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Comment reconnaître un triangle rectangle? Un triangle est rectangle si ses côtés forment un angle droit, soit de 90°. Apprends à le prouver grâce au théorème de Pythagore et ses applications pratiques !
Qu’est-ce qu’un triangle rectangle ?
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle de 90 degrés, autrement dit un angle droit. Dans ce type de triangle, les deux côtés formant cet angle droit sont appelés les côtés perpendiculaires ou côtés de l’angle droit. Le troisième côté, qui est opposé à l’angle droit, est connu sous le nom de l’hypoténuse. Cette configuration est fondamentale en géométrie car elle nous permet de découvrir de nombreuses propriétés mathématiques.
Théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore est l’une des propriétés les plus célèbres associées aux triangles rectangles. Il stipule que, si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Autrement dit, si le triangle a pour côtés a, b et c (où c est l’hypoténuse), alors :
c² = a² + b²
📘 Exemple : Prenons un triangle rectangle ABC avec le côté AB de 3 cm, BC de 4 cm et l’hypoténuse AC. En appliquant le théorème de Pythagore, nous obtenons :
AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
Donc, AC = √25 = 5 cm.
Utilisation de la réciproque du théorème de Pythagore
Sachant que le théorème de Pythagore permet de vérifier si un triangle est rectangle, sa réciproque est tout aussi puissante. Elle nous dit que si, dans un triangle, le carré de la longueur d’un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
📘 Exemple : Dans un triangle DEF, si DE = 6 cm, EF = 8 cm et DF = 10 cm, et que tu trouves que DF² = DE² + EF² (c’est-à-dire 100 = 36 + 64), alors DEF est bien un triangle rectangle !
🔍 Une astuce intéressante est de savoir qu’un triangle rectangle est inscrit dans un cercle lorsque son hypoténuse est le diamètre de ce cercle. Cela signifie que, si un des côtés d’un triangle est le diamètre d’un cercle et que son troisième sommet est sur ce cercle, le triangle est rectangle. Tu peux vérifier cela en utilisant un compas et une règle.
Propriétés des angles dans un triangle rectangle
Au-delà de l’angle droit, le triangle rectangle a des propriétés intéressantes concernant ses angles aigus. En effet, la sommes des mesures de ces angles aigus est toujours de 90 degrés. Cela s’explique par le fait que la somme des angles dans un triangle est de 180 degrés, et qu’un des angles est déjà à 90 degrés.
Ainsi, si un angle est de 30 degrés, l’autre sera automatiquement de 60 degrés.
Pour approfondir encore plus tes connaissances sur les triangles rectangles, visite ce site qui est une excellente ressource pour apprendre davantage de concepts mathématiques et solutions d’exercices.
Exercices de maths
Voici quelques exercices pour que tu puisses t’entraîner et renforcer tes compétences en géométrie et mathématiques !
Identifie un triangle rectangle grâce au théorème de Pythagore
Énoncé de l’exercice
Un triangle a pour côtés : 5 cm, 12 cm et 13 cm. 🧐 Grâce au théorème de Pythagore, détermine si ce triangle est rectangle. N’oublie pas que dans un triangle rectangle, le plus grand côté est l’hypoténuse !
Instructions
- 🔍 Vérifie si le carré de la longueur du plus long côté (13 cm) est égal à la somme des carrés des autres côtés (5 cm et 12 cm).
- 📏 Utilise la formule de Pythagore : a² + b² = c² pour les calculs.
- 🧮 Compare les résultats pour conclure si ce triangle est rectangle ou non.
- 💡 Écris ta réponse en indiquant clairement si le triangle est rectangle.
Correction
📝 Pour déterminer si le triangle est rectangle, nous devons utiliser le théorème de Pythagore, qui stipule que pour un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
🔢 Calculons d’abord le carré des longueurs de chaque côté :
- 5 cm : (5^2 = 25)
- 12 cm : (12^2 = 144)
- 13 cm (hypoténuse supposée) : (13^2 = 169)
➕ En appliquant le théorème de Pythagore, nous devons vérifier si (25 + 144) (les carrés des deux plus petits côtés) est égal à (169) (carré du plus grand côté) :
(25 + 144 = 169)
🎉 🤔 Puisque (169 = 169), la condition du théorème de Pythagore est satisfaite ! Le triangle EST rectangle. ✅
Conclusion : Le triangle avec les côtés 5 cm, 12 cm, et 13 cm est un triangle rectangle !
Vérification du triangle rectangle et cercle circonscrit
Énoncé de l’exercice
Considère un triangle ABC inscrit dans un cercle de centre O. Le point B est sur le diamètre AC de ce cercle. 🤔 Montre qu’il s’agit d’un triangle rectangle ! 🌟 (Rappelle-toi que dans un cercle, un angle inscrit dans un demi-cercle est droit!)
Instructions
- 🔍 Identifie les caractéristiques du triangle ABC à partir de la configuration donnée.
- 📐 Utilise la propriété du cercle pour déterminer si le triangle est rectangle. (Souviens-toi de l’angle inscrit qui vaut 90°)
- 📝 Rédige un raisonnement pour démontrer que le triangle ABC est effectivement un triangle rectangle en utilisant les informations trouvées.
Correction
🔍 Pour commencer, puisque le point B est sur le diamètre AC du cercle, cela signifie que le segment AC est le diamètre du cercle.
📐 D’après la propriété du cercle, tout angle inscrit qui intercepte un demi-cercle est un angle droit. Dans notre configuration, l’angle inscrit ABC intercepte le demi-cercle dont AC est le diamètre.
📝 Par conséquent, l’angle ABC étant inscrit dans le demi-cercle est nécessairement droit, ce qui signifie que le triangle ABC est un triangle rectangle en B.
🌟 Réponse finale : Le triangle ABC est bien un triangle rectangle en B.
Exercice : Identification d’un triangle rectangle
Énoncé de l’exercice
Dans un triangle ABC, nous avons les longueurs suivantes : AB = 5 cm, BC = 12 cm, et AC = 13 cm. Utilise le théorème de Pythagore pour déterminer si le triangle ABC est un triangle rectangle. Astuce : Identifie l’hypoténuse en repérant le plus grand côté 🧐.
Instructions
- 🔍 Identifie l’hypoténuse du triangle en trouvant le plus grand côté.
- 📏 Vérifie si le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
- 🧮 Conclue en déterminant si ABC est un triangle rectangle à partir des calculs précédents.
Correction
🔍 Pour commencer, identifions l’hypoténuse. Le côté le plus long est AC = 13 cm. Nous considérons donc que AC est l’hypoténuse.
📏 Ensuite, appliquons le théorème de Pythagore : Le carré de l’hypoténuse (13 cm) est 169, soit AC² = 169.
🧮 Calculons la somme des carrés des deux autres côtés : AB² + BC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.
📏 ✨ Les calculs montrent que AC² (169) égale AB² + BC² (169), donc le triangle ABC est bien un triangle rectangle.
Conclusion
Comprendre les propriétés du triangle rectangle te permet de mieux appréhender d’autres concepts géométriques. Ces notions te seront utiles pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques.
En regardant le théorème de Pythagore et sa réciproque, tu obtiendras des bases solides pour démontrer la rectitude des angles d’un triangle.
Je t’encourage à continuer d’apprendre ces concepts et d’approfondir tes connaissances. Consulte les ressources supplémentaires sur cours de mathématiques pour la 4ème pour aller plus loin.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
