La démonstration est le coeur des mathematiques de 4eme. C’est l’annee ou tu passes de l’observation a la preuve : tu ne te contentes plus de mesurer ou de constater, tu dois justifier rigoureusement chaque affirmation. Savoir rediger une démonstration, c’est savoir construire un raisonnement logique en enchainant des hypothèses, des propriétés et des conclusions. Ce chapitre te donne toutes les cles pour reussir tes démonstrations en géométrie, avec les propriétés indispensables, la méthode de redaction et des exercices corriges detailles.
Les propriétés géométriques a connaitre
Pour demontrer, tu as besoin d’un arsenal de propriétés. Voici les plus utilisees en 4eme, classees par theme.
| Theme | Propriété | Ce qu’elle permet de conclure |
|---|---|---|
| Droites parallèles | Si deux droites coupees par une secante forment des angles alternes-internes egaux, alors elles sont parallèles. | Deux droites sont parallèles |
| Droites parallèles | Si deux droites sont parallèles a une meme troisieme, alors elles sont parallèles entre elles. | Deux droites sont parallèles |
| Droites parallèles | Si deux droites coupees par une secante forment des angles correspondants egaux, alors elles sont parallèles. | Deux droites sont parallèles |
| Triangle rectangle | Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l’hypotenuse est egal a la somme des carrés des deux autres cotes. | Calculer une longueur |
| Triangle rectangle | Réciproque de Pythagore : si le carré du plus grand cote est egal a la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle. | Un triangle est rectangle |
| Triangle rectangle | Contraposee de Pythagore : si le carré du plus grand cote n’est pas egal a la somme des carrés des deux autres, alors le triangle n’est pas rectangle. | Un triangle n’est pas rectangle |
| Milieux | Théorème des milieux : si une droite passe par les milieux de deux cotes d’un triangle, alors elle est parallèle au troisieme cote et sa longueur vaut la moitie de ce cote. | Parallelisme et longueur |
| Longueurs egales | Dans un parallelogramme, les cotes opposes sont de meme longueur. | Deux longueurs sont egales |
| Longueurs egales | Dans un triangle isocele, les deux cotes adjacents au sommet principal sont de meme longueur. | Deux longueurs sont egales |
| Cosinus | Dans un triangle rectangle, cos(angle) = cote adjacent / hypotenuse. | Calculer un angle ou une longueur |
Astuce
Classe les propriétés par type de conclusion : celles qui servent a prouver un parallelisme, celles qui servent a prouver qu’un triangle est rectangle, et celles qui servent a calculer des longueurs. Selon ce que te demande l’exercice, tu sauras immediatement dans quel « tiroir » chercher la propriété utile.
La structure d’une démonstration
Toute démonstration en géométrie suit une structure en trois etapes que tu dois respecter systematiquement. C’est cette structure qui donne de la rigueur a ton raisonnement et qui te rapportera des points au brevet.
A retenir
La structure d’une démonstration :
1. Hypothèse(s) : ce que tu sais (les donnees de l’enonce ou ce que tu as deja demontre).
2. Propriété : la regle mathematique que tu appliques (théorème, définition, propriété).
3. Conclusion : ce que tu en deduis.
On peut resumer par : « Je sais que… Or… Donc… »
Cette structure se repete autant de fois que nécessaire dans une démonstration. Chaque etape de raisonnement utilise les conclusions des etapes precedentes comme nouvelles hypothèses.
Par exemple, pour demontrer que le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 3 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm :
Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur démonstration en mathematiques.
Hypotheses : AB = 3, AC = 4 et BC = 5. Le plus grand cote est BC = 5.
Propriété : D’apres la réciproque du théorème de Pythagore, si le carré du plus grand cote est egal a la somme des carrés des deux autres cotes, alors le triangle est rectangle.
Calculs : BC² = 5² = 25. AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. On a BC² = AB² + AC².
Conclusion : Donc, d’apres la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
️ Erreur frequente
Ecrire le résultat sans nommer la propriété utilisee. Ecrire « BC² = AB² + AC² donc le triangle est rectangle » ne suffit pas. Tu DOIS citer la propriété : « D’apres la réciproque du théorème de Pythagore… » Sans cette citation, ta démonstration n’est pas complete et tu perds des points.
Demontrer que des droites sont parallèles
Plusieurs méthodes permettent de demontrer que deux droites sont parallèles. Le choix de la méthode depend des informations dont tu disposes dans l’enonce.
Méthode 1 : Par les angles alternes-internes
Si deux droites coupees par une secante forment des angles alternes-internes de meme mesure, alors ces droites sont parallèles.
Les angles alternes-internes sont situes de part et d’autre de la secante, entre les deux droites. Ils sont « en Z » sur la figure.
Méthode 2 : Par les angles correspondants
Si deux droites coupees par une secante forment des angles correspondants de meme mesure, alors ces droites sont parallèles.
Les angles correspondants sont situes du meme cote de la secante, l’un entre les droites et l’autre a l’exterieur. Ils sont « en F » sur la figure.
Méthode 3 : Par le théorème des milieux
Si une droite passe par les milieux de deux cotes d’un triangle, alors elle est parallèle au troisieme cote.
Méthode 4 : Par transitivite
Si deux droites sont toutes les deux parallèles a une meme troisieme droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Astuce
Pour choisir la bonne méthode, regarde les donnees de l’enonce. Si on te donne des mesures d’angles, pense aux angles alternes-internes ou correspondants. Si on te parle de milieux de cotes d’un triangle, pense au théorème des milieux. Si on te dit que deux droites sont parallèles a une troisieme, applique la transitivite.
Exemple complet avec les angles alternes-internes :
Les droites (d1) et (d2) sont coupees par la droite (d3). L’angle forme par (d1) et (d3) au point A mesure 47°. L’angle alterne-interne forme par (d2) et (d3) au point B mesure aussi 47°. Demontrer que (d1) et (d2) sont parallèles.
Hypotheses : les droites (d1) et (d2) sont coupees par (d3). Les angles alternes-internes en A et B mesurent tous les deux 47°.
Propriété : si deux droites coupees par une secante forment des angles alternes-internes egaux, alors ces deux droites sont parallèles.
Conclusion : les angles alternes-internes sont egaux (47° = 47°), donc (d1) // (d2).
Demontrer qu’un triangle est rectangle
La méthode principale pour demontrer qu’un triangle est rectangle repose sur la réciproque du théorème de Pythagore.
Ce point est approfondi dans notre cours sur cours sur Pythagore.
A retenir
Réciproque du théorème de Pythagore : si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand cote est egal a la somme des carrés des longueurs des deux autres cotes, alors ce triangle est rectangle, et l’angle droit est oppose au plus grand cote.
La demarche a suivre est toujours la meme :
- Identifie le plus grand cote du triangle.
- Calcule le carré de ce plus grand cote d’un cote.
- Calcule la somme des carrés des deux autres cotes de l’autre cote.
- Compare les deux résultats.
- Conclus en citant la réciproque du théorème de Pythagore (si egaux) ou la contraposee (si differents).
Attention : pour demontrer qu’un triangle n’est pas rectangle, tu utilises la contraposee du théorème de Pythagore. Si le carré du plus grand cote n’est pas egal a la somme des carrés des deux autres, alors le triangle n’est pas rectangle.
Autre méthode possible : si tu connais la mesure d’un angle du triangle et qu’il vaut 90°, tu peux conclure directement que le triangle est rectangle. Mais cette situation est plus rare dans les exercices de 4eme.
Demontrer que des longueurs sont egales
Plusieurs propriétés te permettent de prouver que deux longueurs sont egales.
Méthode 1 : Par le théorème de Pythagore
Si tu connais deux cotes d’un triangle rectangle, tu peux calculer le troisieme. Si ce troisieme cote a la meme valeur qu’un autre segment, tu as prouve l’egalite des longueurs.
Méthode 2 : Par les propriétés des parallelogrammes
Dans un parallelogramme, les cotes opposes ont la meme longueur et les diagonales se coupent en leur milieu. Dans un rectangle, les diagonales sont de meme longueur. Dans un losange, les quatre cotes sont de meme longueur.
Méthode 3 : Par les propriétés des triangles particuliers
Dans un triangle isocele, deux cotes sont de meme longueur. Dans un triangle équilatéral, les trois cotes sont de meme longueur. Si deux angles d’un triangle sont egaux, le triangle est isocele et les cotes opposes a ces angles sont de meme longueur.
Méthode 4 : Par le théorème des milieux
Le segment joignant les milieux de deux cotes d’un triangle a pour longueur la moitie du troisieme cote. Si deux segments sont chacun egaux a la moitie d’un meme cote, ils sont egaux entre eux.
Astuce
Quand tu dois prouver que deux longueurs sont egales, calcule-les separement et montre qu’elles ont la meme valeur. Parfois, tu n’auras pas besoin de calculer : une propriété te donnera directement l’egalite (par exemple, « cotes opposes d’un parallelogramme »). Choisis toujours la méthode la plus directe.
Modele de redaction complet
Voici un exercice entierement redige pour te servir de modele. Lis attentivement chaque etape et note comment les propriétés sont citees.
Enonce : soit ABCD un parallelogramme. Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en O. On sait que AB = 5 cm, BC = 3 cm et AC = 6 cm. Montrer que le triangle ABC est rectangle en B.
Démonstration :
Dans le triangle ABC, on connait les trois longueurs : AB = 5, BC = 3 et AC = 6.
Le plus grand cote est AC = 6.
Calculons d’une part AC² et d’autre part AB² + BC² :
AC² = 6² = 36
AB² + BC² = 5² + 3² = 25 + 9 = 34
On constate que AC² = 36 ≠ 34 = AB² + BC².
Hmm, les valeurs ne sont pas egales. Verifions l’enonce. En fait, reprenons : si AB = 5, BC = 3 et AC = 6, le triangle n’est pas rectangle. Corrigeons l’enonce pour avoir une démonstration qui fonctionne.
Pour completer, decouvre notre cours sur théorème de Thales.
Enonce corrige : soit le triangle ABC avec AB = 6 cm, BC = 8 cm et AC = 10 cm. Montrer que le triangle ABC est rectangle, puis preciser en quel sommet.
Démonstration :
Dans le triangle ABC, on connait les trois longueurs : AB = 6 cm, BC = 8 cm et AC = 10 cm.
Le plus grand cote est [AC] avec AC = 10 cm.
Calculons d’une part AC² :
AC² = 10² = 100
Calculons d’autre part AB² + BC² :
AB² + BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
On constate que AC² = AB² + BC² = 100.
D’apres la réciproque du théorème de Pythagore, si dans un triangle le carré du plus grand cote est egal a la somme des carrés des deux autres cotes, alors ce triangle est rectangle et l’angle droit est oppose au plus grand cote.
Donc le triangle ABC est rectangle en B (car B est le sommet oppose au plus grand cote [AC]).
A retenir
Modele de redaction en 5 points :
1. Nommer le triangle et rappeler les longueurs connues.
2. Identifier le plus grand cote.
3. Calculer separement les deux expressions (carré du plus grand cote d’un cote, somme des carrés des deux autres de l’autre).
4. Comparer les résultats et citer la propriété utilisee (avec son nom complet).
5. Conclure en precisant la nature du triangle et le sommet de l’angle droit.
Erreurs frequentes
️ Erreur frequente
Confondre le théorème de Pythagore et sa réciproque. Le théorème de Pythagore part d’un triangle rectangle et permet de calculer une longueur. La réciproque part de trois longueurs et permet de prouver que le triangle est rectangle. Si l’exercice te demande de prouver qu’un triangle est rectangle, c’est la réciproque qu’il faut citer, pas le théorème direct.
️ Erreur frequente
Ne pas identifier le plus grand cote avant d’appliquer Pythagore. La réciproque exige de comparer le carré du plus grand cote avec la somme des carrés des deux autres. Si tu compares dans le mauvais sens (par exemple le carré d’un petit cote avec la somme des carrés des deux autres), ton raisonnement est faux meme si le calcul est correct.
️ Erreur frequente
Utiliser la figure pour justifier. « On voit sur la figure que les droites sont parallèles » n’est pas une démonstration. Une figure peut etre trompeuse ou imprécise. Tu dois toujours utiliser des propriétés mathematiques pour justifier tes affirmations, jamais l’aspect visuel de la figure.
️ Erreur frequente
Oublier de citer le nom de la propriété. « Donc les droites sont parallèles » ne suffit pas. Tu dois ecrire « D’apres la propriété des angles alternes-internes, les droites sont parallèles » ou « D’apres le théorème des milieux, la droite est parallèle au troisieme cote. » Chaque conclusion doit etre accompagnee de la propriété qui la justifie.
Exercices corriges
Exercice 1 : Triangle rectangle
️ Exercice
Soit le triangle DEF avec DE = 7 cm, EF = 24 cm et DF = 25 cm. Le triangle DEF est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?
Voir la correction
Dans le triangle DEF, le plus grand cote est [DF] avec DF = 25 cm.
Calculons d’une part DF² : DF² = 25² = 625.
Ce sujet est détaillé dans notre cours sur le théorème des milieux.
Calculons d’autre part DE² + EF² : DE² + EF² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625.
On constate que DF² = DE² + EF² = 625.
D’apres la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEF est rectangle en E (sommet oppose au plus grand cote [DF]).
Exercice 2 : Droites parallèles par les milieux
️ Exercice
Soit le triangle RST. Le point M est le milieu de [RS] et le point N est le milieu de [RT]. Demontrer que (MN) est parallèle a (ST) et calculer MN sachant que ST = 12 cm.
Voir la correction
Hypotheses : dans le triangle RST, M est le milieu de [RS] et N est le milieu de [RT].
Propriété : d’apres le théorème des milieux, si une droite passe par les milieux de deux cotes d’un triangle, alors elle est parallèle au troisieme cote et sa longueur vaut la moitie de ce troisieme cote.
Conclusion : la droite (MN) est parallèle a la droite (ST) et MN = ST / 2 = 12 / 2 = 6 cm.
Exercice 3 : Triangle non rectangle
️ Exercice
Soit le triangle GHI avec GH = 5 cm, HI = 7 cm et GI = 9 cm. Demontrer que le triangle GHI n’est pas rectangle.
Voir la correction
Dans le triangle GHI, le plus grand cote est [GI] avec GI = 9 cm.
Calculons d’une part GI² : GI² = 9² = 81.
Calculons d’autre part GH² + HI² : GH² + HI² = 5² + 7² = 25 + 49 = 74.
On constate que GI² = 81 ≠ 74 = GH² + HI².
D’apres la contraposee du théorème de Pythagore, si le carré du plus grand cote n’est pas egal a la somme des carrés des deux autres cotes, alors le triangle n’est pas rectangle.
Donc le triangle GHI n’est pas rectangle.
Exercice 4 : Démonstration en chaine
️ Exercice
Soit le triangle ABC rectangle en A, avec AB = 6 cm et AC = 8 cm. Le point M est le milieu de [BC]. a) Calcule BC. b) Demontre que AM = 5 cm. c) Que peux-tu en deduire sur le triangle ABM ?
Voir la correction
a) Calcul de BC :
Le triangle ABC est rectangle en A. D’apres le théorème de Pythagore :
BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
Donc BC = √100 = 10 cm.
b) Démonstration que AM = 5 cm :
Dans un triangle rectangle, la médiane issue de l’angle droit a pour longueur la moitie de l’hypotenuse. Cette propriété decoule du fait que le triangle rectangle est inscrit dans un cercle de diametre egal a l’hypotenuse, et M (milieu de l’hypotenuse) est le centre de ce cercle.
Donc AM = BC / 2 = 10 / 2 = 5 cm.
c) Nature du triangle ABM :
On a AM = 5 cm et BM = BC / 2 = 5 cm (car M est le milieu de [BC]).
Donc AM = BM = 5 cm : le triangle ABM est isocele en M.
Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur triangle rectangle.
De plus, AB = 6 cm ≠ 5 cm, donc le triangle ABM n’est pas équilatéral. C’est un triangle isocele en M.
Exercice 5 : Parallelisme et angles
️ Exercice
Soit la figure ci-dessous. Les droites (AB) et (CD) sont coupees par la droite (EF). On sait que l’angle AEF = 63° et l’angle EFD = 63°. Ces deux angles sont alternes-internes. Demontrer que (AB) // (CD). Puis, sachant que (CD) // (GH), demontrer que (AB) // (GH).
Voir la correction
Première partie : demontrer que (AB) // (CD).
Hypotheses : les droites (AB) et (CD) sont coupees par la secante (EF). L’angle AEF = 63° et l’angle EFD = 63°. Ces angles sont alternes-internes.
Propriété : si deux droites coupees par une secante forment des angles alternes-internes de meme mesure, alors ces deux droites sont parallèles.
Conclusion : les angles alternes-internes AEF et EFD sont egaux (63° = 63°), donc (AB) // (CD).
Deuxieme partie : demontrer que (AB) // (GH).
Hypotheses : on a demontre que (AB) // (CD). De plus, l’enonce nous indique que (CD) // (GH).
Propriété : si deux droites sont parallèles a une meme troisieme droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Conclusion : (AB) // (CD) et (CD) // (GH), donc (AB) // (GH).
FAQ
Quelle est la difference entre un théorème et sa réciproque ?
Un théorème dit « si A alors B ». Sa réciproque dit « si B alors A ». Les deux ne sont pas automatiquement vrais en meme temps. Le théorème de Pythagore dit : « si un triangle est rectangle (A), alors le carré de l’hypotenuse egal la somme des carrés des deux autres cotes (B) ». Sa réciproque dit : « si le carré du plus grand cote egal la somme des carrés des deux autres (B), alors le triangle est rectangle (A) ». Ici, les deux sont vrais, mais ce n’est pas toujours le cas en mathematiques.
Peut-on utiliser une mesure au rapporteur comme démonstration ?
Non. Une mesure au rapporteur est une vérification experimentale, pas une démonstration. Les instruments de mesure ne sont jamais parfaitement precis, et une figure peut etre inexacte. La démonstration doit s’appuyer uniquement sur des propriétés mathematiques et des calculs. Au brevet, une « vérification a la regle » ne rapporte aucun point sur une question de démonstration.
Qu’est-ce que la contraposee ?
La contraposee d’un théorème « si A alors B » est le théorème « si non-B alors non-A ». Elle est toujours vraie quand le théorème est vrai. Pour Pythagore : le théorème dit « si rectangle, alors egalite des carrés ». La contraposee dit « si pas d’egalite des carrés, alors pas rectangle ». Tu utilises la contraposee quand tu veux montrer qu’un triangle n’est pas rectangle.
Combien de propriétés faut-il citer dans une démonstration ?
Autant qu’il y a d’etapes de raisonnement. Chaque fois que tu tires une nouvelle conclusion, tu dois citer la propriété qui te permet de le faire. Si ta démonstration comporte trois etapes (par exemple : calculer une longueur, prouver un parallelisme, en deduire une egalite de longueurs), tu cites trois propriétés differentes. Ne saute jamais une etape en considerant qu’elle est « evidente ».
Comment choisir la bonne propriété pour une démonstration ?
Pars toujours de la conclusion qu’on te demande de prouver, et remonte vers les hypothèses. Si on te demande de prouver que deux droites sont parallèles, cherche dans ton repertoire les propriétés qui concluent sur le parallelisme. Si on te demande de prouver qu’un triangle est rectangle, pense a la réciproque de Pythagore. Si on te demande de calculer une longueur, pense au théorème de Pythagore direct ou au théorème des milieux. Cette demarche « a rebours » est la plus efficace.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
