Le produit en croix, c’est la technique la plus utilisée en maths au collège. Dès que tu as une situation de proportionnalité avec une valeur inconnue à retrouver, le produit en croix te donne la réponse en quelques secondes. Que ce soit pour convertir des unités, adapter une recette, calculer un prix ou résoudre un problème du brevet, cette méthode va devenir ton meilleur outil. Voyons comment elle fonctionne et surtout comment ne pas se tromper.
Pourquoi le produit en croix est incontournable
Imagine que tu sais que 3 croissants coûtent 3,60 €. Tu veux acheter 7 croissants. Combien vas-tu payer ? Tu pourrais d’abord trouver le prix d’un croissant (3,60 ÷ 3 = 1,20 €) puis multiplier par 7 (1,20 × 7 = 8,40 €). Ça fonctionne, mais le produit en croix te permet d’arriver au même résultat en une seule opération, sans passer par le prix unitaire.
Le produit en croix repose sur un principe simple : dans un tableau de proportionnalité, les produits « en diagonale » sont égaux. C’est cette propriété que tu vas exploiter à chaque fois.
La méthode du produit en croix
Si le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :
| Colonne 1 | Colonne 2 | |
|---|---|---|
| Ligne 1 | a | b |
| Ligne 2 | c | d |
Alors a × d = b × c (les produits en diagonale sont égaux).
Concrètement, quand tu connais trois valeurs sur quatre, tu isoles l’inconnue grâce à cette égalité.
1. Organise les données dans un tableau à 2 lignes et 2 colonnes
2. Écris l’égalité des produits en croix
3. Isole l’inconnue en divisant
Exemple : 3 croissants → 3,60 € | 7 croissants → ? €
| Croissants | Prix (€) |
|---|---|
| 3 | 3,60 |
| 7 | x |
Produit en croix : 3 × x = 7 × 3,60
3x = 25,20
x = 25,20 ÷ 3 = 8,40 €
Retiens cette règle simple : l’inconnue x est toujours seule d’un côté. Tu multiplies les deux nombres reliés en diagonale (ceux qui ne sont pas dans la même ligne ni la même colonne que x), puis tu divises par le nombre restant (celui qui est en face de x, dans la même ligne ou colonne).
Pourquoi ça marche : la démonstration
Le produit en croix n’est pas une formule magique. Il repose sur l’égalité de deux fractions. Si a/c = b/d (les deux rapports sont égaux, puisqu’il y a proportionnalité), alors en multipliant les deux côtés par c × d, on obtient a × d = b × c.
Autrement dit, le produit en croix traduit simplement le fait que les quotients sont égaux. Tu peux aussi le voir comme une conséquence directe du calcul avec les fractions : deux fractions égales ont des produits en croix égaux.
a/c = b/d ⟺ a × d = b × c
Les deux écritures sont équivalentes. Le produit en croix est une reformulation de l’égalité des rapports.
Applications concrètes du produit en croix
Le produit en croix intervient dans des dizaines de situations différentes. Voici les plus courantes.
Les recettes de cuisine. Une recette pour 6 personnes utilise 450 g de farine. Tu reçois 8 personnes. Combien de farine te faut-il ?
| Personnes | Farine (g) |
|---|---|
| 6 | 450 |
| 8 | x |
6 × x = 8 × 450 = 3 600
x = 3 600 ÷ 6 = 600 g
Les conversions d’unités. Tu sais que 1 pouce = 2,54 cm. Un écran fait 27 pouces de diagonale. Quelle est sa diagonale en cm ?
| Pouces | cm |
|---|---|
| 1 | 2,54 |
| 27 | x |
1 × x = 27 × 2,54 = 68,58
x = 68,58 cm
Les échelles de plan. Sur une carte à l’échelle 1/25 000, deux villes sont séparées de 12 cm. Quelle est la distance réelle ?
| Carte (cm) | Réalité (cm) |
|---|---|
| 1 | 25 000 |
| 12 | x |
x = 12 × 25 000 = 300 000 cm = 3 km
Tu retrouves aussi le produit en croix quand tu travailles sur les pourcentages : « 35 est quel pourcentage de 140 ? » se traduit par 35/140 = x/100, d’où x = 35 × 100 ÷ 140 = 25 %.
Les pièges à éviter
Le produit en croix ne fonctionne que s’il y a proportionnalité entre les deux grandeurs. Avant de l’utiliser, assure-toi que la situation est bien proportionnelle. Par exemple, la relation entre l’âge et la taille n’est pas proportionnelle — le produit en croix donnerait un résultat faux.
Il faut que les grandeurs de même nature soient dans la même colonne (ou la même ligne). Si tu mets les croissants et les euros dans la même colonne, tu vas croiser les mauvais nombres.
Règle : chaque colonne = une grandeur, chaque ligne = une situation.
Bon :
| 3 croissants | 3,60 € |
| 7 croissants | x € |
Mauvais :
| 3 croissants | 7 croissants |
| 3,60 € | x € |
Les deux dispositions marchent, mais tu dois rester cohérent. Choisis-en une et garde-la.
Après un produit en croix, fais un rapide contrôle de cohérence. Si 3 croissants coûtent 3,60 €, le prix de 7 croissants doit être plus du double mais pas le triple. Si tu trouves 84 € ou 0,84 €, c’est qu’il y a une erreur quelque part (souvent un problème de virgule).
Le produit en croix et les fractions
Le produit en croix est aussi très utile pour comparer ou simplifier des fractions. Si tu veux savoir si 3/7 et 9/21 sont égales, tu calcules les produits en croix : 3 × 21 = 63 et 7 × 9 = 63. Les produits sont égaux, donc les fractions sont égales.
Pour comparer a/b et c/d (avec b > 0 et d > 0) :
• Si a × d = b × c → les fractions sont égales
• Si a × d > b × c → a/b est plus grande
• Si a × d < b × c → a/b est plus petite
Exemple : comparer 5/8 et 7/11
5 × 11 = 55 et 8 × 7 = 56
55 < 56, donc 5/8 < 7/11
Pour approfondir le travail avec les fractions, tu peux consulter le cours sur les écritures fractionnaires en 5ème.
Au brevet, quand on te demande de comparer deux fractions qui n’ont pas le même dénominateur, le produit en croix est souvent plus rapide que la mise au même dénominateur. Mais attention : cette astuce ne fonctionne que pour comparer, pas pour additionner ou soustraire des fractions.
Exercices corrigés
4 stylos coûtent 6,80 €. Combien coûtent 10 stylos ?
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| Stylos | Prix (€) |
|---|---|
| 4 | 6,80 |
| 10 | x |
4 × x = 10 × 6,80
4x = 68
x = 68 ÷ 4 = 17 €
Vérification : 10 stylos, c’est 2,5 fois plus que 4 stylos. 6,80 × 2,5 = 17 €. ✓
Une voiture consomme 6,5 L d’essence pour 100 km. Combien consomme-t-elle pour un trajet de 340 km ?
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| Distance (km) | Essence (L) |
|---|---|
| 100 | 6,5 |
| 340 | x |
100 × x = 340 × 6,5
100x = 2 210
x = 2 210 ÷ 100 = 22,1 L
Sur une carte au 1/50 000, la distance entre deux villages est de 7,4 cm. Quelle est la distance réelle en km ?
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| Carte (cm) | Réalité (cm) |
|---|---|
| 1 | 50 000 |
| 7,4 | x |
x = 7,4 × 50 000 = 370 000 cm = 3 700 m = 3,7 km
Une machine produit 252 pièces en 3 heures. Combien de pièces produit-elle en 5 heures ?
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| Heures | Pièces |
|---|---|
| 3 | 252 |
| 5 | x |
3 × x = 5 × 252
3x = 1 260
x = 1 260 ÷ 3 = 420 pièces
Compare les fractions 7/9 et 11/14 en utilisant le produit en croix.
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On compare 7/9 et 11/14.
Produits en croix :
7 × 14 = 98
9 × 11 = 99
98 < 99, donc 7/9 < 11/14
La fraction 7/9 est légèrement plus petite que 11/14.
Un coureur parcourt 12 km en 54 minutes. À la même vitesse, combien de temps lui faut-il pour parcourir 20 km ?
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| Distance (km) | Temps (min) |
|---|---|
| 12 | 54 |
| 20 | x |
12 × x = 20 × 54
12x = 1 080
x = 1 080 ÷ 12 = 90 minutes, soit 1 h 30 min.
Dans un magasin, 2,5 kg de cerises coûtent 11,25 €. Quel est le prix de 4 kg de cerises ?
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| Masse (kg) | Prix (€) |
|---|---|
| 2,5 | 11,25 |
| 4 | x |
2,5 × x = 4 × 11,25
2,5x = 45
x = 45 ÷ 2,5 = 18 €
Vérification : prix au kg = 11,25 ÷ 2,5 = 4,50 €/kg. Pour 4 kg : 4 × 4,50 = 18 €. ✓
Un plan est à l’échelle 1/150. La longueur réelle d’une pièce est de 6 m. Quelle est sa longueur sur le plan en cm ?
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6 m = 600 cm
| Plan (cm) | Réalité (cm) |
|---|---|
| 1 | 150 |
| x | 600 |
150 × x = 1 × 600
x = 600 ÷ 150 = 4 cm
36 est quel pourcentage de 150 ?
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| Valeur | Pourcentage |
|---|---|
| 150 | 100 |
| 36 | x |
150 × x = 36 × 100
150x = 3 600
x = 3 600 ÷ 150 = 24 %
Un cycliste roule à vitesse constante. Il parcourt 45 km en 1 h 30 min.
a) Quelle distance parcourt-il en 2 h 15 min ?
b) Combien de temps met-il pour parcourir 60 km ?
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Convertissons en minutes : 1 h 30 = 90 min, 2 h 15 = 135 min.
a)
| Temps (min) | Distance (km) |
|---|---|
| 90 | 45 |
| 135 | x |
90 × x = 135 × 45 = 6 075
x = 6 075 ÷ 90 = 67,5 km
b)
| Distance (km) | Temps (min) |
|---|---|
| 45 | 90 |
| 60 | x |
45 × x = 60 × 90 = 5 400
x = 5 400 ÷ 45 = 120 minutes = 2 h
FAQ — Questions fréquentes sur le produit en croix
Uniquement dans les situations de proportionnalité. Si les deux grandeurs ne sont pas proportionnelles, le résultat sera faux. Vérifie d’abord que tu es bien dans une situation proportionnelle avant de l’utiliser.
Peut-on disposer le tableau en lignes au lieu de colonnes ?
Oui, le produit en croix fonctionne quelle que soit la disposition du tableau, à condition que les grandeurs de même nature soient regroupées. L’important, c’est que les produits en diagonale soient égaux.
Quand utiliser le passage par l’unité plutôt que le produit en croix ?
Les deux méthodes donnent le même résultat. Le passage par l’unité est plus intuitif quand les nombres tombent juste. Le produit en croix est souvent plus pratique quand les nombres sont des décimaux ou des fractions.
Comment ne pas se tromper dans le sens de la multiplication ?
Place toujours l’inconnue x dans le tableau, puis multiplie les deux nombres en diagonale qui ne sont pas avec x, et divise par le nombre restant. Si tu doutes, pose l’équation a × d = b × c et isole x.
Le produit en croix tombe-t-il au brevet ?
Très souvent, sous forme de problèmes de proportionnalité (recettes, vitesses, échelles, pourcentages). Tu dois savoir le poser correctement et justifier que la situation est proportionnelle. Les correcteurs attendent ces deux choses : la justification de la proportionnalité et le calcul.
Peut-on utiliser le produit en croix avec des fractions ?
Oui, pour comparer des fractions ou vérifier si deux fractions sont égales. C’est même l’une des applications les plus courantes en dehors de la proportionnalité classique.
Le produit en croix est une arme redoutable au brevet, à condition de bien poser ton tableau et de vérifier que la situation est proportionnelle. Entraîne-toi avec les exercices ci-dessus, et pour revoir les bases, consulte les cours sur la proportionnalité avec les tableaux et graphiques et sur les calculs avec les puissances de dix qui t’aideront à bien gérer les conversions d’unités.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
