Comment te souvenir du théorème de Thalès? Imagine deux triangles partageant un sommet et dotés de côtés parallèles. Grâce à Thalès, tu peux prouver que ces triangles sont des réductions et agrandissements.
Qu’est-ce que le théorème de Thalès
Le théorème de Thalès permet de trouver l’égalité entre trois rapports de segments dans deux triangles qui partagent un sommet commun et ont des côtés parallèles. Pour te représenter cette scène : imagine deux triangles, l’un plus petit que l’autre, mais parfaitement emboîtés et alignés. Quand on dit qu’ils sont en configuration de Thalès, le plus petit triangle est en fait une réduction du plus grand.
Ce théorème t’aidera à calculer des longueurs de segment dans des figures emboîtées. Pour bien l’utiliser, il faut que tu sois à l’aise avec les calculs de fractions.
Formule du théorème de Thalès
Si, dans un triangle ABC, on a deux droites DE et FG parallèles aux côtés BC et AC respectivement, alors selon le théorème de Thalès :
AD/AB = AE/AC = DE/BC.
C’est cette égalité qui permet de trouver la longueur manquante des segments. N’oublie pas que cette formule repose sur le principe de l’égalité des produits en croix.
Imaginons deux triangles ABC et A’B’C’ en situation Thalès avec le sommet commun A. Tu sais que les côtés AB et A’B’, ainsi que AC et A’C’ sont parallèles. Si AB = 8 cm, AC = 12 cm, et A’B’ = 4 cm, tu veux déterminer la longueur de A’C’.
Applique le théorème de Thalès: (A’B’) / (AB) = (A’C’) / (AC). Ce qui donne (6 / 10) = (A’C’ / 15). En résolvant, tu obtiens (A’C’ = 9) cm. C’est aussi simple que ça grâce au théorème !
Une façon simple de se souvenir de l’égalité des rapports dans Thalès est de toujours tracer un schéma. En visualisant les triangles et en notant les côtés parallèles, tu simplifies grandement le calcul des rapports.
Rappelle-toi de toujours vérifier si tes triangles ont un sommet commun et des côtés parallèles avant d’appliquer le théorème. Cela t’évite des erreurs courantes.
Liens utiles pour mieux comprendre
Pour visualiser plus d’exemples et pratiquer davantage, tu peux consulter différents exercices de l’exercice du théorème de Thalès.
Exercices de maths
Voici quelques exercices pour t’entraîner. Prends ton temps, tout est expliqué de manière claire et accessible.
Appliquer le théorème de thalès pour calculer une longueur
Énoncé de l’exercice
Dans le triangle ABC, les points B’ et C’ sont respectivement sur les côtés [AB] et [AC]. Les droites (BC) et (B’C’) sont parallèles. 🟢 On sait que AB = 15 cm, AC = 9 cm, et AB’ = 5 cm. ⚠️ Calculez la longueur du segment [B’C’].
(Astuce : Utilisez la proportionnalité des segments !) ✏️
Instructions
- 🔍 Identifier les triangles pour lesquels le théorème de Thalès peut être appliqué.
- 📝 Écrire l’égalité des rapports de proportionnalité.
- ➗ Utiliser les valeurs connues pour calculer la longueur du segment [B’C’]. Assurez-vous de ressembler les éléments similaires.
Correction
✨ Étape 1 : Identifier les triangles. Nous avons les triangles ABC et AB’C’ qui sont en configuration de Thalès, car (BC) est parallèle à (B’C’).
✨ Étape 2 : Appliquer le théorème de Thalès qui dit que :
(AB/AB’) = (AC/AC’) = (BC/B’C’).
On remplace les valeurs connues dans cette proportionnalité :
(15/5) = (9/AC’) = (BC/B’C’).
✨ Étape 3 : Calculons le rapport simple (15/5) = 3.
✨ Étape 4 : À partir de ce rapport, nous pouvons écrire :
3 = (9/AC’)
Cela signifie que le segment [B’C’] doit être tel que 3 * (AC’) = 9.
🔑 Calcul final : La longueur de [B’C’] est :
3 cm
Utilisation du théorème de thalès pour calculer une longueur
Énoncé de l’exercice
Vous disposez de deux triangles qui partagent un sommet commun, appelons-le A. Les côtés des triangles sont respectivement parallèles : BC // B’C’. Les longueurs AB = 4 cm, AC = 6 cm, et AB’ = 2 cm. Utilisez le théorème de Thalès pour déterminer la longueur de A’C’. 🔍 (Astuce: Pensez aux rapports de proportionnalité. 🎯)
Instructions
- 🔄 Identifiez les triangles impliqués et les côtés parallèles.
- 📝 Écrivez l’égalité des rapports selon le théorème de Thalès.
- ✏️ Remplacez par les valeurs données dans l’énoncé pour calculer A’C’.
- 📐 Vérifiez que votre réponse respecte la proportionnalité des triangles.
Remarque: Si besoin, convertissez les rapports en fractions pour faciliter la résolution.
Correction
🔄 Les deux triangles considérés sont ∆ABC et ∆AB’C’ avec les côtés BC et B’C’ étant parallèles.
📝 D’après le théorème de Thalès, nous avons l’égalité des rapports suivants :
AB / AB’ = AC / A’C’ = BC / B’C’.
✏️ Substituons les longueurs connues : 4/2 = 6 / A’C’.
📐 En résolvant l’égalité, nous avons : 4/2 = 6 / A’C’, ainsi A’C’ = 6 x 2 / 4.
Calcul : A’C’ = 12 / 4 = 3 cm.
Réponse finale : A’C’ = 3 cm ✅
Exercice sur le théorème de thalès – Application pratique
Énoncé de l’exercice
Dans un triangle triangle ABC, le point M est situé sur le côté AB et le point N sur le côté AC. Les segments MN et BC sont parallèles. On a :
– AM = 4 cm
– MB = 6 cm
– AN = 6 cm
Calculer la longueur du segment NC 🌟.
Instructions
- 🔍 Identifiez les segments parallèles dans le triangle.
- 📏 Conformez-vous au théorème de Thalès pour établir les rapports égaux.
- 📐 Posez l’équation à partir des proportions données.
- 🧮 Résolvez l’équation pour trouver la longueur de NC.
- ✅ Vérifiez votre calcul pour vous assurer de l’exactitude.
Correction
🔍 Nous savons que MN est parallèle à BC, ainsi nous pouvons appliquer le théorème de Thalès.
📏 Par le théorème de Thalès, nous avons les rapports suivants égaux :
(frac{AM}{AB} = frac{AN}{AC} = frac{MN}{BC})
📐 Calculons maintenant :
(AB = AM + MB = 4, cm + 6, cm = 10, cm)
🧮 En appliquant le théorème, nous obtenons l’équation :
(frac{4}{10} = frac{6}{AC})
🖊️ Résolvons pour (AC) :
(AC = frac{6 times 10}{4} = 15, cm)
🎯 Trouvons maintenant (NC) :
(NC = AC – AN = 15, cm – 6, cm = 9, cm
✅ Vérification : les calculs confirment que (NC = 9, cm) est correct selon la proportionnalité des segments !
Conclusion
En classe de 4ème, le théorème de Thalès est un outil pour comprendre la géométrie. En utilisant ce théorème, tu pourras calculer les longueurs avec précision et découvrir la relation de proportionnalité dans les triangles.
Retiens que lorsque les triangles sont en configuration de Thalès, les segments sont proportionnels, ce qui t’aidera à résoudre des problèmes complexes. Maîtrise cette technique pour te préparer aux défis futurs en mathématiques.
Pour approfondir tes connaissances et exercices, tu peux consulter les cours de maths 4ème.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
