En 4ème, tu vas apprendre à reconnaître deux solides très présents en géométrie dans l’espace : la pyramide et le cône de révolution. Ces deux figures partagent un point commun fondamental : elles possèdent un sommet unique relié à une base. Pourtant, leurs propriétés diffèrent sur bien des aspects. Dans ce cours complet, tu vas apprendre leurs définitions, leurs patrons, la notion d’apothème, et surtout apprendre à ne plus les confondre avec les prismes et les cylindres. Chaque notion est accompagnée d’exemples concrets et d’exercices corrigés pour bien ancrer tes connaissances.
Qu’est-ce qu’une pyramide ?
Une pyramide est un solide dont la base est un polygone quelconque et dont les faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un même point appelé sommet (ou apex). Le segment qui relie le sommet au centre de la base en formant un angle droit avec celle-ci s’appelle la hauteur de la pyramide.
Pour bien décrire une pyramide, il faut identifier quatre éléments :
- La base : c’est le polygone situé en bas (triangle, carré, pentagone, hexagone…). Sa forme donne son nom à la pyramide.
- Les faces latérales : ce sont des triangles. Leur nombre est égal au nombre de côtés de la base.
- Le sommet : c’est le point unique où se rejoignent toutes les faces latérales. On le note souvent S.
- Les arêtes : les arêtes de la base (côtés du polygone) et les arêtes latérales (segments reliant chaque sommet de la base au sommet S).
Par exemple, une pyramide à base carrée possède 1 base carrée, 4 faces latérales triangulaires, 5 sommets (4 sur la base + 1 apex), et 8 arêtes (4 sur la base + 4 latérales).
À retenir
Une pyramide est un solide avec une base polygonale et des faces latérales triangulaires qui convergent vers un sommet unique. Si la base possède n côtés, la pyramide a n faces latérales, n + 1 sommets et 2n arêtes. Quand la base est un polygone régulier et que la hauteur tombe exactement au centre de la base, on parle de pyramide régulière.
Les différents types de pyramides
On classe les pyramides selon la forme de leur base. Chaque type a ses particularités :
La pyramide triangulaire (tétraèdre)
Sa base est un triangle. Elle possède donc 4 faces (toutes triangulaires), 4 sommets et 6 arêtes. C’est le solide le plus simple parmi les pyramides. Quand les quatre faces sont des triangles équilatéraux identiques, on parle de tétraèdre régulier, l’un des cinq solides de Platon.
La pyramide à base carrée
C’est la pyramide la plus connue, celle que tu imagines quand on parle des pyramides d’Égypte. Sa base est un carré, elle possède 4 faces latérales triangulaires, 5 sommets et 8 arêtes. La pyramide de Khéops mesure environ 146 mètres de hauteur pour une base de 230 mètres de côté.
La pyramide à base hexagonale
Sa base est un hexagone (6 côtés). Elle possède 6 faces latérales triangulaires, 7 sommets et 12 arêtes. On la retrouve parfois dans les cristaux naturels.
De manière générale, une pyramide à base pentagonale (5 côtés) aura 5 faces latérales, 6 sommets et 10 arêtes. Le raisonnement est toujours le même : tu pars du nombre de côtés de la base.
| Type de pyramide | Côtés de la base | Faces latérales | Sommets | Arêtes |
|---|---|---|---|---|
| Triangulaire (tétraèdre) | 3 | 3 | 4 | 6 |
| À base carrée | 4 | 4 | 5 | 8 |
| À base pentagonale | 5 | 5 | 6 | 10 |
| À base hexagonale | 6 | 6 | 7 | 12 |
Qu’est-ce qu’un cône de révolution ?
Un cône de révolution est le solide obtenu quand tu fais tourner un triangle rectangle autour de l’un de ses côtés de l’angle droit. Sa base est un disque (un cercle plein), et sa surface latérale est une surface courbe qui monte en se resserrant jusqu’à un point unique : le sommet.
Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur volume d’une pyramide ou d’un cone.
Le segment qui relie le sommet au centre du disque de base, perpendiculairement à celle-ci, est la hauteur du cône. Le segment qui relie le sommet à n’importe quel point du cercle de base est une génératrice.
À retenir
Un cône de révolution possède une base circulaire (un disque), une surface latérale courbe et un sommet. Trois mesures le caractérisent : le rayon r de la base, la hauteur h (distance du sommet au centre de la base) et la génératrice g (distance du sommet à un point du cercle). Ces trois grandeurs sont liées par le théorème de Pythagore : g² = h² + r².
Parmi les objets du quotidien en forme de cône, tu peux penser au cornet de glace, à l’entonnoir, au chapeau de fête ou encore au cône de signalisation routière.
Le patron d’une pyramide
Le patron d’un solide est la figure plane que tu obtiens quand tu « déplies » entièrement le solide. Pour une pyramide, le patron se compose de :
- La base (le polygone), dessinée à plat.
- Les faces latérales (des triangles), attachées à chaque côté de la base.
Prenons l’exemple d’une pyramide à base carrée de côté 4 cm avec des faces latérales isocèles. Son patron se présente sous la forme d’un carré central de 4 cm de côté, entouré de 4 triangles isocèles collés à chaque côté du carré.
Pour construire un patron :
- Trace la base (ici un carré de 4 cm).
- Sur chaque côté de la base, construis le triangle correspondant à la face latérale en reportant la longueur de l’arête latérale au compas.
- Vérifie que les triangles adjacents se « replient » correctement en marquant les pliures.
Astuce
Pour vérifier ton patron, compte les faces : tu dois retrouver exactement 1 base + autant de triangles que de côtés de la base. Si un triangle manque ou est en trop, recommence la construction.
Le patron d’un cône
Le patron d’un cône de révolution se compose de deux parties :
- Un disque : c’est la base du cône, de rayon r.
- Un secteur de disque : c’est la surface latérale dépliée. Le rayon de ce secteur est égal à la génératrice g du cône.
L’angle au centre du secteur se calcule avec la formule :
Angle = (r / g) × 360°
Par exemple, pour un cône de rayon r = 3 cm et de génératrice g = 5 cm, l’angle du secteur vaut (3 / 5) × 360° = 216°. Tu traces donc un secteur de disque de rayon 5 cm et d’angle 216°, puis tu ajoutes un disque de rayon 3 cm à côté.
️ Exercice
Un cône de révolution a une hauteur de 12 cm et un rayon de base de 5 cm. Calcule la longueur de la génératrice, puis l’angle du secteur de son patron.
Voir la correction
On utilise le théorème de Pythagore : g² = h² + r² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169, donc g = 13 cm.
L’angle du secteur vaut (5 / 13) × 360° ≈ 138,5°.
Pyramide vs prisme et cône vs cylindre
Beaucoup d’élèves confondent ces solides. Voici un tableau comparatif qui met en évidence les différences fondamentales.
Ce point est approfondi dans notre cours sur cours sur les agrandissements.
| Critère | Pyramide | Prisme droit |
|---|---|---|
| Nombre de bases | 1 seule base | 2 bases parallèles identiques |
| Faces latérales | Triangles | Rectangles |
| Sommet unique | Oui (apex) | Non |
| Section parallèle à la base | Polygone réduit (homothétie) | Polygone identique à la base |
| Volume | (1/3) × Aire base × h | Aire base × h |
| Critère | Cône | Cylindre |
|---|---|---|
| Nombre de bases | 1 disque | 2 disques parallèles identiques |
| Surface latérale | Courbe (secteur déplié) | Courbe (rectangle déplié) |
| Sommet unique | Oui | Non |
| Section parallèle à la base | Disque réduit | Disque identique |
| Volume | (1/3) × π × r² × h | π × r² × h |
Le point essentiel à retenir : le volume d’une pyramide (ou d’un cône) est exactement le tiers du volume du prisme (ou du cylindre) de même base et de même hauteur. C’est un résultat fondamental que tu retrouveras dans les calculs de volume.
L’apothème
L’apothème est une notion souvent absente des cours classiques mais très utile pour les calculs de surface. Il en existe deux types :
L’apothème d’une pyramide régulière
C’est la hauteur d’une face latérale triangulaire, mesurée depuis le milieu d’un côté de la base jusqu’au sommet S. On le note souvent a. Il ne faut pas le confondre avec la hauteur de la pyramide (qui va du sommet au centre de la base) ni avec l’arête latérale (qui va du sommet à un sommet de la base).
Pour une pyramide régulière à base carrée de côté c, de hauteur h et dont l’apothème de la base vaut c/2, l’apothème de la pyramide se calcule par Pythagore :
a² = h² + (c/2)²
L’aire latérale d’une pyramide régulière se calcule alors par : Aire latérale = (périmètre de la base × apothème) / 2.
L’apothème d’un cône
Pour un cône, l’apothème correspond tout simplement à la génératrice g. C’est la distance entre le sommet et n’importe quel point du cercle de base. L’aire latérale du cône se calcule par : Aire latérale = π × r × g.
À retenir
Apothème de la pyramide régulière = hauteur d’une face latérale (du milieu d’un côté de la base au sommet). Apothème du cône = génératrice (du sommet à un point du cercle de base). Dans les deux cas, l’apothème sert à calculer l’aire latérale.
Erreurs fréquentes
️ Erreur fréquente
Confondre hauteur et arête latérale. La hauteur de la pyramide est perpendiculaire à la base et passe par son centre. L’arête latérale relie un sommet de la base au sommet S. Ce ne sont pas les mêmes longueurs (sauf cas très particulier).
️ Erreur fréquente
Oublier le coefficient 1/3 dans le volume. Le volume d’une pyramide ou d’un cône est le tiers de celui du prisme ou cylindre correspondant. Beaucoup d’élèves calculent V = Aire base × h au lieu de V = (1/3) × Aire base × h.
️ Erreur fréquente
Confondre le patron du cône avec un demi-disque. Le secteur de disque du patron n’est un demi-disque que si l’angle vaut exactement 180°, ce qui correspond au cas particulier r = g/2. Dans la majorité des cas, l’angle est différent de 180°.
️ Erreur fréquente
Croire qu’un cône a des arêtes. Un cône de révolution n’a aucune arête au sens géométrique : sa surface latérale est courbe et rejoint la base circulaire sans former d’angle. Seule la pyramide possède de véritables arêtes.
Exercices corrigés
️ Exercice 1
Une pyramide a une base pentagonale. Combien possède-t-elle de faces latérales, de sommets et d’arêtes ?
Voir la correction
La base a 5 côtés (pentagone).
Faces latérales : 5 (une par côté de la base).
Pour completer, decouvre notre cours sur sections de solides en 3eme.
Sommets : 5 + 1 = 6 (les 5 sommets du pentagone + le sommet S).
Arêtes : 2 × 5 = 10 (5 arêtes de la base + 5 arêtes latérales).
️ Exercice 2
Un cône de révolution a un rayon de 6 cm et une génératrice de 10 cm. Calcule sa hauteur.
Voir la correction
On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par h, r et g :
g² = h² + r², donc h² = g² − r² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64.
Donc h = √64 = 8 cm.
️ Exercice 3
Calcule le volume d’une pyramide à base carrée de côté 6 cm et de hauteur 9 cm.
Voir la correction
Aire de la base = 6 × 6 = 36 cm².
Volume = (1/3) × 36 × 9 = (1/3) × 324 = 108 cm³.
️ Exercice 4
Calcule l’aire latérale d’un cône de rayon 4 cm et de génératrice 7 cm.
Voir la correction
Aire latérale = π × r × g = π × 4 × 7 = 28π ≈ 87,96 cm².
️ Exercice 5
Une pyramide régulière à base carrée a un côté de base de 8 cm et une hauteur de 6 cm. Calcule son apothème.
Voir la correction
L’apothème de la base (distance du centre au milieu d’un côté) vaut c/2 = 8/2 = 4 cm.
L’apothème de la pyramide relie le milieu d’un côté de la base au sommet S. On utilise Pythagore :
a² = h² + (c/2)² = 6² + 4² = 36 + 16 = 52.
Donc a = √52 = 2√13 ≈ 7,21 cm.
FAQ
Quelle est la différence entre une pyramide et un cône ?
La pyramide a une base polygonale (avec des côtés droits) et des faces latérales planes (des triangles). Le cône a une base circulaire (un disque) et une surface latérale courbe. Les deux ont un sommet unique, mais seule la pyramide possède des arêtes.
Pourquoi le volume d’une pyramide contient-il un facteur 1/3 ?
On peut démontrer qu’un cube peut être découpé en trois pyramides identiques de même base et de même hauteur. Chaque pyramide représente donc un tiers du cube. Ce résultat se généralise : le volume de toute pyramide vaut un tiers de l’aire de sa base multipliée par sa hauteur.
Comment reconnaître une pyramide régulière ?
Une pyramide est régulière quand sa base est un polygone régulier (tous les côtés et tous les angles égaux) et que le pied de la hauteur coïncide avec le centre de la base. Dans ce cas, toutes les faces latérales sont des triangles isocèles identiques et toutes les arêtes latérales ont la même longueur.
Peut-on avoir un cône qui n’est pas de révolution ?
Oui, un cône oblique est un cône dont le sommet n’est pas situé à la verticale du centre de la base. Sa hauteur n’est alors pas perpendiculaire à la base. En 4ème, tu travailles principalement sur le cône de révolution (le cas « droit »), car ses propriétés sont plus simples à exploiter.
Comment calculer l’aire totale d’un cône ?
L’aire totale d’un cône de révolution est la somme de l’aire de la base et de l’aire latérale : Aire totale = π × r² + π × r × g = π × r × (r + g). Par exemple, pour un cône de rayon 3 cm et de génératrice 5 cm : Aire totale = π × 3 × (3 + 5) = 24π ≈ 75,4 cm².
Cardia Anthony, 35 ans, professeur des écoles passionné depuis 2014.
