Les racines carrées débarquent en troisième et avec elles, un nouveau type de calcul qui déroute beaucoup d’élèves. Simplifier √50, additionner des racines, supprimer une racine au dénominateur… Toutes ces opérations obéissent à des règles précises, et une fois que tu les maîtrises, ça devient presque mécanique. Dans cet article, tu vas reprendre les bases, découvrir chaque opération en détail et t’entraîner avec des exercices corrigés.
Rappel : qu’est-ce qu’une racine carrée ?
La racine carrée d’un nombre positif a, notée √a, est le nombre positif dont le carré vaut a. Autrement dit, √a est le nombre positif b tel que b² = a.
Quelques exemples :
- √4 = 2 car 2² = 4
- √9 = 3 car 3² = 9
- √25 = 5 car 5² = 25
- √2 ≈ 1,414… (nombre irrationnel, il ne tombe pas « juste »)
📐 À retenir
Propriétés fondamentales :
– √a existe si et seulement si a ≥ 0
– √a ≥ 0 (la racine carrée est toujours positive ou nulle)
– (√a)² = a
– √(a²) = a si a ≥ 0
Les carrés parfaits à connaître par coeur sont les nombres dont la racine carrée est un entier :
| Nombre | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Racine | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Simplifier une racine carrée
Simplifier une racine carrée, c’est l’écrire sous la forme a√b avec b le plus petit possible. Pour cela, on cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine.
La méthode
- Décompose le nombre sous la racine en un produit contenant un carré parfait.
- Applique la propriété √(a × b) = √a × √b.
- Sors le carré parfait de la racine.
Exemple : simplifier √50
50 = 25 × 2 (25 est le plus grand carré parfait qui divise 50)
√50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2
Exemple : simplifier √72
72 = 36 × 2
√72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2
Exemple : simplifier √48
48 = 16 × 3
√48 = √(16 × 3) = √16 × √3 = 4√3
Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur définition de la racine carrée.
💡 Astuce
Si tu ne trouves pas immédiatement le plus grand carré parfait, décompose en facteurs premiers. √72 = √(2³ × 3²) = √(2² × 3² × 2) = 2 × 3 × √2 = 6√2. Chaque paire de facteurs identiques sort de la racine.
📐 À retenir
√(a × b) = √a × √b pour tous nombres positifs a et b.
Cette propriété permet de simplifier les racines en sortant les carrés parfaits.
Additionner et soustraire des racines carrées
On ne peut additionner ou soustraire des racines carrées que si elles ont le même radicande (le même nombre sous la racine). C’est exactement comme les termes semblables en algèbre.
Exemples qui fonctionnent :
- 3√5 + 7√5 = 10√5 (on additionne les coefficients)
- 8√2 – 3√2 = 5√2
- √3 + 4√3 = 1√3 + 4√3 = 5√3
Exemples qui ne fonctionnent pas directement :
- √2 + √3 ne se simplifie pas (radicandes différents)
- √5 + √7 ne se simplifie pas
⚠️ Erreur fréquente
√2 + √3 ≠ √5 ! On ne peut pas additionner des racines de radicandes différents en additionnant les radicandes. C’est l’erreur la plus fréquente sur les racines carrées. Vérifie : √2 ≈ 1,41 et √3 ≈ 1,73, donc √2 + √3 ≈ 3,14. Mais √5 ≈ 2,24. Ce n’est pas du tout pareil.
Simplifier avant d’additionner
Parfois, deux racines semblent différentes mais deviennent semblables après simplification.
Exemple : calculer √50 + √18
√50 = 5√2 et √18 = √(9 × 2) = 3√2
Donc √50 + √18 = 5√2 + 3√2 = 8√2
Exemple : calculer √75 – √27
√75 = √(25 × 3) = 5√3 et √27 = √(9 × 3) = 3√3
Donc √75 – √27 = 5√3 – 3√3 = 2√3
💡 Astuce
Avant d’additionner ou de soustraire des racines, simplifie-les toujours d’abord. Elles deviennent souvent semblables après simplification.
Multiplier des racines carrées
C’est l’opération la plus simple avec les racines. La règle est directe :
📐 À retenir
√a × √b = √(a × b) pour tous nombres positifs a et b.
Et de façon générale : (m√a) × (n√b) = mn × √(ab)
Exemples :
- √3 × √5 = √15
- √2 × √8 = √16 = 4
- 2√3 × 5√7 = 10√21
- 3√2 × 4√2 = 12 × √4 = 12 × 2 = 24
Cas particulier très utile : √a × √a = a. Par exemple, √7 × √7 = 7.
Ce point est approfondi dans notre cours sur cours sur les puissances.
Développer avec des racines
On peut utiliser la distributivité exactement comme avec des lettres :
√2 × (√3 + √5) = √2 × √3 + √2 × √5 = √6 + √10
(√3 + 1)(√3 – 1) = (√3)² – 1² = 3 – 1 = 2 (identité remarquable a² – b²)
(√5 + √2)² = (√5)² + 2 × √5 × √2 + (√2)² = 5 + 2√10 + 2 = 7 + 2√10
Diviser des racines carrées
La division fonctionne de la même manière que la multiplication :
📐 À retenir
√a / √b = √(a/b) pour a ≥ 0 et b > 0.
Exemples :
- √50 / √2 = √(50/2) = √25 = 5
- √18 / √3 = √(18/3) = √6
- 6√10 / 2√5 = 3 × √(10/5) = 3√2
On peut aussi simplifier en gardant les racines séparées :
√12 / √3 = (2√3) / √3 = 2 (on simplifie le √3)
Supprimer la racine au dénominateur
En mathématiques, on n’aime pas laisser une racine carrée au dénominateur d’une fraction. L’opération qui consiste à l’éliminer s’appelle la rationalisation du dénominateur.
Cas simple : dénominateur = √a
On multiplie le numérateur et le dénominateur par √a :
Exemple : rationaliser 3/√5
3/√5 = (3 × √5) / (√5 × √5) = 3√5 / 5
Exemple : rationaliser 7/√2
7/√2 = (7 × √2) / (√2 × √2) = 7√2 / 2
📐 À retenir
Pour rationaliser un dénominateur de la forme √a, on multiplie en haut et en bas par √a :
n/√a = n√a / a
Cas avancé : dénominateur = a + √b ou a – √b
On utilise la quantité conjuguée. Si le dénominateur est (a + √b), on multiplie par (a – √b) en haut et en bas. L’identité remarquable (a + √b)(a – √b) = a² – b élimine la racine.
Exemple : rationaliser 1/(3 + √2)
1/(3 + √2) = (3 – √2) / ((3 + √2)(3 – √2)) = (3 – √2) / (9 – 2) = (3 – √2) / 7
Pour completer, decouvre notre cours sur factorisation en 3eme.
💡 Astuce
Pour trouver le conjugué, il suffit de changer le signe devant la racine. Le conjugué de (a + √b) est (a – √b) et inversement. Le produit donne toujours un nombre sans racine : (a + √b)(a – √b) = a² – b.
Racines carrées et théorème de Pythagore
Les racines carrées apparaissent naturellement quand tu utilises le théorème de Pythagore. Si tu connais deux côtés d’un triangle rectangle, le troisième s’obtient avec une racine carrée.
Calculer l’hypoténuse
Dans un triangle rectangle de côtés a et b avec c l’hypoténuse :
c² = a² + b², donc c = √(a² + b²)
Exemple : un triangle rectangle de côtés 3 cm et 4 cm.
c = √(9 + 16) = √25 = 5 cm
Exemple : un triangle rectangle de côtés 1 cm et 1 cm.
c = √(1 + 1) = √2 ≈ 1,414 cm
Calculer un côté de l’angle droit
Si tu connais l’hypoténuse c et un côté a :
b² = c² – a², donc b = √(c² – a²)
Exemple : hypoténuse 13 cm, un côté 5 cm.
b = √(169 – 25) = √144 = 12 cm
La diagonale d’un carré
Un résultat classique : la diagonale d’un carré de côté a vaut a√2.
En effet, le carré se divise en deux triangles rectangles isocèles. Par Pythagore : d² = a² + a² = 2a², donc d = √(2a²) = a√2.
📐 À retenir
Valeurs à connaître :
– Diagonale d’un carré de côté a : a√2
– Hauteur d’un triangle équilatéral de côté a : a√3 / 2
– √2 ≈ 1,414 ; √3 ≈ 1,732 ; √5 ≈ 2,236
Erreurs fréquentes
⚠️ Erreur fréquente
√(a + b) ≠ √a + √b ! C’est l’erreur la plus grave et la plus fréquente. La racine d’une somme n’est PAS la somme des racines. Exemple : √(9 + 16) = √25 = 5, mais √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Ce n’est pas pareil.
⚠️ Erreur fréquente
√(a – b) ≠ √a – √b ! Même chose pour la soustraction. √(25 – 9) = √16 = 4, mais √25 – √9 = 5 – 3 = 2. Pas du tout la même chose.
⚠️ Erreur fréquente
Oublier que √a² = |a| et pas toujours a. Si a est négatif, √(a²) = -a (pas a). Par exemple, √((-3)²) = √9 = 3 = -(-3). En troisième, on travaille souvent avec des nombres positifs, mais attention si le contexte change.
⚠️ Erreur fréquente
Simplifier √(4 × 3) en 4√3. Non ! √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√3 (pas 4√3). C’est la racine de 4 qui sort, pas 4 lui-même.
⚠️ Erreur fréquente
Additionner des racines de radicandes différents. 3√2 + 5√3 ne se simplifie pas. Ce n’est pas 8√5 ni 8√6 ni quoi que ce soit d’autre. On ne peut combiner que des racines semblables (même radicande).
Exercices corrigés
Exercice 1 : Simplifier
✏️ Exercice
Simplifie les expressions suivantes :
a) √98
b) √200
c) √45
✅ Voir la correction
a) √98 = √(49 × 2) = √49 × √2 = 7√2
Ce sujet est détaillé dans notre regles de priorites.
b) √200 = √(100 × 2) = √100 × √2 = 10√2
c) √45 = √(9 × 5) = √9 × √5 = 3√5
Exercice 2 : Additionner et soustraire
✏️ Exercice
Simplifie : √32 + √8 – √2
✅ Voir la correction
Simplifions chaque racine :
√32 = √(16 × 2) = 4√2
√8 = √(4 × 2) = 2√2
√2 = 1√2
Donc : √32 + √8 – √2 = 4√2 + 2√2 – 1√2 = 5√2
Exercice 3 : Multiplier et développer
✏️ Exercice
Développe et simplifie : (2√3 + 1)(2√3 – 1)
✅ Voir la correction
On reconnaît l’identité remarquable (a + b)(a – b) = a² – b² avec a = 2√3 et b = 1.
(2√3 + 1)(2√3 – 1) = (2√3)² – 1²
= 4 × 3 – 1
= 12 – 1
= 11
Exercice 4 : Rationaliser
✏️ Exercice
Rationalise les dénominateurs :
a) 6/√3
b) 2/(√5 – 1)
✅ Voir la correction
a) 6/√3 = (6 × √3) / (√3 × √3) = 6√3 / 3 = 2√3
b) On multiplie par le conjugué (√5 + 1) :
2/(√5 – 1) = 2(√5 + 1) / ((√5 – 1)(√5 + 1))
= 2(√5 + 1) / (5 – 1)
= 2(√5 + 1) / 4
= (√5 + 1) / 2
Exercice 5 : Pythagore et racines
✏️ Exercice
Un triangle rectangle a pour côtés de l’angle droit √3 cm et √12 cm. Calcule la longueur exacte de l’hypoténuse sous forme simplifiée.
✅ Voir la correction
Par le théorème de Pythagore :
Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur trigonometrie et valeurs remarquables.
c² = (√3)² + (√12)²
c² = 3 + 12 = 15
c = √15
√15 n’est pas simplifiable (15 = 3 × 5, aucun carré parfait ne divise 15).
L’hypoténuse mesure √15 cm, soit environ 3,87 cm.
FAQ
Pourquoi √(a+b) n’est pas égal à √a + √b ?
Parce que la racine carrée n’est pas une opération linéaire. La propriété √(a×b) = √a × √b fonctionne pour la multiplication, mais il n’existe aucune règle analogue pour l’addition. C’est une propriété spécifique de la multiplication, pas de l’addition. Le contre-exemple le plus simple : √(9+16) = √25 = 5, mais √9 + √16 = 3 + 4 = 7.
Comment savoir si une racine peut être simplifiée ?
Décompose le nombre en facteurs premiers. Si l’un des facteurs apparaît au moins deux fois (c’est-à-dire s’il y a un carré parfait dans la décomposition), la racine est simplifiable. Par exemple, 50 = 2 × 5². Le 5² sort : √50 = 5√2. Si tous les facteurs premiers sont distincts (comme 30 = 2 × 3 × 5), la racine ne se simplifie pas.
Pourquoi doit-on rationaliser le dénominateur ?
C’est une convention d’écriture en mathématiques. La forme rationalisée est considérée comme plus « propre » et facilite les comparaisons et les calculs ultérieurs. Avec un dénominateur rationnel, il est plus facile de comparer des fractions, de les additionner ou de vérifier un résultat à la calculatrice.
Les racines carrées tombent-elles au brevet ?
Oui, régulièrement. Les exercices du brevet portent sur la simplification de racines, les calculs avec Pythagore (résultats sous forme de racines exactes) et parfois la rationalisation du dénominateur. Les identités remarquables avec des racines sont aussi un grand classique.
Existe-t-il des racines carrées de nombres négatifs ?
Pas dans l’ensemble des nombres réels (ceux que tu utilises au collège). La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas dans les réels car aucun nombre réel multiplié par lui-même ne donne un résultat négatif. En revanche, les mathématiciens ont inventé les nombres complexes pour résoudre ce problème, avec le nombre i défini par i² = -1. Tu découvriras ça en terminale ou dans le supérieur.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
