En 4e, les mathématiques changent de dimension. On ne te demande plus seulement de calculer ou de construire : on te demande de prouver. Tu dois expliquer pourquoi un résultat est vrai, pas juste montrer qu’il marche sur un exemple. C’est ça, une démonstration. C’est le cœur du raisonnement mathématique, et c’est une compétence que tu garderas toute ta scolarité (et bien au-delà). Ce cours complet t’apprend à construire une démonstration solide, à utiliser les bons mots de liaison, à repérer les mauvaises rédactions et à t’entraîner sur des exercices corrigés.
C’est quoi une démonstration ?
Une démonstration, c’est un raisonnement logique qui prouve qu’une affirmation est vraie. Elle s’appuie sur des choses déjà connues (des propriétés, des théorèmes, des définitions) pour en déduire une nouvelle conclusion.
Imagine un tribunal. L’avocat ne dit pas « Mon client est innocent parce que je le pense ». Il présente des preuves, des faits, des témoignages. La démonstration en maths, c’est pareil : tu présentes des faits (les hypothèses), tu cites la règle qui s’applique (la propriété) et tu en tires une conclusion logique.
Ce qui n’est pas une démonstration :
- Mesurer sur la figure et dire « ça fait 5 cm, donc c’est vrai ». Une mesure peut être imprécise et ne prouve rien en maths.
- Vérifier sur un seul exemple. Ce n’est pas parce que ça marche pour le nombre 4 que ça marche pour tous les nombres.
- Dire « c’est évident » ou « on voit bien que ». Ce n’est pas un argument mathématique.
La structure : hypothèse, propriété, conclusion
Toute démonstration en 4e suit le même schéma en trois étapes. C’est ta colonne vertébrale, le squelette de chaque preuve.
À retenir
La structure d’une démonstration :
1. Hypothèse — Ce que je sais (les données de l’énoncé).
2. Propriété — La règle mathématique que j’utilise (théorème, définition, propriété).
3. Conclusion — Ce que j’en déduis.
On peut résumer : « Je sais que… Or… Donc… »
Ce schéma peut se répéter plusieurs fois dans une même démonstration. Tu fais une première déduction, puis tu l’utilises comme hypothèse pour une deuxième déduction, et ainsi de suite, comme une chaîne dont chaque maillon s’accroche au précédent.
Les mots de liaison
Les mots de liaison sont les connecteurs logiques qui structurent ta démonstration. Ils montrent au lecteur (et au correcteur) que ton raisonnement est organisé et rigoureux.
| Mot de liaison | Rôle | Exemple d’utilisation |
|---|---|---|
| Or | Introduit une propriété ou un fait connu | Or, si un triangle est rectangle, alors… |
| Donc | Introduit la conclusion | Donc le triangle ABC est rectangle en A. |
| Car | Justifie ce qui précède | …car AB = AC (triangle isocèle). |
| D’après | Cite la source (théorème, propriété) | D’après le théorème de Pythagore… |
| Puisque | Rappelle une hypothèse ou un résultat déjà prouvé | Puisque (AB) est parallèle à (CD)… |
| On sait que | Rappelle les données de l’énoncé | On sait que AB = 5 cm et AC = 12 cm. |
| Par conséquent | Variante de « donc » | Par conséquent, les droites sont parallèles. |
Astuce
En cas de doute sur le mot à utiliser, retiens la structure de base : « On sait que… Or… Donc… ». « On sait que » introduit les hypothèses, « Or » introduit la propriété, « Donc » introduit la conclusion. Ce trio fonctionne dans 90 % des démonstrations de 4e.
Exemple complet d’une bonne démonstration
Voici un énoncé type de 4e et sa démonstration rédigée correctement, avec les annotations pour comprendre chaque étape.
Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur démonstration en géométrie.
Énoncé : Soit un triangle ABC tel que AB = 3 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm. Démontre que le triangle ABC est rectangle.
Démonstration :
[Étape 1 — Hypothèses] On sait que AB = 3 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm. Le côté le plus long est BC = 5 cm.
[Étape 2 — Calculs préparatoires] Calculons BC² et AB² + AC² :
BC² = 5² = 25
AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
[Étape 3 — Comparaison] On constate que BC² = AB² + AC².
[Étape 4 — Propriété] Or, d’après la réciproque du théorème de Pythagore : si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et l’angle droit est opposé au plus grand côté.
[Étape 5 — Conclusion] Donc le triangle ABC est rectangle en A.
À retenir
Une bonne démonstration respecte toujours ce schéma :
1. Je rappelle ce que je sais (données de l’énoncé).
2. Je fais les calculs nécessaires.
3. Je cite la propriété ou le théorème qui s’applique (avec son nom exact).
4. J’écris la conclusion en répondant à la question posée.
Chaque étape s’enchaîne logiquement avec la précédente.
Exemple d’une mauvaise rédaction (et comment la corriger)
Voici une rédaction typique d’un élève qui a compris l’idée mais qui ne respecte pas les règles de la démonstration :
Mauvaise rédaction :
« 3² + 4² = 9 + 16 = 25 et 5² = 25 donc c’est rectangle. »
Ce qui ne va pas :
- Pas d’hypothèses : on ne sait pas de quel triangle on parle, ni quels sont les côtés.
- Pas de propriété citée : « c’est rectangle » ne suffit pas. Il faut dire pourquoi et citer le nom du théorème utilisé (réciproque de Pythagore).
- Conclusion vague : « c’est rectangle » ne précise pas en quel sommet est l’angle droit.
- Pas de mots de liaison : le raisonnement est un bloc sans structure.
Rédaction corrigée :
On sait que AB = 3 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm.
Le côté le plus long est BC = 5 cm. Calculons :
BC² = 5² = 25
AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
On constate que BC² = AB² + AC².
Or, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.
Donc le triangle ABC est rectangle en A.
️ Erreur fréquente
Écrire une démonstration « au brouillon » sans structure, c’est la garantie de perdre des points. Le correcteur ne peut pas deviner ton raisonnement. Même si tes calculs sont justes, une démonstration sans hypothèses explicites, sans propriété citée et sans conclusion claire est considérée comme incomplète.
Les différents types de raisonnement
Le raisonnement direct
C’est le plus courant en 4e. Tu pars des hypothèses, tu appliques une propriété, et tu arrives directement à la conclusion. C’est le schéma « On sait que… Or… Donc… » que tu connais déjà.
Exemple : On sait que (AB) // (CD) et qu’une sécante coupe ces deux droites. Or, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes sont égaux. Donc les angles alternes-internes formés sont égaux.
Ce point est approfondi dans notre cours sur cours sur les équations en 4eme.
Le raisonnement par l’absurde
On suppose que la conclusion est fausse et on montre que cette supposition mène à une contradiction (quelque chose d’impossible). Puisque la supposition mène à une absurdité, c’est que la conclusion était vraie.
Exemple simplifié : On veut prouver que √2 n’est pas un nombre rationnel. On suppose que √2 est rationnel, c’est-à-dire qu’on peut l’écrire sous la forme p/q avec p et q entiers. En développant le calcul, on arrive à une contradiction (p et q seraient tous les deux pairs, ce qui contredit l’hypothèse que la fraction est irréductible). Donc √2 est irrationnel.
En 4e, tu ne feras pas de démonstrations complètes par l’absurde, mais tu dois connaître le principe car il sera utilisé en 3e et au lycée.
Le contre-exemple
Pour prouver qu’une affirmation est fausse, il suffit de trouver un seul cas où elle ne marche pas. Ce cas s’appelle un contre-exemple.
Exemple : « Tous les nombres premiers sont impairs. » Cette affirmation est fausse car 2 est un nombre premier et 2 est pair. Le nombre 2 est un contre-exemple.
À retenir
Pour prouver qu’une affirmation est vraie, il faut une démonstration complète (un seul exemple ne suffit pas).
Pour prouver qu’une affirmation est fausse, il suffit d’un seul contre-exemple.
Checklist : vérifier sa démonstration
Avant de rendre ta copie, passe ta démonstration au crible de cette checklist :
- Les hypothèses sont-elles écrites ? Tu as rappelé les données de l’énoncé que tu utilises.
- La propriété est-elle citée ? Tu as donné le nom du théorème ou de la propriété (« d’après le théorème de Pythagore », « d’après la propriété des droites parallèles coupées par une sécante »…).
- La propriété est-elle correctement appliquée ? Les conditions d’utilisation sont vérifiées (par exemple, pour Pythagore, le triangle doit être rectangle).
- Les calculs sont-ils détaillés ? Chaque étape de calcul est visible et vérifiable.
- La conclusion répond-elle à la question posée ? Si l’énoncé demande « Démontre que ABC est rectangle en B », ta conclusion doit contenir « ABC est rectangle en B », pas juste « ABC est rectangle ».
- Les mots de liaison sont-ils présents ? On sait que… Or… Donc…
- Les unités sont-elles cohérentes ? Si tu calcules des longueurs, elles sont en cm (ou m, mm…). Si tu calcules des aires, elles sont en cm².
Astuce
Relis ta démonstration comme si tu la découvrais pour la première fois. Si quelqu’un qui ne connaît pas l’exercice peut suivre ton raisonnement du début à la fin sans se poser de question, ta démonstration est bonne. Si à un moment il se dit « Mais pourquoi ? », c’est qu’il manque une justification.
Erreurs fréquentes
️ Erreur fréquente
Confondre le théorème de Pythagore et sa réciproque.
Le théorème de Pythagore part d’un triangle qu’on sait déjà rectangle pour calculer une longueur. La réciproque part de trois longueurs connues pour prouver que le triangle est rectangle. Si tu utilises le mauvais sens, toute ta démonstration est fausse. Demande-toi : « Est-ce que je connais l’angle droit, ou est-ce que je veux le prouver ? »
️ Erreur fréquente
Utiliser la conclusion dans la démonstration.
C’est un raisonnement circulaire. Tu ne peux pas écrire « Puisque ABC est rectangle… » si c’est justement ce que tu essaies de prouver. La conclusion ne peut apparaître qu’à la toute fin, après la propriété.
️ Erreur fréquente
Se contenter d’un exemple pour prouver une affirmation générale.
« J’ai vérifié pour x = 3 et ça marche, donc c’est vrai pour tous les nombres. » Non. Un exemple ne prouve rien de général. Il faut une démonstration qui fonctionne pour tous les cas. En revanche, un seul contre-exemple suffit pour prouver qu’une affirmation est fausse.
Exercices corrigés
️ Exercice 1
Soit un triangle EFG tel que EF = 6 cm, FG = 8 cm et EG = 10 cm. Démontre que le triangle EFG est rectangle.
Voir la correction
On sait que EF = 6 cm, FG = 8 cm et EG = 10 cm.
Le côté le plus long est EG = 10 cm.
Pour completer, decouvre notre cours sur théorème de Pythagore.
Calculons EG² : EG² = 10² = 100
Calculons EF² + FG² : EF² + FG² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
On constate que EG² = EF² + FG².
Or, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, si dans un triangle le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle et l’angle droit est opposé au plus grand côté.
Donc le triangle EFG est rectangle en F.
️ Exercice 2
Un élève affirme : « La somme de deux nombres impairs est toujours impaire. » Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifie.
Voir la correction
Cette affirmation est fausse.
Contre-exemple : prenons 3 et 5. Ce sont deux nombres impairs.
3 + 5 = 8, et 8 est un nombre pair.
Donc la somme de deux nombres impairs n’est pas toujours impaire. En fait, la somme de deux nombres impairs est toujours paire.
️ Exercice 3
Dans un triangle RST, on sait que l’angle R mesure 90°. RS = 7 cm et RT = 24 cm. Calcule ST.
Voir la correction
On sait que le triangle RST est rectangle en R, avec RS = 7 cm et RT = 24 cm.
Or, d’après le théorème de Pythagore, dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Ici, l’hypoténuse est ST (le côté opposé à l’angle droit).
Donc : ST² = RS² + RT²
ST² = 7² + 24²
ST² = 49 + 576
ST² = 625
ST = √625 = 25 cm
️ Exercice 4
Voici une rédaction d’élève. Identifie les erreurs et corrige-la :
« 5² + 12² = 169 = 13² donc le triangle est rectangle. »
Voir la correction
Erreurs identifiées :
- Les hypothèses ne sont pas rappelées (quel triangle ? quels côtés ?).
- Le côté le plus long n’est pas identifié.
- La réciproque du théorème de Pythagore n’est pas citée.
- La conclusion ne précise pas en quel sommet est l’angle droit.
Rédaction corrigée :
On sait que AB = 5 cm, AC = 12 cm et BC = 13 cm.
Le côté le plus long est BC = 13 cm.
Calculons : BC² = 13² = 169
AB² + AC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
On constate que BC² = AB² + AC².
Or, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.
Donc le triangle ABC est rectangle en A.
️ Exercice 5
On considère un triangle IJK tel que IJ = 4 cm, JK = 7 cm et IK = 9 cm. Le triangle IJK est-il rectangle ? Justifie.
Voir la correction
On sait que IJ = 4 cm, JK = 7 cm et IK = 9 cm.
Le côté le plus long est IK = 9 cm.
Ce sujet est détaillé dans notre cours sur Thales.
Calculons IK² : IK² = 9² = 81
Calculons IJ² + JK² : IJ² + JK² = 4² + 7² = 16 + 49 = 65
On constate que IK² = 81 et IJ² + JK² = 65. Or 81 ≠ 65.
D’après la contraposée du théorème de Pythagore, si le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle n’est pas rectangle.
Donc le triangle IJK n’est pas rectangle.
Questions fréquentes
Est-ce que je perds des points si mes calculs sont justes mais ma rédaction mauvaise ?
Oui, et c’est souvent là que les élèves perdent le plus de points. En 4e, le barème distingue clairement les points de calcul et les points de rédaction. Une démonstration avec des calculs exacts mais sans hypothèses, sans propriété citée et sans conclusion claire peut perdre la moitié de ses points. La rédaction n’est pas un supplément : c’est une compétence évaluée à part entière.
Faut-il toujours écrire la propriété en entier ?
Tu n’es pas obligé de recopier l’énoncé complet du théorème mot pour mot. Mais tu dois au minimum citer son nom (« d’après le théorème de Pythagore ») et rappeler sa condition d’application (« dans un triangle rectangle »). Si tu écris juste « d’après Pythagore » sans contexte, c’est insuffisant. En cas de doute, écrire la propriété en entier ne te pénalise jamais.
Quelle est la différence entre un théorème, une propriété et une définition ?
Une définition explique ce qu’est un objet mathématique (exemple : « Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur »). Une propriété est un fait mathématique prouvé (exemple : « Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires »). Un théorème est une propriété importante qui porte un nom (exemple : « Théorème de Pythagore »). Dans une démonstration, tu peux utiliser les trois comme justification.
Comment savoir quelle propriété utiliser dans un exercice ?
Lis l’énoncé et repère les informations données : des longueurs ? des angles ? des droites parallèles ? Puis demande-toi ce qu’on te demande de prouver. C’est le croisement entre « ce que je sais » et « ce que je veux montrer » qui te guide vers la bonne propriété. Par exemple, si tu as trois longueurs et qu’on te demande de prouver un angle droit, c’est la réciproque de Pythagore. Si tu as des droites parallèles et une sécante, ce sont les propriétés des angles.
La démonstration est-elle utilisée au brevet et au lycée ?
La démonstration est au cœur du brevet de 3e et de toutes les épreuves de mathématiques du lycée. En 3e, tu utiliseras les mêmes techniques avec des théorèmes plus nombreux (Thalès, trigonométrie). Au lycée, les démonstrations deviennent plus longues et font intervenir des raisonnements en chaîne. Les bonnes habitudes que tu prends en 4e te serviront pendant toute ta scolarité. Plus tu t’entraînes maintenant, plus ce sera naturel par la suite.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
