Les pyramides et les cônes sont des solides que tu croises partout : les pyramides d’Égypte, un entonnoir, un cornet de glace, un chapeau de fête, un tas de sable. En 4ème, tu dois savoir calculer leur volume, ce qui revient à une seule formule à retenir. Dans ce cours, on va décortiquer cette formule, comprendre d’où elle vient, et s’entraîner avec des exercices variés pour être prêt le jour du brevet.
Pourquoi étudier les volumes de pyramides et de cônes ?
Au collège, tu as déjà calculé le volume d’un pavé droit (longueur x largeur x hauteur) et celui d’un cylindre. La pyramide et le cône sont les versions « pointues » de ces solides. La bonne nouvelle, c’est que la formule est la même pour les deux : il suffit de diviser par 3 le volume du solide « parent ».
On retrouve ces calculs dans des situations concrètes : estimer la quantité de sable dans un tas conique, calculer le volume de béton pour une fondation pyramidale, ou même déterminer combien de glace peut contenir un cornet.
La formule du volume d’une pyramide
Une pyramide est un solide dont la base est un polygone (triangle, carré, rectangle, hexagone…) et dont les faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un même point appelé le sommet (ou apex).
V = (1/3) x Aire de la base x hauteur
Soit : V = (B x h) / 3
Avec :
– B = aire de la base (en cm², m², etc.)
– h = hauteur de la pyramide (perpendiculaire allant du sommet au plan de la base)
Pourquoi 1/3 ? Si tu prends un cube et que tu le découpes en trois pyramides identiques ayant la même base et la même hauteur, chaque pyramide occupe exactement un tiers du volume du cube. C’est une démonstration qu’on verra en détail au lycée, mais l’idée est là : la pyramide, c’est le tiers du prisme qui a la même base et la même hauteur.
Exemple. Une pyramide a une base carrée de côté 6 cm et une hauteur de 10 cm.
Aire de la base : 6 x 6 = 36 cm²
Volume : V = (36 x 10) / 3 = 360 / 3 = 120 cm³
Pour éviter les erreurs de calcul, tu peux d’abord calculer B x h, puis diviser par 3. Ou bien, si B x h est un multiple de 3, la division tombe juste. Si B x h n’est pas un multiple de 3, n’hésite pas à garder le résultat sous forme de fraction ou à arrondir proprement.
La formule du volume d’un cône
Un cône de révolution est le solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d’un de ses côtés de l’angle droit. Sa base est un disque et son sommet est un point (l’apex).
V = (1/3) x pi x r² x h
Avec :
– r = rayon de la base circulaire
– h = hauteur du cône (distance perpendiculaire du sommet au centre de la base)
– pi = 3,14159…
C’est tout simplement (1/3) x (aire du disque) x h, soit (1/3) x Aire de la base x h.
La même formule que la pyramide !
Exemple. Un cône a un rayon de base de 5 cm et une hauteur de 12 cm.
Aire de la base : pi x 5² = 25 pi cm²
Volume : V = (1/3) x 25 pi x 12 = (25 x 12 x pi) / 3 = 300 pi / 3 = 100 pi cm³
Valeur approchée : 100 x 3,14 = 314 cm³ (environ 0,314 L).
On te donne parfois le diamètre du cône. N’oublie pas de diviser par 2 pour obtenir le rayon avant de l’utiliser dans la formule. Si le diamètre est de 8 cm, le rayon est de 4 cm, et c’est 4 que tu mets au carré, pas 8.
La hauteur : attention au piège
La hauteur d’une pyramide ou d’un cône, c’est la distance perpendiculaire entre le sommet et le plan de la base. Ce n’est pas la longueur d’une arête latérale, ni la hauteur d’une face triangulaire.
| Terme | Définition | Utilisé dans la formule ? |
|---|---|---|
| Hauteur (h) | Distance perpendiculaire du sommet au plan de la base | Oui |
| Arête latérale | Segment reliant le sommet à un sommet de la base | Non |
| Apothème (pyramide) | Hauteur d’une face latérale triangulaire | Non |
| Génératrice (cône) | Segment reliant le sommet à un point du cercle de base | Non |
Quand on te donne la génératrice (ou l’arête latérale) au lieu de la hauteur, il faut utiliser le théorème de Pythagore pour retrouver la hauteur. Dans un cône, le triangle rectangle est formé par la hauteur, le rayon et la génératrice.
Si le rayon vaut r et la génératrice vaut g :
h² + r² = g²
h² = g² – r²
h = racine carrée de (g² – r²)
Exemple : r = 3 cm, g = 5 cm
h² = 25 – 9 = 16
h = 4 cm
Utiliser la génératrice (ou l’arête latérale) à la place de la hauteur dans la formule du volume. Si on te donne un cône de rayon 3 cm et de génératrice 5 cm, la hauteur n’est pas 5 cm mais 4 cm (par Pythagore). Le volume change du tout au tout :
Avec h = 5 (faux) : V = (1/3) x pi x 9 x 5 = 15 pi = 47,1 cm³
Avec h = 4 (correct) : V = (1/3) x pi x 9 x 4 = 12 pi = 37,7 cm³
Les différentes bases possibles
La formule du volume de la pyramide fonctionne quelle que soit la forme de la base. Il faut juste savoir calculer l’aire de cette base.
| Base | Formule de l’aire | Exemple |
|---|---|---|
| Carré (côté a) | B = a² | a = 5 cm, B = 25 cm² |
| Rectangle (L x l) | B = L x l | 8 x 4 = 32 cm² |
| Triangle (base b, hauteur h) | B = (b x h) / 2 | (6 x 4) / 2 = 12 cm² |
| Hexagone régulier (côté a) | B = (3 x racine(3) x a²) / 2 | Formule donnée dans l’énoncé |
| Disque (rayon r) | B = pi x r² | r = 3, B = 9 pi cm² |
Pour les pyramides à base triangulaire (tétraèdres), tu dois bien identifier quel triangle est la base et quel sommet est l’apex. C’est souvent précisé dans l’énoncé, mais si ça ne l’est pas, tu peux choisir n’importe quelle face comme base — le volume sera le même.
Exercices corrigés
Calcule le volume d’une pyramide à base carrée de côté 8 cm et de hauteur 15 cm.
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Aire de la base : 8 x 8 = 64 cm²
Volume : V = (64 x 15) / 3 = 960 / 3 = 320 cm³
Calcule le volume d’un cône de rayon 6 cm et de hauteur 9 cm. Donne le résultat exact puis une valeur approchée.
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V = (1/3) x pi x 6² x 9
V = (1/3) x pi x 36 x 9
V = (1/3) x 324 pi
V = 108 pi cm³ (valeur exacte)
V = 108 x 3,14159 = 339,3 cm³ (valeur approchée)
Une pyramide a une base rectangulaire de 12 cm sur 5 cm et une hauteur de 8 cm. Quel est son volume ?
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Aire de la base : 12 x 5 = 60 cm²
Volume : V = (60 x 8) / 3 = 480 / 3 = 160 cm³
Un cône a un diamètre de base de 10 cm et une hauteur de 14 cm. Calcule son volume.
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Attention : diamètre = 10 cm, donc rayon = 5 cm.
V = (1/3) x pi x 5² x 14
V = (1/3) x pi x 25 x 14
V = (1/3) x 350 pi
V = 350 pi / 3 cm³
V = environ 366,5 cm³
Un cône a un rayon de 4 cm et une génératrice de 10 cm. Calcule sa hauteur puis son volume.
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Par Pythagore : h² + 4² = 10²
h² + 16 = 100
h² = 84
h = racine(84) = 2 x racine(21) = environ 9,17 cm
Volume : V = (1/3) x pi x 16 x racine(84)
V = (16 x racine(84) x pi) / 3
V = environ (1/3) x 3,14 x 16 x 9,17
V = environ 154,0 cm³
Un cornet de glace a la forme d’un cône de 12 cm de hauteur et de 4 cm de diamètre. Quel volume de glace peut-il contenir (en cm³ et en mL) ?
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Rayon = 4 / 2 = 2 cm
V = (1/3) x pi x 2² x 12
V = (1/3) x pi x 4 x 12
V = (1/3) x 48 pi
V = 16 pi
V = environ 50,3 cm³
Comme 1 cm³ = 1 mL, le cornet peut contenir environ 50 mL de glace.
On remplit d’eau un récipient pyramidal de base carrée (côté 20 cm) et de hauteur 30 cm. Combien de litres d’eau peut-il contenir ?
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Aire de la base : 20 x 20 = 400 cm²
Volume : V = (400 x 30) / 3 = 12 000 / 3 = 4 000 cm³
1 L = 1 000 cm³, donc 4 000 cm³ = 4 L
La pyramide de Khéops a une base carrée de 230 m de côté et une hauteur de 146 m. Calcule son volume en m³.
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Aire de la base : 230 x 230 = 52 900 m²
Volume : V = (52 900 x 146) / 3 = 7 723 400 / 3 = 2 574 467 m³
Soit environ 2,57 millions de m³ ! C’est un volume colossal, équivalent à environ 1 000 piscines olympiques.
Une pyramide à base triangulaire a pour base un triangle rectangle de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm (l’hypoténuse). La hauteur de la pyramide est de 7 cm. Calcule son volume.
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Le triangle de base est rectangle, ses côtés de l’angle droit mesurent 3 cm et 4 cm.
Aire de la base : (3 x 4) / 2 = 6 cm²
Volume : V = (6 x 7) / 3 = 42 / 3 = 14 cm³
Un sablier est composé de deux cônes identiques collés sommet contre sommet. Chaque cône a un rayon de base de 3 cm et une hauteur de 8 cm.
a) Calcule le volume d’un cône.
b) Calcule le volume total du sablier.
c) Si le sable occupe la moitié du volume total, quel volume de sable y a-t-il dans le sablier ?
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a) V = (1/3) x pi x 3² x 8 = (1/3) x 9 x 8 x pi = 24 pi = environ 75,4 cm³
b) Volume total = 2 x 24 pi = 48 pi = environ 150,8 cm³
c) Volume de sable = 48 pi / 2 = 24 pi = environ 75,4 cm³
FAQ — Questions fréquentes
Parce qu’une pyramide (ou un cône) occupe exactement un tiers du volume du prisme (ou du cylindre) qui a la même base et la même hauteur. C’est une propriété géométrique fondamentale qu’on peut vérifier expérimentalement en remplissant un cône d’eau et en le vidant dans un cylindre de même base et même hauteur : il faut exactement 3 cônes pour remplir le cylindre.
Quelle est la différence entre hauteur et arête latérale ?
La hauteur est perpendiculaire à la base (elle forme un angle droit avec le plan de la base). L’arête latérale va du sommet à un coin de la base, en suivant une face. L’arête latérale est toujours plus grande que la hauteur (sauf si la pyramide est « droite » et très aplatie).
La formule fonctionne-t-elle pour toutes les pyramides ?
Oui, quelle que soit la forme de la base (triangle, carré, pentagone, hexagone…) et que la pyramide soit droite ou oblique. La formule V = (B x h) / 3 est universelle pour toutes les pyramides.
Comment convertir des cm³ en litres ?
1 L = 1 000 cm³ (ou 1 dm³). Pour convertir des cm³ en L, divise par 1 000. Pour convertir des L en cm³, multiplie par 1 000. 1 m³ = 1 000 L.
Faut-il donner le résultat exact ou approché ?
Lis bien la consigne. Si on te demande la valeur exacte, garde pi dans ta réponse (par exemple 108 pi cm³). Si on te demande un arrondi, utilise pi = 3,14 ou la touche pi de ta calculatrice. Au brevet, on précise toujours ce qu’on attend.
Ce chapitre tombe-t-il au brevet ?
Oui, régulièrement. Les exercices de géométrie dans l’espace combinent souvent le calcul de volume avec le théorème de Pythagore (pour trouver la hauteur) et parfois les conversions d’unités (cm³ vers L). Maîtrise la formule et surtout la distinction entre hauteur et génératrice.
Tu maîtrises maintenant le calcul du volume des pyramides et des cônes. Retiens la formule unique V = (B x h) / 3, et n’oublie pas de bien identifier la hauteur (perpendiculaire à la base). Si on te donne la génératrice ou une arête latérale, pense au théorème de Pythagore pour retrouver la hauteur. Pour consolider tes bases en calcul, revois les fractions et la division et les puissances de dix, qui te serviront pour les conversions d’unités de volume.
Cardia Anthony, 35 ans, professeur des écoles passionné depuis 2014.
