En 3ème, les statistiques vont bien au-delà du simple calcul de moyenne. Tu dois maintenant analyser comment les valeurs d’une série se répartissent, se concentrent ou s’étalent. C’est ce qu’on appelle les caractéristiques de dispersion. L’étendue te donne un premier aperçu de l’écart entre les extrêmes. Les quartiles découpent ta série en quatre parts égales. L’écart interquartile mesure la concentration des données centrales. Et le diagramme en boîte (la fameuse boîte à moustaches) offre une représentation visuelle de tout cela. Ce cours reprend chaque notion avec méthode, des exemples détaillés pas à pas, et cinq exercices corrigés orientés brevet pour que tu maîtrises solidement le sujet.
Rappel : moyenne et médiane
Avant de parler de dispersion, revenons rapidement sur les deux indicateurs de position que tu connais déjà.
La moyenne
La moyenne d’une série statistique se calcule en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par l’effectif total.
Prenons la série : 4, 7, 9, 12, 18. La somme vaut 4 + 7 + 9 + 12 + 18 = 50. Il y a 5 valeurs. La moyenne est 50 ÷ 5 = 10.
La médiane
La médiane est la valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés de même effectif. La moitié des valeurs se trouvent en dessous de la médiane, l’autre moitié au-dessus.
Pour la trouver, commence par ranger les valeurs dans l’ordre croissant. Si l’effectif est impair, la médiane est la valeur centrale. Si l’effectif est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.
Avec la série précédente (déjà ordonnée) : 4, 7, 9, 12, 18. L’effectif est 5 (impair), la valeur centrale est la 3ème : médiane = 9.
Avec la série : 3, 5, 8, 11, 14, 20 (effectif = 6, pair), les deux valeurs centrales sont la 3ème (8) et la 4ème (11). Médiane = (8 + 11) ÷ 2 = 9,5.
💡 Astuce
Pour une série de n valeurs rangées dans l’ordre croissant : si n est impair, la médiane est la valeur de rang (n + 1) ÷ 2. Si n est pair, c’est la moyenne des valeurs de rang n ÷ 2 et n ÷ 2 + 1.
La moyenne et la médiane sont des indicateurs de position : elles indiquent « où se situent » globalement les données. Mais elles ne disent rien sur la façon dont les données sont dispersées autour de cette position. C’est là qu’interviennent les caractéristiques de dispersion.
L’étendue
📐 À retenir
Étendue = valeur maximale – valeur minimale
L’étendue mesure l’écart total entre la plus grande et la plus petite valeur de la série. C’est l’indicateur de dispersion le plus simple.
Exemple
Série : 4, 7, 9, 12, 18. La valeur maximale est 18. La valeur minimale est 4. L’étendue est 18 – 4 = 14.
Comparons avec une autre série : 8, 9, 10, 11, 12. La moyenne est 10 (comme 50 ÷ 5 = 10). L’étendue est 12 – 8 = 4. Cette série est beaucoup plus concentrée que la première, même si leurs moyennes sont proches.
Limites de l’étendue
L’étendue ne prend en compte que les deux valeurs extrêmes. Si une seule valeur est très éloignée des autres (une valeur aberrante), l’étendue sera grande même si le reste de la série est compact. Par exemple, la série 10, 11, 12, 11, 10, 50 a une étendue de 40, alors que 5 valeurs sur 6 sont très proches les unes des autres. C’est pour cette raison qu’on utilise aussi les quartiles et l’écart interquartile.
Les quartiles Q1, Q2 et Q3
Les quartiles divisent une série statistique ordonnée en quatre parties de même effectif (à une unité près). Ce sont trois valeurs notées Q1, Q2 et Q3.
Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur caracteristiques de position.
- Q1 (premier quartile) : au moins 25 % des valeurs sont inférieures ou égales à Q1.
- Q2 (deuxième quartile) : c’est la médiane. 50 % des valeurs sont de chaque côté.
- Q3 (troisième quartile) : au moins 75 % des valeurs sont inférieures ou égales à Q3.
📐 À retenir
Pour déterminer Q1 et Q3 d’une série ordonnée de n valeurs :
- Q1 est la médiane de la moitié inférieure de la série (les valeurs en dessous de la médiane).
- Q3 est la médiane de la moitié supérieure de la série (les valeurs au-dessus de la médiane).
Si n est impair, la valeur médiane n’est incluse dans aucune des deux moitiés.
Exemple détaillé avec un effectif impair
Série ordonnée de 9 valeurs : 3, 5, 7, 8, 10, 12, 15, 17, 20.
Médiane (Q2) : effectif = 9, rang de la médiane = (9 + 1) ÷ 2 = 5. La 5ème valeur est 10. Donc Q2 = 10.
Moitié inférieure (valeurs avant la médiane) : 3, 5, 7, 8 (4 valeurs). Q1 est la médiane de cette sous-série. Effectif = 4 (pair), donc Q1 = (5 + 7) ÷ 2 = 6.
Moitié supérieure (valeurs après la médiane) : 12, 15, 17, 20 (4 valeurs). Q3 = (15 + 17) ÷ 2 = 16.
| Indicateur | Valeur | Signification |
|---|---|---|
| Minimum | 3 | Plus petite valeur |
| Q1 | 6 | 25 % des valeurs sont en dessous |
| Q2 (médiane) | 10 | 50 % des valeurs sont en dessous |
| Q3 | 16 | 75 % des valeurs sont en dessous |
| Maximum | 20 | Plus grande valeur |
Exemple détaillé avec un effectif pair
Série ordonnée de 12 valeurs : 2, 4, 6, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 21, 25.
Médiane : effectif = 12 (pair). Les deux valeurs centrales sont la 6ème (11) et la 7ème (13). Q2 = (11 + 13) ÷ 2 = 12.
Moitié inférieure : 2, 4, 6, 7, 9, 11 (6 valeurs). Q1 = (6 + 7) ÷ 2 = 6,5.
Moitié supérieure : 13, 14, 16, 18, 21, 25 (6 valeurs). Q3 = (16 + 18) ÷ 2 = 17.
💡 Astuce
Pour ne pas te tromper, commence toujours par ranger les valeurs dans l’ordre croissant. Ensuite, trouve la médiane. Puis sépare la série en deux moitiés (inférieure et supérieure) et calcule la médiane de chacune. C’est un processus mécanique : médiane de la série, puis médiane de chaque moitié.
L’écart interquartile
L’écart interquartile est la différence entre le troisième quartile et le premier quartile. Il mesure l’étendue de la « moitié centrale » de la série, en ignorant les 25 % de valeurs les plus basses et les 25 % les plus hautes.
📐 À retenir
Écart interquartile = Q3 – Q1
Il représente l’intervalle dans lequel se trouvent les 50 % de valeurs centrales de la série.
Exemple
Reprenons la série de 9 valeurs : Q1 = 6 et Q3 = 16. L’écart interquartile est 16 – 6 = 10.
Pour la série de 12 valeurs : Q1 = 6,5 et Q3 = 17. L’écart interquartile est 17 – 6,5 = 10,5.
Pourquoi l’écart interquartile est plus fiable que l’étendue
L’étendue est sensible aux valeurs extrêmes. Une seule valeur aberrante suffit à la gonfler artificiellement. L’écart interquartile, lui, ne tient pas compte des extrêmes : il se concentre sur la moitié centrale des données. C’est un indicateur beaucoup plus robuste pour comparer la dispersion de deux séries.
Comparons deux classes qui ont passé le même contrôle :
| Classe | Étendue | Q1 | Q3 | Écart interquartile |
|---|---|---|---|---|
| 3ème A | 16 | 9 | 15 | 6 |
| 3ème B | 15 | 7 | 16 | 9 |
Les étendues sont proches (16 et 15), mais l’écart interquartile de la 3ème B (9) est nettement plus grand que celui de la 3ème A (6). Cela signifie que les notes de la 3ème B sont plus dispersées autour de la médiane : le niveau de la classe est plus hétérogène.
Ce point est approfondi dans notre cours sur cours sur les probabilites.
Le diagramme en boîte (boîte à moustaches)
Le diagramme en boîte (ou boîte à moustaches, ou box plot en anglais) est une représentation graphique qui résume les cinq indicateurs clés d’une série : le minimum, Q1, la médiane, Q3 et le maximum.
Comment le lire
Un diagramme en boîte se compose de :
- Un segment (la moustache de gauche) qui va du minimum jusqu’à Q1.
- Un rectangle (la boîte) qui va de Q1 à Q3. La largeur de cette boîte représente l’écart interquartile.
- Un trait vertical à l’intérieur de la boîte qui marque la position de la médiane.
- Un segment (la moustache de droite) qui va de Q3 jusqu’au maximum.
Reprenons la série de 9 valeurs (3, 5, 7, 8, 10, 12, 15, 17, 20) avec min = 3, Q1 = 6, médiane = 10, Q3 = 16, max = 20. Sur un axe horizontal gradué :
- La moustache gauche s’étend de 3 à 6.
- La boîte va de 6 à 16, avec un trait vertical à 10 (la médiane).
- La moustache droite s’étend de 16 à 20.
Comment le construire
- Calcule les cinq indicateurs : minimum, Q1, médiane (Q2), Q3, maximum.
- Trace un axe horizontal gradué qui couvre au moins l’intervalle [minimum ; maximum].
- Dessine la boîte (un rectangle) entre Q1 et Q3.
- Trace le trait de la médiane à l’intérieur de la boîte, à la position de Q2.
- Ajoute les moustaches : un segment de Q1 au minimum, un segment de Q3 au maximum.
💡 Astuce
Pour l’examen, dessine toujours la boîte avec une hauteur suffisante (au moins 1 cm) pour qu’elle soit bien visible. Utilise ta règle pour que les extrémités de la boîte et les moustaches tombent exactement sur les bonnes graduations. Un diagramme propre rapporte tous les points.
Interpréter la dispersion
Maintenant que tu connais tous les outils, voyons comment les utiliser ensemble pour analyser une série et la comparer à une autre.
Ce que raconte un diagramme en boîte
- Une boîte courte signifie que les 50 % de valeurs centrales sont très resserrées : la série est homogène.
- Une boîte longue signifie que les valeurs centrales sont étalées : la série est hétérogène.
- La médiane décentrée dans la boîte (plus près de Q1 ou de Q3) indique une dissymétrie dans la répartition des données.
- Une moustache très longue d’un côté révèle la présence de valeurs éloignées de la majorité (potentiellement des valeurs extrêmes).
Comparer deux séries
Quand on te demande de comparer deux séries (par exemple, les notes de deux classes), place les deux diagrammes en boîte sur le même axe gradué et observe :
- Les médianes : quelle classe a la médiane la plus élevée ? Elle a globalement de meilleurs résultats.
- Les boîtes : quelle boîte est la plus courte ? Cette classe a des résultats plus homogènes.
- Les moustaches : quelle classe a les moustaches les plus longues ? Elle a plus de valeurs extrêmes.
✏️ Exercice
Deux classes passent le même contrôle de maths. Voici les résumés statistiques :
- Classe A : min = 4, Q1 = 10, médiane = 13, Q3 = 16, max = 19
- Classe B : min = 2, Q1 = 8, médiane = 14, Q3 = 17, max = 20
Compare les deux classes en termes de niveau et d’homogénéité.
✅ Voir la correction
Niveau : la médiane de la classe B (14) est légèrement supérieure à celle de la classe A (13). La classe B a un niveau global un peu meilleur.
Homogénéité : l’écart interquartile de la classe A est 16 – 10 = 6. Celui de la classe B est 17 – 8 = 9. La classe A est plus homogène (résultats plus resserrés). La classe B est plus hétérogène, avec des écarts plus importants entre les élèves.
Pour completer, decouvre notre cours sur racines carrées.
Étendue : classe A = 19 – 4 = 15, classe B = 20 – 2 = 18. La classe B a une étendue plus grande, confirmant une plus grande dispersion.
Résumer une série avec les cinq indicateurs
Pour décrire complètement la dispersion d’une série, tu utilises les cinq indicateurs (minimum, Q1, médiane, Q3, maximum) et tu commentes l’écart interquartile. Ce résumé s’appelle le « résumé à cinq nombres » (five-number summary en anglais). Il donne une vue d’ensemble bien plus riche que la moyenne seule.
Erreurs fréquentes
⚠️ Erreur fréquente
Oublier de ranger les valeurs dans l’ordre croissant. Avant de calculer la médiane ou les quartiles, les données doivent impérativement être triées. Si tu prends les valeurs dans le désordre, tu obtiendras une médiane et des quartiles complètement faux. C’est l’erreur la plus courante au brevet.
⚠️ Erreur fréquente
Inclure la médiane dans les deux moitiés pour calculer Q1 et Q3. Quand l’effectif est impair, la valeur médiane ne doit être incluse ni dans la moitié inférieure ni dans la moitié supérieure. Si tu l’inclus des deux côtés, tes quartiles seront décalés.
⚠️ Erreur fréquente
Confondre étendue et écart interquartile. L’étendue utilise le maximum et le minimum (les extrêmes). L’écart interquartile utilise Q3 et Q1 (le milieu de la série). Ce ne sont pas les mêmes valeurs et ils ne mesurent pas la même chose.
⚠️ Erreur fréquente
Tracer le diagramme en boîte sans respecter l’échelle. Si tu dessines la boîte « à la louche » sans placer précisément Q1, Q2, Q3 sur les graduations, ton diagramme sera faux visuellement et tu perdras des points. Utilise ta règle et repère chaque valeur avec précision sur l’axe gradué.
Exercices corrigés
✏️ Exercice 1
Voici les notes de 11 élèves à un contrôle : 6, 14, 9, 17, 11, 8, 13, 15, 10, 12, 7. Détermine la médiane, Q1, Q3 et l’écart interquartile.
✅ Voir la correction
Série ordonnée : 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17.
Effectif = 11 (impair). La médiane est la 6ème valeur : Q2 = 11.
Moitié inférieure : 6, 7, 8, 9, 10 (5 valeurs). Q1 = 3ème valeur = 8.
Moitié supérieure : 12, 13, 14, 15, 17 (5 valeurs). Q3 = 3ème valeur = 14.
Écart interquartile = 14 – 8 = 6.
✏️ Exercice 2
Les durées (en minutes) de 8 appels téléphoniques sont : 2, 5, 3, 12, 7, 4, 8, 6. Calcule l’étendue et l’écart interquartile.
✅ Voir la correction
Série ordonnée : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12.
Étendue = 12 – 2 = 10 minutes.
Effectif = 8 (pair). Médiane = (5 + 6) ÷ 2 = 5,5.
Moitié inférieure : 2, 3, 4, 5. Q1 = (3 + 4) ÷ 2 = 3,5.
Moitié supérieure : 6, 7, 8, 12. Q3 = (7 + 8) ÷ 2 = 7,5.
Écart interquartile = 7,5 – 3,5 = 4 minutes.
✏️ Exercice 3
Un diagramme en boîte a les caractéristiques suivantes : min = 5, Q1 = 9, médiane = 13, Q3 = 18, max = 24. Calcule l’étendue et l’écart interquartile, puis indique si la série est plutôt homogène ou hétérogène.
✅ Voir la correction
Étendue = 24 – 5 = 19.
Écart interquartile = 18 – 9 = 9.
Ce sujet est détaillé dans notre statistiques en 4eme.
L’écart interquartile est relativement grand (9 sur une étendue de 19), ce qui signifie que les 50 % de valeurs centrales sont assez étalées. La série est plutôt hétérogène. De plus, la médiane (13) est plus proche de Q1 (9) que de Q3 (18), ce qui indique une dissymétrie : il y a davantage de valeurs concentrées dans la partie basse.
✏️ Exercice 4
Voici les tailles (en cm) de 10 joueurs d’une équipe de basket : 178, 182, 175, 190, 185, 188, 180, 195, 183, 187. Détermine les cinq indicateurs (min, Q1, médiane, Q3, max) et construis mentalement le diagramme en boîte.
✅ Voir la correction
Série ordonnée : 175, 178, 180, 182, 183, 185, 187, 188, 190, 195.
Minimum = 175 cm, Maximum = 195 cm.
Effectif = 10 (pair). Médiane = (183 + 185) ÷ 2 = 184 cm.
Moitié inférieure : 175, 178, 180, 182, 183. Q1 = 3ème valeur = 180 cm.
Moitié supérieure : 185, 187, 188, 190, 195. Q3 = 3ème valeur = 188 cm.
Écart interquartile = 188 – 180 = 8 cm. La boîte irait de 180 à 188, avec la médiane à 184. La moustache gauche s’étendrait de 175 à 180 (5 cm) et la moustache droite de 188 à 195 (7 cm).
✏️ Exercice 5
Deux séries ont le même écart interquartile de 8. La série A a une étendue de 10 et la série B a une étendue de 30. Que peut-on en conclure ?
✅ Voir la correction
Les deux séries ont les mêmes 50 % de valeurs centrales répartis sur un intervalle de 8 unités : au centre, elles se dispersent de la même façon.
Cependant, la série B a une étendue de 30, soit trois fois celle de la série A (10). Cela signifie que la série B contient des valeurs extrêmes beaucoup plus éloignées du reste des données. Sur un diagramme en boîte, la série B aurait des moustaches beaucoup plus longues que la série A, même si les boîtes seraient de même largeur.
Conclusion : les 50 % centraux se ressemblent, mais les extrêmes de la série B sont bien plus dispersés.
Questions fréquentes sur les caractéristiques de dispersion
Quelle est la différence entre étendue et écart interquartile ?
L’étendue mesure l’écart entre le maximum et le minimum (les deux extrêmes de la série). L’écart interquartile mesure l’écart entre Q3 et Q1 (les bornes de la moitié centrale). L’étendue est sensible aux valeurs aberrantes, pas l’écart interquartile. Pour comparer deux séries, l’écart interquartile est généralement plus fiable.
Q2 et la médiane, c’est la même chose ?
Oui, exactement. Q2 est simplement un autre nom pour la médiane. On utilise cette notation pour rester cohérent avec Q1 et Q3 dans le système des quartiles. Les trois notations Q1, Q2, Q3 découpent la série en quatre parts de même effectif.
Peut-on avoir Q1 = Q3 ?
C’est possible si les données sont très concentrées autour de la même valeur. Par exemple, la série 5, 5, 5, 5, 5 a Q1 = Q3 = 5 et un écart interquartile de 0. Cela signifie qu’il n’y a aucune dispersion dans la moitié centrale. En pratique, c’est rare avec des données réelles, mais c’est théoriquement possible.
Comment interpréter un diagramme en boîte dont la médiane est décentrée ?
Si la médiane est plus proche de Q1 que de Q3, les valeurs sont plus concentrées dans la partie basse et plus étalées dans la partie haute. Inversement, si la médiane est plus proche de Q3, les valeurs sont concentrées dans la partie haute. On parle de distribution asymétrique. Au brevet, tu peux simplement dire que « les données ne sont pas réparties de façon symétrique ».
Le diagramme en boîte montre-t-il les valeurs individuelles ?
Non. Le diagramme en boîte est un résumé : il montre les cinq indicateurs clés mais ne permet pas de retrouver chaque valeur individuelle de la série. C’est son avantage (synthèse rapide) et sa limite (perte de détail). Pour connaître les valeurs individuelles, il faut revenir au tableau de données.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
