Tu veux calculer le volume d’une sphère sans te tromper ? Tu es au bon endroit. Cette page te donne la formule, des exemples concrets et des exercices corrigés pour tout comprendre.
Sphère et boule : quelle différence ?
Beaucoup d’élèves confondent sphère et boule. La distinction est simple.
- La sphère est une surface. C’est l’ensemble des points situés à la même distance d’un point central. Pense à la peau d’un ballon de foot : c’est creux à l’intérieur.
- La boule est un solide. Elle comprend la sphère et tout l’espace intérieur. Pense à une boule de pétanque : elle est pleine.
En langage mathématique :
- On calcule l’aire d’une sphère (sa surface).
- On calcule le volume d’une boule (son contenu).
Dans le langage courant (et dans les sujets de brevet), on dit souvent « volume d’une sphère » pour parler du volume de la boule. Les deux formulations sont acceptées.
La formule du volume d’une sphère
V = (4/3) × π × r³
La formule du volume d’une sphère (ou boule) de rayon r est :
V = 4⁄3 × π × r³
Avec :
- V = volume de la sphère (en unités cubes : cm³, m³, etc.)
- π ≈ 3,14159 (la constante pi)
- r = rayon de la sphère (la distance entre le centre et un point de la surface)
Attention aux unités : si le rayon est en centimètres, le volume sera en centimètres cubes (cm³). Si le rayon est en mètres, le volume sera en mètres cubes (m³).
D’où vient cette formule ? (démonstration simplifiée)
Archimède a découvert cette formule il y a plus de 2 000 ans. Voici une approche intuitive.
Imagine que tu découpes la sphère en une infinité de petites pyramides. Le sommet de chaque pyramide se situe au centre de la sphère. La base de chaque pyramide est un petit morceau de la surface.
- La hauteur de chaque pyramide = r (le rayon).
- La somme des bases = l’aire de la sphère = 4πr².
- Le volume d’une pyramide = 1⁄3 × base × hauteur.
Donc le volume total :
V = 1⁄3 × 4πr² × r = 4⁄3 × π × r³
La démonstration rigoureuse utilise le calcul intégral (programme de terminale/supérieur). On intègre les sections circulaires de la sphère le long d’un axe :
Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur sections de solides.
V = ∫-rr π(r² – x²) dx = 4⁄3πr³
Comment calculer le volume d’une sphère pas à pas
La méthode est toujours la même :
- Repérer le rayon (ou le calculer à partir du diamètre).
- Calculer r³ (le cube du rayon).
- Multiplier par π.
- Multiplier par 4⁄3.
Exemple 1 : rayon connu
Énoncé : Calcule le volume d’une sphère de rayon 6 cm. Donne la valeur exacte puis une valeur approchée au dixième.
Solution :
- r = 6 cm
- r³ = 6³ = 216
- V = 4⁄3 × π × 216
- V = 864⁄3 × π
- V = 288π cm³ (valeur exacte)
- V ≈ 904,8 cm³ (valeur approchée)
Exemple 2 : diamètre donné
Énoncé : Une boule a un diamètre de 10 cm. Quel est son volume ?
Solution :
- d = 10 cm, donc r = 10 ÷ 2 = 5 cm
- r³ = 5³ = 125
- V = 4⁄3 × π × 125
- V = 500⁄3π cm³ (valeur exacte)
- V ≈ 523,6 cm³
Astuce : quand tu connais le diamètre, tu peux utiliser directement la formule V = π⁄6 × d³. Vérifie : π⁄6 × 10³ = 1000π⁄6 = 500π⁄3 ≈ 523,6 cm³. Même résultat.
Exemple 3 : problème concret (ballon et planète)
Énoncé 1 – Le ballon de basket : Un ballon de basket réglementaire a un diamètre de 24 cm. Quel volume d’air contient-il ?
Solution :
- r = 24 ÷ 2 = 12 cm
- V = 4⁄3 × π × 12³
- V = 4⁄3 × π × 1 728
- V = 2 304π
- V ≈ 7 238,2 cm³ ≈ 7,24 litres
(Rappel : 1 litre = 1 000 cm³)
Énoncé 2 – La Terre : Le rayon moyen de la Terre est d’environ 6 371 km. Quel est son volume ?
Solution :
- r = 6 371 km
- V = 4⁄3 × π × 6 371³
- 6 371³ ≈ 258,4 × 109
- V ≈ 1,083 × 1012 km³
Soit environ 1 083 milliards de km³.
La formule de l’aire d’une sphère
A = 4 × π × r²
L’aire d’une sphère mesure la surface totale qui l’entoure. La formule est :
A = 4 × π × r²
Ce point est approfondi dans notre cours sur cours sur les aires et volumes.
Avec :
- A = aire de la sphère (en unités carrées : cm², m², etc.)
- r = rayon de la sphère
Lien avec le volume : remarque que le volume 4⁄3πr³ = 1⁄3 × r × (4πr²) = 1⁄3 × r × A. Le volume est le tiers du produit du rayon par l’aire.
Exemples de calcul de l’aire
Exemple 1 : Calcule l’aire d’une sphère de rayon 5 cm.
- A = 4 × π × 5²
- A = 4 × π × 25
- A = 100π ≈ 314,2 cm²
Exemple 2 : Un globe terrestre a un diamètre de 30 cm. Quelle est la surface à peindre ?
- r = 15 cm
- A = 4 × π × 15²
- A = 4 × π × 225
- A = 900π ≈ 2 827,4 cm²
Exemple 3 : Quel est le rapport entre l’aire d’une sphère et l’aire du disque de même rayon ?
- Aire du disque = πr²
- Aire de la sphère = 4πr²
- Rapport = 4. L’aire de la sphère est exactement 4 fois l’aire du grand disque.
Volume d’une demi-sphère (calotte sphérique)
Une demi-sphère (ou hémisphère) est la moitié d’une sphère coupée par un plan passant par le centre.
Vdemi-sphère = 2⁄3 × π × r³
C’est tout simplement la moitié de 4⁄3πr³.
Exemple : Un saladier en forme de demi-sphère a un rayon de 10 cm. Quelle quantité de salade peut-il contenir ?
- V = 2⁄3 × π × 10³
- V = 2⁄3 × π × 1 000
- V = 2 000π⁄3
- V ≈ 2 094,4 cm³ ≈ 2,09 litres
Attention : une calotte sphérique (portion de sphère coupée par un plan qui ne passe pas par le centre) a une formule différente. Son volume dépend de la hauteur h de la calotte : V = πh²⁄3(3r – h).
Tableau récapitulatif : volumes des solides
Voici un tableau comparatif des formules de volume des solides les plus courants au programme de 3ème.
Pour completer, decouvre notre cours sur agrandissement et reduction.
| Solide | Formule du volume | Variables |
|---|---|---|
| Sphère (boule) | V = 4⁄3πr³ | r = rayon |
| Cube | V = c³ | c = côté |
| Pavé droit | V = L × l × h | L = longueur, l = largeur, h = hauteur |
| Cylindre | V = πr²h | r = rayon, h = hauteur |
| Cône | V = 1⁄3πr²h | r = rayon, h = hauteur |
| Pyramide | V = 1⁄3 × B × h | B = aire de la base, h = hauteur |
| Demi-sphère | V = 2⁄3πr³ | r = rayon |
Astuce pour retenir : le volume du cône est le tiers du volume du cylindre de même base et même hauteur. De la même façon, le volume de la sphère de rayon r égale les 2⁄3 du volume du cylindre qui la contient pile (diamètre = 2r, hauteur = 2r). C’est Archimède qui a prouvé ce résultat.
Exercices corrigés (5 exercices brevet)
Exercice 1 – Calcul direct
Énoncé : Calcule le volume d’une sphère de rayon 3 cm. Donne la valeur exacte et une valeur approchée au dixième.
Voir la correction
- V = 4⁄3 × π × 3³
- V = 4⁄3 × π × 27
- V = 108⁄3 × π
- V = 36π cm³ (valeur exacte)
- V ≈ 113,1 cm³
Exercice 2 – À partir du diamètre
Énoncé : Une bille de verre a un diamètre de 2 cm. Calcule son volume.
Voir la correction
- d = 2 cm, donc r = 1 cm
- V = 4⁄3 × π × 1³
- V = 4π⁄3 cm³ (valeur exacte)
- V ≈ 4,2 cm³
Exercice 3 – Trouver le rayon à partir du volume
Énoncé : Une boule a un volume de 972π cm³. Quel est son rayon ?
Voir la correction
- On pose : 4⁄3πr³ = 972π
- On simplifie par π : 4⁄3r³ = 972
- r³ = 972 × 3⁄4 = 729
- r = √3(729)
- r = 9 cm
Vérification : 4⁄3 × π × 9³ = 4⁄3 × π × 729 = 972π. C’est correct.
Exercice 4 – Comparaison de volumes
Énoncé : Un réservoir cylindrique a un rayon de 5 cm et une hauteur de 20 cm. Combien de billes de rayon 1 cm peut-on y ranger (en théorie, sans tenir compte des espaces vides) ?
Voir la correction
- Volume du cylindre : Vcyl = π × 5² × 20 = 500π cm³
- Volume d’une bille : Vbille = 4⁄3 × π × 1³ = 4π⁄3 cm³
- Nombre de billes = 500π⁄(4π⁄3) = 500 × 3⁄4 = 375
- On peut ranger 375 billes (en théorie).
Exercice 5 – Problème brevet (aire et volume)
Énoncé : Une sphère a une aire de 400π cm².
Ce sujet est détaillé dans notre cours de géométrie spatiale.
- Détermine son rayon.
- Calcule son volume. Donne la valeur exacte.
Voir la correction
1. Trouver le rayon :
- A = 4πr² = 400π
- 4r² = 400
- r² = 100
- r = 10 cm
2. Calculer le volume :
- V = 4⁄3 × π × 10³
- V = 4⁄3 × π × 1 000
- V = 4 000π⁄3 cm³
- V ≈ 4 188,8 cm³
FAQ – Volume d’une sphère
Quelle est la formule du volume d’une sphère ?
La formule est V = 4⁄3 × π × r³, où r est le rayon de la sphère. Pour l’utiliser, il suffit de connaître le rayon et de l’élever au cube, puis de multiplier par π et par 4⁄3.
Comment calculer le volume d’une sphère avec le diamètre ?
Divise le diamètre par 2 pour obtenir le rayon, puis applique la formule. Tu peux aussi utiliser directement V = π⁄6 × d³. Exemple : pour un diamètre de 8 cm, V = π⁄6 × 512 ≈ 268,1 cm³.
Quelle est la différence entre le volume d’une sphère et le volume d’une boule ?
La sphère est une surface (creuse) et la boule est un solide (plein). Le « volume d’une sphère » désigne le volume enfermé par la sphère, c’est-à-dire le volume de la boule. Les deux expressions désignent le même calcul : V = 4⁄3πr³.
Comment trouver le rayon d’une sphère à partir de son volume ?
Isole r dans la formule : r = √3(3V⁄4π). Divise le volume par π, multiplie par 3⁄4, puis prends la racine cubique. Exemple : si V = 288π, alors r³ = 216, donc r = 6.
Quel est le volume d’une sphère de rayon 1 ?
V = 4⁄3π × 1³ = 4π⁄3 ≈ 4,189. C’est la sphère unité. Son volume est un peu plus de 4 unités cubes. Pour comparaison, le cube de côté 2 qui l’entoure a un volume de 8. La sphère occupe donc environ 52,4 % du cube.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
