La proportionnalité, tu la croises tous les jours sans forcément t’en rendre compte : quand tu doubles une recette de crêpes, quand tu calcules le prix de 3 kg de pommes connaissant le prix au kilo, ou quand tu convertis des km/h en m/s. Dans ce cours, on va voir comment reconnaître une situation de proportionnalité grâce aux tableaux et aux graphiques, et comment utiliser ces outils pour résoudre des problèmes concrets.
Qu’est-ce que la proportionnalité ?
Deux grandeurs sont proportionnelles quand l’une est toujours obtenue en multipliant l’autre par un même nombre, appelé coefficient de proportionnalité. Si tu achètes des pommes à 2,50 € le kilo, le prix est proportionnel à la masse : 1 kg → 2,50 €, 2 kg → 5 €, 3 kg → 7,50 €. Le coefficient, c’est 2,50.
Deux grandeurs sont proportionnelles si on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre.
Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité.
Si y = k × x (avec k constant), alors y est proportionnel à x, et k est le coefficient de proportionnalité.
Attention : proportionnalité ne veut pas dire « ça augmente en même temps ». La taille d’un enfant augmente avec son âge, mais pas de façon proportionnelle (un bébé ne grandit pas au même rythme qu’un ado). Pour qu’il y ait proportionnalité, il faut que le rapport reste constant.
Le tableau de proportionnalité
Le tableau est l’outil de base pour organiser les données et vérifier s’il y a proportionnalité. Voici un exemple avec le prix de l’essence.
| Volume (L) | 5 | 10 | 15 | 25 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 9 | 18 | 27 | 45 |
Vérification : 9 ÷ 5 = 1,8 | 18 ÷ 10 = 1,8 | 27 ÷ 15 = 1,8 | 45 ÷ 25 = 1,8
Le rapport prix/volume est toujours 1,8. C’est un tableau de proportionnalité, et le coefficient est 1,80 €/L.
1. Calcule le rapport entre les deux grandeurs pour chaque colonne
2. Si tous les rapports sont égaux → proportionnalité (le rapport constant est le coefficient)
3. Si au moins un rapport est différent → pas de proportionnalité
Voici un contre-exemple. L’âge et la taille d’un enfant :
| Âge (ans) | 2 | 5 | 10 | 15 |
|---|---|---|---|---|
| Taille (cm) | 86 | 110 | 140 | 168 |
Rapports : 86/2 = 43 | 110/5 = 22 | 140/10 = 14 | 168/15 = 11,2
Les rapports sont tous différents : ce n’est pas un tableau de proportionnalité.
Certains élèves vérifient seulement deux colonnes et concluent. Il faut vérifier toutes les colonnes du tableau. Un seul rapport différent suffit à prouver qu’il n’y a pas proportionnalité.
Pour compléter un tableau de proportionnalité, tu peux utiliser le produit en croix, une technique très efficace quand tu connais trois valeurs sur quatre.
Reconnaître la proportionnalité sur un graphique
Le graphique est un autre moyen très visuel pour repérer (ou exclure) la proportionnalité.
Deux grandeurs sont proportionnelles si et seulement si leur représentation graphique est une droite passant par l’origine (le point de coordonnées (0 ; 0)).
Les deux conditions sont indispensables :
• C’est une droite (pas une courbe)
• Elle passe par l’origine (0 ; 0)
Pourquoi l’origine ? Parce que si une grandeur vaut 0, l’autre doit aussi valoir 0 (0 litre d’essence coûte 0 €, 0 km parcouru prend 0 heure). Si la droite ne passe pas par l’origine, c’est qu’il y a un « coût fixe » ou un « décalage », et la relation n’est plus proportionnelle.
Quand tu places tes points et qu’ils ont l’air alignés, utilise une règle pour vérifier. L’œil peut être trompé, surtout si les échelles des axes sont différentes. Et n’oublie pas de vérifier le passage par l’origine — c’est le piège classique des contrôles.
Exemple 1 — proportionnalité. Un robinet remplit une piscine. Après 1h : 300 L, 2h : 600 L, 3h : 900 L, 4h : 1200 L. Les points (1;300), (2;600), (3;900), (4;1200) sont alignés et la droite passe par (0;0). C’est proportionnel, le débit est de 300 L/h.
Exemple 2 — pas de proportionnalité. Un taxi facture 3 € de prise en charge + 1,50 €/km. Après 0 km : 3 €, 1 km : 4,50 €, 2 km : 6 €. Les points sont alignés, mais la droite ne passe pas par l’origine (à 0 km, le prix est 3 €, pas 0 €). Ce n’est pas proportionnel.
« Les points sont alignés, donc c’est proportionnel. » Non ! Il faut que la droite passe par l’origine. Une droite qui ne passe pas par (0;0) correspond à une fonction affine (y = ax + b avec b ≠ 0), pas à une situation de proportionnalité.
Le coefficient de proportionnalité et ses utilisations
Une fois que tu as identifié une situation de proportionnalité, le coefficient te permet de faire tous les calculs. Mais attention à bien le calculer dans le bon sens.
| Sens | Calcul | Exemple (5 L → 9 €) |
|---|---|---|
| De x vers y | k = y ÷ x | 9 ÷ 5 = 1,8 |
| De y vers x | k’ = x ÷ y = 1/k | 5 ÷ 9 ≈ 0,556 |
Le coefficient dépend du sens de lecture. Précise toujours dans quel sens tu le calcules.
Application. Un plan est à l’échelle 1/500. Sur le plan, un mur mesure 4,6 cm. En réalité : 4,6 × 500 = 2 300 cm = 23 m. L’échelle d’un plan, c’est un coefficient de proportionnalité entre les distances sur le plan et les distances réelles.
Le coefficient de proportionnalité intervient aussi quand tu travailles sur les pourcentages, puisqu’un pourcentage revient à une proportionnalité dont le total vaut 100.
Propriétés du tableau de proportionnalité
Dans un tableau de proportionnalité, tu peux utiliser plusieurs propriétés pour compléter des cases sans forcément passer par le coefficient.
1. Multiplication d’une colonne par un nombre
Si tu multiplies les deux valeurs d’une colonne par le même nombre, tu obtiens une nouvelle colonne valide.
Exemple : si 3 kg coûtent 6 €, alors 9 kg coûtent 18 € (×3 sur les deux lignes).
2. Addition de deux colonnes
Tu peux additionner deux colonnes pour en former une troisième.
Exemple : si 2 kg → 4 € et 5 kg → 10 €, alors 7 kg → 14 €.
3. Passage par l’unité
Trouve d’abord la valeur pour 1 unité, puis multiplie.
Exemple : 4 kg → 7,20 € → 1 kg → 1,80 € → 6 kg → 10,80 €.
C’est souvent la méthode la plus simple et la plus claire. Elle fonctionne à chaque fois et t’évite de manipuler des fractions compliquées. Au brevet, les correcteurs apprécient cette méthode parce qu’elle montre que tu comprends bien le raisonnement.
Ces propriétés sont directement liées à la réduction d’expressions littérales. Quand tu écris y = 1,8x, tu peux remplacer x par n’importe quelle valeur et retrouver y. C’est exactement le principe du tableau de proportionnalité traduit en algèbre.
Construire et lire un graphique de proportionnalité
Pour tracer le graphique d’une situation proportionnelle, voici les étapes.
1. Choisis des échelles adaptées pour les deux axes
2. Place les points correspondant aux données du tableau
3. Vérifie que les points sont alignés avec l’origine
4. Trace la droite à la règle en passant par l’origine et par les points
5. Légende les axes (grandeur + unité)
Lire un graphique. Tu peux aussi utiliser le graphique pour lire des valeurs. Par exemple, si tu sais qu’un trajet de 60 km prend 45 min, la droite de proportionnalité te permet de lire directement combien de temps met un trajet de 80 km (60 min) ou de 40 km (30 min). C’est une lecture graphique : tu repères l’abscisse, tu montes jusqu’à la droite, et tu lis l’ordonnée correspondante.
Ce type de lecture graphique te servira beaucoup quand tu étudieras la vitesse moyenne, qui est un cas typique de proportionnalité entre distance et temps.
Exercices corrigés
Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ? Justifie.
| Nombre de cahiers | 2 | 5 | 8 | 12 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 3,40 | 8,50 | 13,60 | 20,40 |
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Calculons les rapports prix/nombre :
3,40 ÷ 2 = 1,70
8,50 ÷ 5 = 1,70
13,60 ÷ 8 = 1,70
20,40 ÷ 12 = 1,70
Tous les rapports sont égaux à 1,70. Oui, c’est un tableau de proportionnalité. Le coefficient est 1,70 (chaque cahier coûte 1,70 €).
Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ?
| Durée (h) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Température (°C) | 5 | 8 | 11 | 14 |
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Rapports : 5/1 = 5 | 8/2 = 4 | 11/3 ≈ 3,67 | 14/4 = 3,5
Les rapports sont différents. Non, ce n’est pas un tableau de proportionnalité.
On remarque que la température augmente de 3 °C par heure (suite arithmétique), mais ça ne suffit pas. La proportionnalité exige un rapport constant, pas une différence constante. Si on traçait le graphique, les points seraient alignés mais la droite ne passerait pas par l’origine.
Complète ce tableau de proportionnalité.
| Masse (kg) | 3 | 7 | ? | 15 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 4,50 | ? | 16,50 | ? |
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Coefficient : 4,50 ÷ 3 = 1,50 €/kg
• 7 kg → 7 × 1,50 = 10,50 €
• 16,50 ÷ 1,50 = 11 kg
• 15 kg → 15 × 1,50 = 22,50 €
On a relevé la distance parcourue par une voiture en fonction du temps.
| Temps (h) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Distance (km) | 0 | 90 | 180 | 270 |
a) Est-ce un tableau de proportionnalité ?
b) Si on traçait le graphique, quelle allure aurait-il ?
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a) Rapports : 90/1 = 90 | 180/2 = 90 | 270/3 = 90. Oui, c’est un tableau de proportionnalité (coefficient 90 km/h).
b) Le graphique serait une droite passant par l’origine. Les points (0;0), (1;90), (2;180), (3;270) sont parfaitement alignés sur une droite qui passe par (0;0).
Un forfait téléphonique coûte 10 € par mois + 0,05 € par SMS envoyé. Ce tarif est-il proportionnel au nombre de SMS ? Justifie avec un tableau.
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| SMS | 0 | 50 | 100 | 200 |
|---|---|---|---|---|
| Coût (€) | 10 | 12,50 | 15 | 20 |
Rapports : 10/0 impossible | 12,50/50 = 0,25 | 15/100 = 0,15 | 20/200 = 0,10
Non, ce n’est pas proportionnel. Le coût fixe de 10 € fait que le rapport n’est pas constant. Sur un graphique, les points seraient alignés (c’est une fonction affine y = 0,05x + 10), mais la droite ne passerait pas par l’origine.
Une recette de gâteau pour 4 personnes utilise 300 g de farine, 200 g de sucre et 3 œufs. Calcule les quantités pour 10 personnes.
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On passe de 4 à 10 personnes. Le coefficient multiplicateur est 10 ÷ 4 = 2,5.
• Farine : 300 × 2,5 = 750 g
• Sucre : 200 × 2,5 = 500 g
• Œufs : 3 × 2,5 = 7,5 → 8 œufs (on arrondit, on ne peut pas couper un œuf en deux pour une recette !)
Sur un plan à l’échelle 1/200, un salon mesure 3,5 cm de long et 2,8 cm de large. Quelles sont les dimensions réelles du salon en mètres ?
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Échelle 1/200 signifie : 1 cm sur le plan = 200 cm en réalité = 2 m.
• Longueur : 3,5 × 200 = 700 cm = 7 m
• Largeur : 2,8 × 200 = 560 cm = 5,6 m
Le salon fait 7 m × 5,6 m.
Trois amis comparent les prix de l’essence dans différentes stations. Théo a payé 27 € pour 15 L, Léa a payé 36 € pour 20 L, et Hugo a payé 31,50 € pour 18 L. Qui a payé le moins cher par litre ?
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Prix au litre (passage par l’unité) :
• Théo : 27 ÷ 15 = 1,80 €/L
• Léa : 36 ÷ 20 = 1,80 €/L
• Hugo : 31,50 ÷ 18 = 1,75 €/L
Hugo a payé le moins cher par litre (1,75 €/L). Théo et Léa ont payé le même prix au litre (1,80 €/L).
Les points suivants sont-ils sur une droite passant par l’origine ? A(2 ; 6), B(4 ; 12), C(5 ; 16), D(7 ; 21).
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Vérifions les rapports y/x :
• A : 6/2 = 3
• B : 12/4 = 3
• C : 16/5 = 3,2
• D : 21/7 = 3
Le point C a un rapport différent (3,2 au lieu de 3). Les quatre points ne sont pas tous sur une même droite passant par l’origine. Les points A, B et D sont sur la droite y = 3x, mais pas C.
Un agriculteur constate que 2 hectares de blé produisent 14 tonnes de grains. En supposant la proportionnalité, combien de tonnes produiront 5,5 hectares ?
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Méthode par le coefficient :
Coefficient : 14 ÷ 2 = 7 tonnes/hectare
Pour 5,5 hectares : 5,5 × 7 = 38,5 tonnes
Méthode par le passage par l’unité :
1 hectare → 7 tonnes
5,5 hectares → 5,5 × 7 = 38,5 tonnes
FAQ — Questions fréquentes
La proportionnalité, c’est y = kx (pas de terme constant). La fonction affine, c’est y = ax + b. Quand b = 0, c’est proportionnel. Quand b ≠ 0, ce ne l’est pas. Sur un graphique, les deux donnent des droites, mais seule la proportionnalité passe par l’origine.
Le passage par l’unité fonctionne-t-il toujours ?
Oui, à condition d’être dans une situation de proportionnalité. C’est la méthode la plus universelle et la plus sûre. Tu divises pour trouver la valeur de 1, puis tu multiplies pour trouver la valeur cherchée.
Peut-on additionner les colonnes d’un tableau de proportionnalité ?
Oui, c’est une propriété fondamentale. Si (3 ; 6) et (5 ; 10) sont deux colonnes d’un tableau de proportionnalité, alors (8 ; 16) en est une aussi (3+5 ; 6+10). C’est ce qu’on appelle la propriété de linéarité.
Pourquoi le graphique doit passer par l’origine ?
Parce que si une grandeur vaut 0, l’autre doit aussi valoir 0 dans une situation proportionnelle. 0 × k = 0. C’est la conséquence directe de la formule y = kx.
Quelle est la différence entre coefficient de proportionnalité et produit en croix ?
Le coefficient, c’est le nombre par lequel tu multiplies pour passer d’une grandeur à l’autre. Le produit en croix, c’est une technique de calcul qui utilise l’égalité des rapports pour trouver une valeur manquante. Les deux reposent sur le même principe mathématique.
La proportionnalité tombe-t-elle au brevet ?
Presque chaque année, sous diverses formes : tableaux à compléter, graphiques à lire ou à tracer, problèmes de la vie courante (recettes, échelles, vitesses, prix). Maîtrise bien les deux critères (rapport constant dans un tableau, droite par l’origine sur un graphique).
Tu as maintenant tous les outils pour reconnaître et utiliser la proportionnalité, que ce soit avec un tableau ou un graphique. La clé, c’est toujours la même : vérifier que le rapport est constant, ou que la droite passe par l’origine. Entraîne-toi avec les exercices ci-dessus, et pour aller plus loin, consulte le cours sur la proportionnalité vue en 6ème si tu as besoin de revoir les bases, ou le cours sur le produit en croix pour la technique de calcul la plus utilisée au brevet.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
