Le théorème des milieux est un outil central du programme de géométrie en 4eme. Il te permet de relier les milieux des cotes d’un triangle pour en deduire des longueurs et des parallelismes. C’est un cas particulier du théorème de Thales, et tu l’utiliseras souvent pour tes démonstrations. Ce cours te presente l’enonce direct, la réciproque, le lien avec Thales, la méthode pour calculer une longueur ou demontrer un parallelisme, la redaction type d’une démonstration, les erreurs a eviter et des exercices corriges.
L’enonce du théorème des milieux
A retenir
Théorème des milieux (sens direct) :
Dans un triangle, si un segment joint les milieux de deux cotes, alors :
- Ce segment est parallèle au troisieme cote.
- Sa longueur est egale a la moitie de la longueur du troisieme cote.
Autrement dit : si M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC] dans le triangle ABC, alors (MN) // (BC) et MN = BC / 2.
Ce que dit le théorème en langage simple
Prends un triangle. Marque le milieu de deux de ses cotes. Relie ces deux milieux par un segment. Ce segment est forcement parallèle au troisieme cote, et il mesure exactement la moitie de ce troisieme cote. Pas besoin de mesurer ni de vérifier avec un rapporteur : c’est une propriété mathematique garantie.
Les hypothèses et les conclusions
| Ce qu’on sait (hypothèses) | Ce qu’on en deduit (conclusions) |
|---|---|
| M est le milieu de [AB] | (MN) // (BC) |
| N est le milieu de [AC] | MN = BC / 2 |
Tu pars de deux milieux, et tu obtiens a la fois un parallelisme et une relation de longueur. C’est un théorème tres puissant car il donne deux informations d’un coup.
La réciproque du théorème des milieux
A retenir
Réciproque du théorème des milieux :
Dans un triangle ABC, si M est le milieu de [AB] et si la droite passant par M, parallèle a (BC), coupe [AC] en un point N, alors N est le milieu de [AC].
Autrement dit : si on trace par le milieu d’un cote une parallèle au cote oppose, elle coupe le troisieme cote en son milieu.
A quoi sert la réciproque ?
La réciproque te permet de demontrer qu’un point est un milieu. Tu connais un milieu et un parallelisme, et tu en deduis que l’autre point est aussi un milieu. C’est le chemin inverse du théorème direct.
Quand utiliser le théorème direct, quand utiliser la réciproque ?
| Situation | Outil a utiliser |
|---|---|
| Tu connais deux milieux et tu veux montrer un parallelisme ou calculer une longueur | Théorème direct |
| Tu connais un milieu et un parallelisme et tu veux montrer qu’un point est un milieu | Réciproque |
Lien avec le théorème de Thales
Le théorème des milieux est un cas particulier du théorème de Thales. Voici pourquoi.
Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur théorème de Thales en 4eme.
Dans le triangle ABC, si M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC], alors :
AM / AB = AN / AC = 1/2
C’est exactement la configuration de Thales avec un rapport egal a 1/2. Le théorème de Thales te donne alors (MN) // (BC) et MN / BC = 1/2, soit MN = BC / 2.
Astuce
Si le rapport est exactement 1/2 (les points sont des milieux), utilise le théorème des milieux plutot que Thales : c’est plus direct et la redaction est plus courte. Si le rapport est different de 1/2, utilise Thales.
Ce que Thales apporte en plus
Le théorème de Thales est plus général : il fonctionne avec n’importe quel rapport (pas seulement 1/2). Le théorème des milieux est plus simple a enoncer et a utiliser, mais il ne couvre que le cas ou les points sont des milieux. En 4eme, tu commences par le théorème des milieux. En 3eme, tu passes au théorème de Thales complet.
Calculer une longueur
Le théorème des milieux te permet de calculer la longueur du segment qui joint les milieux, ou inversement la longueur du troisieme cote.
Si tu connais le troisieme cote
M milieu de [AB], N milieu de [AC] dans le triangle ABC. Tu connais BC = 10 cm. Alors MN = BC / 2 = 10 / 2 = 5 cm.
Si tu connais le segment des milieux
M milieu de [AB], N milieu de [AC] dans le triangle ABC. Tu connais MN = 3,5 cm. Alors BC = 2 × MN = 2 × 3,5 = 7 cm.
A retenir
Si MN joint les milieux de deux cotes d’un triangle et BC est le troisieme cote :
MN = BC / 2 (le segment des milieux vaut la moitie du troisieme cote)
BC = 2 × MN (le troisieme cote vaut le double du segment des milieux)
Exemple complet
Dans le triangle DEF, I est le milieu de [DE] et J est le milieu de [DF]. On sait que EF = 9,6 cm. Calcule IJ.
I est le milieu de [DE] et J est le milieu de [DF]. D’apres le théorème des milieux applique au triangle DEF, IJ = EF / 2 = 9,6 / 2 = 4,8 cm.
Demontrer un parallelisme
Le théorème des milieux (sens direct) est un outil precieux pour montrer que deux droites sont parallèles.
La demarche
- Identifie le triangle dans lequel tu travailles.
- Vérifié que les deux points sont bien les milieux de deux cotes de ce triangle.
- Applique le théorème des milieux : la droite passant par ces deux milieux est parallèle au troisieme cote.
Exemple
Dans le triangle ABC, M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC]. Demontrer que (MN) // (BC).
Ce point est approfondi dans notre cours sur propriétés du triangle rectangle.
Démonstration : Dans le triangle ABC, M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC]. D’apres le théorème des milieux, la droite (MN) est parallèle a la droite (BC).
Astuce
Si l’enonce te donne des longueurs qui te permettent de vérifier que les points sont des milieux (par exemple AM = MB), commence par le dire explicitement : « AM = MB = 4 cm, donc M est le milieu de [AB]. » Cela justifie proprement l’utilisation du théorème.
Rediger une démonstration
En 4eme, on te demande de rediger des démonstrations propres et completes. Voici la structure a respecter.
Schéma de redaction pour le théorème direct
- Nommer le triangle et les points. « Dans le triangle ABC, M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC]. »
- Justifier les milieux. Si ce n’est pas donne directement, montre pourquoi M et N sont des milieux (par exemple AM = MB).
- Enoncer le théorème. « D’apres le théorème des milieux, (MN) // (BC) et MN = BC / 2. »
- Calculer si nécessaire. Remplace par les valeurs numeriques.
- Conclure. Reponds precisement a la question posee.
Schéma de redaction pour la réciproque
- Nommer le triangle et les points. « Dans le triangle ABC, M est le milieu de [AB]. »
- Citer le parallelisme. « La droite (MN) est parallèle a (BC). »
- Enoncer la réciproque. « D’apres la réciproque du théorème des milieux, puisque M est le milieu de [AB] et (MN) // (BC), alors N est le milieu de [AC]. »
- Conclure.
Exemple de redaction complete
« Dans le triangle PQR, S est le milieu de [PQ] (car PS = SQ = 5 cm) et T est le milieu de [PR] (car PT = TR = 7 cm).
D’apres le théorème des milieux applique au triangle PQR, puisque S est le milieu de [PQ] et T est le milieu de [PR] :
(ST) est parallèle a (QR) et ST = QR / 2.
Or QR = 12 cm, donc ST = 12 / 2 = 6 cm.
Conclusion : (ST) // (QR) et ST = 6 cm. »
Pour completer, decouvre notre cours sur démonstration en géométrie.
Erreurs frequentes
️ Erreur frequente
Confondre le théorème direct et la réciproque. Le théorème direct part de deux milieux pour conclure a un parallelisme et une relation de longueur. La réciproque part d’un milieu et d’un parallelisme pour conclure qu’un point est un milieu. Si tu utilises le mauvais sens, ta démonstration est fausse.
️ Erreur frequente
Oublier de preciser le triangle. Le théorème des milieux s’applique dans un triangle. Si tu ne nommes pas le triangle, ta démonstration manque de rigueur. Ecris toujours « dans le triangle ABC… ».
️ Erreur frequente
Se tromper dans le rapport. Le segment des milieux vaut la moitie du troisieme cote, pas le double. MN = BC / 2, et non MN = 2 × BC. Pour retrouver BC a partir de MN, la c’est BC = 2 × MN.
️ Erreur frequente
Appliquer le théorème a un segment qui ne joint pas les milieux de deux cotes. Le théorème ne marche que si les deux points sont les milieux de deux cotes du meme triangle. Si M est le milieu de [AB] mais N n’est pas le milieu de [AC], tu ne peux pas appliquer le théorème des milieux.
️ Erreur frequente
Ne pas justifier que les points sont des milieux. Si l’enonce te donne AM = 5 cm et AB = 10 cm, tu dois ecrire « AM = AB / 2, donc M est le milieu de [AB] » avant d’appliquer le théorème. Ne suppose jamais qu’un point est un milieu sans le justifier.
Exercices corriges
️ Exercice 1
Dans le triangle ABC, M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC]. On sait que BC = 8,4 cm. Calcule MN.
Voir la correction
Dans le triangle ABC, M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC]. D’apres le théorème des milieux :
MN = BC / 2 = 8,4 / 2 = 4,2 cm.
Donc MN = 4,2 cm.
️ Exercice 2
Dans le triangle DEF, I est le milieu de [DE] et J est le milieu de [DF]. On sait que IJ = 5,3 cm. Calcule EF.
Voir la correction
Dans le triangle DEF, I est le milieu de [DE] et J est le milieu de [DF]. D’apres le théorème des milieux :
IJ = EF / 2, donc EF = 2 × IJ = 2 × 5,3 = 10,6 cm.
Donc EF = 10,6 cm.
️ Exercice 3
Dans le triangle GHI, K est le milieu de [GH] et la droite (KL) est parallèle a (HI). La droite (KL) coupe [GI] en L. Montre que L est le milieu de [GI].
Voir la correction
Dans le triangle GHI, K est le milieu de [GH] et la droite passant par K, parallèle a (HI), coupe [GI] en L.
D’apres la réciproque du théorème des milieux, puisque K est le milieu de [GH] et (KL) // (HI), alors L est le milieu de [GI].
️ Exercice 4
Dans le triangle PQR, on donne PQ = 14 cm, PR = 18 cm et QR = 11 cm. S est le milieu de [PQ] et T est le milieu de [PR]. Calcule ST, PS et PT, puis montre que (ST) // (QR).
Voir la correction
S est le milieu de [PQ], donc PS = PQ / 2 = 14 / 2 = 7 cm.
T est le milieu de [PR], donc PT = PR / 2 = 18 / 2 = 9 cm.
Dans le triangle PQR, S est le milieu de [PQ] et T est le milieu de [PR]. D’apres le théorème des milieux :
(ST) // (QR) et ST = QR / 2 = 11 / 2 = 5,5 cm.
Ce sujet est détaillé dans notre cours sur les agrandissements.
Donc PS = 7 cm, PT = 9 cm, ST = 5,5 cm et (ST) // (QR).
️ Exercice 5
ABCD est un parallelogramme. E est le milieu de [AB] et F est le milieu de [CD]. Le segment [AC] est une diagonale. La droite (EF) coupe [AC] en un point G. Montre que G est le milieu de [AC].
Voir la correction
Dans le triangle ABC, E est le milieu de [AB]. Puisque ABCD est un parallelogramme, (AB) // (CD) donc (EG) est parallèle a (BC) si on peut le montrer. Raisonnons autrement.
Dans le triangle ABC, E est le milieu de [AB]. La droite (EF) passe par E. Or dans le parallelogramme ABCD, F est le milieu de [CD] et (AB) // (CD), donc (EF) // (BC).
D’apres la réciproque du théorème des milieux appliquee dans le triangle ABC : E est le milieu de [AB] et la droite passant par E parallèle a (BC) coupe [AC] en G. Donc G est le milieu de [AC].
Questions frequentes
Le théorème des milieux marche-t-il dans tous les triangles ?
Oui, le théorème des milieux fonctionne dans tous les triangles, qu’ils soient rectangles, isoceles, equilateraux ou quelconques. La seule condition est que les deux points soient les milieux de deux cotes du triangle.
Peut-on appliquer le théorème des milieux dans un quadrilatere ?
Le théorème des milieux s’applique dans un triangle. Mais dans un quadrilatere, tu peux tracer une diagonale pour decomposer la figure en deux triangles, et appliquer le théorème dans chacun. Par exemple, si tu relies les milieux des cotes d’un quadrilatere quelconque, tu obtiens un parallelogramme (c’est le théorème de Varignon).
Quelle est la difference entre le théorème des milieux et Thales ?
Le théorème des milieux est un cas particulier de Thales ou le rapport vaut exactement 1/2. Thales est plus général (il fonctionne avec n’importe quel rapport). Si les points sont des milieux, utilise le théorème des milieux, c’est plus rapide. Si les points ne sont pas des milieux, utilise Thales.
Faut-il faire un schéma dans sa copie ?
Ce n’est pas obligatoire si la figure est deja donnee, mais c’est toujours recommande. Un schéma t’aide a reperer les milieux, a visualiser les parallelismes et a eviter les erreurs. Si tu en fais un, trace-le proprement avec une regle et un compas.
Comment savoir si un point est un milieu quand l’enonce ne le dit pas directement ?
Parfois, l’enonce te donne des longueurs : par exemple AM = 6 cm et AB = 12 cm. Tu dois vérifier que AM = AB / 2 (ici 6 = 12 / 2, donc M est bien le milieu de [AB]). D’autres fois, l’enonce te dit que M est le « point tel que AM = MB » : c’est la définition du milieu. Sois attentif a ces indices dans l’enonce.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
