD de deux nombres, il existe plusieurs méthodes. L’une des plus classiques est la décomposition en facteurs premiers. Une autre méthode efficace est l’algorithme d’Euclide, qui consiste à utiliser des soustractions répétées ou des divisions pour trouver ce fameux diviseur commun.
📝 Exemple : Trouvons le PGCD de 36 et 24 :
| Étape | Calcul |
| Décomposition de 36 | 36 = 2² × 3² |
| Décomposition de 24 | 24 = 2³ × 3 |
| PGCD | 2² × 3 = 12 |
Propriétés du PGCD
Lorsqu’on étudie le PGCD, on découvre qu’il possède des propriétés intéressantes. L’une d’elles est que si le PGCD de deux nombres est égal à 1, alors ces deux nombres sont considérés comme copremiers. Cela signifie qu’ils n’ont pas d’autres diviseurs communs que 1.
💡 Astuce : Pour savoir si deux nombres n’ont aucun facteur commun autre que 1, tu peux vérifier qu’ils sont copremiers. Cela simplifie souvent les problèmes de fractions ou de multiples communs.
Applications du PGCD
Le PGCD est très utile dans plusieurs situations. Par exemple, il permet de simplifier les fractions. Si tu prends la fraction 36/48 et que tu souhaites la simplifier, il te suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD, qui est 12. Tu obtiens ainsi la fraction simplifiée 3/4.
📝 Exemple : Simplifier la fraction 36/48 :
PGCD(36, 48) = 12
36 ÷ 12 = 3
48 ÷ 12 = 4
Donc, 36/48 se simplifie en 3/4.
Entraîne-toi avec des exercices sur le PGCD
Pour bien comprendre le concept et ses applications, il est essentiel de s’exercer. Tu peux suivre ce lien vers Exomath pour accéder à des exercices et défis variés sur le PGCD.
Exercices de maths
Voici quelques exercices pour s’entraîner et renforcer ta compréhension des concepts mathématiques de la classe de troisième.
Calculer le PGCD de deux nombres pour la classe de 3ème
Énoncé de l’exercice
Trouve le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) des nombres 48 et 180. 💡 Indice : commence par identifier les diviseurs de chaque nombre. 🎯 Colorie en bleu toutes les étapes cruciales de ton raisonnement !
Instructions
- 🔍 Liste tous les diviseurs de 48 et 180.
- Pour 48 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
- Pour 180 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180
Correction
🔍 Tout d’abord, listons les diviseurs de 48 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. 📝
🔍 Ensuite, listons les diviseurs de 180 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180. 📝
👀 En comparant les deux listes, nous trouvons les diviseurs communs : 1, 2, 3, 4, 6, 12.
⚖️ Le plus grand parmi ces diviseurs communs est 12. Ainsi, le PGCD de 48 et 180 est 12.
✨ Pour confirmer, nous vérifions que 48 ÷ 12 = 4 et 180 ÷ 12 = 15, et les deux divisions ont un reste de 0. ✔️
🎉 Nous concluons donc que le PGCD de 48 et 180 est effectivement 12. 🎯
Exercice sur le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)
Énoncé de l’exercice
Calculez le Plus Grand Commun Diviseur de 48 et 180. 💡 N’oubliez pas d’utiliser la méthode de décomposition en facteurs premiers. 🧮
Instructions
- 🔍 Décomposez chaque nombre en facteurs premiers.
- Pour 48, utilisez la division par les plus petits nombres premiers.
- Pour 180, suivez le même processus afin de trouver tous les facteurs premiers.
- Pour 48, utilisez la division par les plus petits nombres premiers.
- Pour 180, suivez le même processus afin de trouver tous les facteurs premiers.
- 🧮 Identifiez les facteurs communs entre les deux décompositions.
- ✏️ Multipliez ces facteurs communs pour obtenir le PGCD.
- 🎨 Indiquez votre réponse finale en couleur.
- N’oubliez pas de vérifier votre réponse en divisant les nombres d’origine par le PGCD trouvé pour vous assurer qu’il est correct.
- Pour 48, utilisez la division par les plus petits nombres premiers.
- Pour 180, suivez le même processus afin de trouver tous les facteurs premiers.
Correction
🔍 Commençons par la décomposition de 48. On obtient : 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3.
🔍 Pour 180, nous avons : 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5.
🔎 Identifions les facteurs communs : les facteurs communs sont 2 × 2 × 3.
🧮 En les multipliant, nous obtenons le PGCD : 2 × 2 × 3 = 12.
✨ Le Plus Grand Commun Diviseur de 48 et 180 est donc 12.
👌 Vérification : 48 ÷ 12 = 4 et 180 ÷ 12 = 15. Les divisions sont correctes, donc notre PGCD est exact.
Calcul du Plus Grand Commun Diviseur de Deux Nombres
Énoncé de l’exercice
Voici deux nombres : 72 et 120. Votre mission est de trouver leur plus grand commun diviseur (PGCD) 🧮. Pensez à décomposer chaque nombre en produits de facteurs premiers 🔍, cela peut être très utile!
Instructions
- 🔍 Décomposez les nombres 72 et 120 en produits de facteurs premiers.
- 🔗 Trouvez tous les facteurs communs aux deux listes de facteurs.
- 📏 Multipliez ces facteurs communs pour obtenir le PGCD.
- 📝 Vérifiez votre réponse à l’aide d’un calcul direct de divisibilité. Le plus grand commun diviseur est celui qui divise les deux nombres sans reste.
Correction
🔍 Pour le nombre 72, sa décomposition en facteurs premiers est : 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3.
🔍 Pour le nombre 120, sa décomposition en facteurs premiers est : 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5.
🔗 Les facteurs communs sont : 2 × 2 × 2 × 3.
📏 En multipliant ces facteurs communs : 2 × 2 × 2 × 3 = 24.
✅ Ainsi, le PGCD de 72 et 120 est 24.
En révisant le concept du Plus Grand Commun Diviseur (PGCD), tu comprends qu’il s’agit du plus grand nombre entier divisant simultanément deux ou plusieurs nombres. Identifier les diviseurs communs facilitera le chemin vers le calcul du PGCD, un outil fondamental en arithmétique.
N’oublie pas que les nombres ayant un PGCD de 1 sont appelés copremiers, car ils ne partagent aucun diviseur autre que l’unité. La maîtrise du PGCD te servira dans de nombreuses applications mathématiques, de la simplification des fractions à la compréhension des propriétés des nombres premiers.
Pour approfondir ta compréhension, retrouve plus de ressources et d’exercices sur le cours de maths 3ème.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
