Réduire une expression littérale, c’est la simplifier en regroupant les termes qui « vont ensemble ». Cette compétence est au coeur du programme de 4e et te suivra tout au long du lycée. Dans cet article, tu vas comprendre ce qu’est une expression littérale, apprendre à repérer les termes semblables, maîtriser la méthode pour réduire pas à pas, et t’entraîner avec des exemples progressifs et des exercices corrigés.
Qu’est-ce qu’une expression littérale ?
Une expression littérale est un calcul qui contient des lettres (appelées variables ou inconnues) en plus des nombres. Les lettres représentent des nombres qu’on ne connaît pas encore ou qui peuvent varier.
Exemples d’expressions littérales :
- 3x + 5
- 2a + 4b – 7
- x² + 3x – 1
- 5y – 2y + 8
Quelques conventions d’écriture à connaître :
| On écrit | Au lieu de | Règle |
|---|---|---|
| 3x | 3 × x | On supprime le signe × devant une lettre |
| x | 1x ou 1 × x | Le coefficient 1 ne s’écrit pas |
| x² | x × x | On utilise la notation puissance |
| -x | -1 × x | Le coefficient -1 s’écrit juste avec le signe – |
| ab | a × b | On supprime le signe × entre deux lettres |
À retenir
Une expression littérale contient des termes séparés par des signes + ou -. Chaque terme est composé d’un coefficient (le nombre devant) et d’une partie littérale (la ou les lettres avec leurs exposants).
Exemple : dans 3x² – 5x + 7, il y a trois termes : 3x² (coefficient 3, partie littérale x²), -5x (coefficient -5, partie littérale x) et 7 (terme constant, sans lettre).
Qu’est-ce que réduire ?
Réduire une expression littérale, c’est l’écrire de façon plus courte en regroupant les termes semblables. Le résultat est une expression équivalente (elle a la même valeur pour n’importe quelle valeur des variables), mais plus simple.
Exemple :
3x + 5x + 2 = 8x + 2
L’expression de gauche a 3 termes. L’expression réduite n’en a que 2. Les deux expressions sont équivalentes : si x = 4, les deux donnent 34.
Réduire ne change pas la valeur de l’expression. C’est comme dire « j’ai 3 pommes et 5 pommes » → « j’ai 8 pommes ». Même quantité, formulation plus simple.
Astuce
Réduire, c’est « faire le ménage » dans une expression. Tu rassembles ce qui va ensemble et tu comptes. Pense à des fruits : 3 pommes + 2 oranges + 5 pommes = 8 pommes + 2 oranges. Tu ne peux pas mélanger les pommes et les oranges.
Identifier les termes semblables
Deux termes sont semblables s’ils ont exactement la même partie littérale (mêmes lettres avec mêmes exposants). Seuls les coefficients peuvent être différents.
Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur développement d’expressions litterales.
| Termes | Semblables ? | Pourquoi ? |
|---|---|---|
| 3x et 7x | Oui | Même partie littérale : x |
| 4x² et -2x² | Oui | Même partie littérale : x² |
| 5a et 5b | Non | Lettres différentes : a ≠ b |
| 3x et 3x² | Non | Exposants différents : x ≠ x² |
| 2xy et -xy | Oui | Même partie littérale : xy |
| 6 et -3 | Oui | Ce sont des constantes (pas de lettre) |
| 4ab et 4ba | Oui | ab = ba (la multiplication est commutative) |
À retenir
On ne peut additionner ou soustraire que des termes semblables. Deux termes sont semblables s’ils ont la même partie littérale (mêmes lettres, mêmes exposants).
On ne peut pas regrouper x et x², ni x et y, ni 3 et 2x.
La méthode pour réduire (regrouper les termes)
Voici la méthode en 4 étapes :
- Identifie chaque terme avec son signe (+ ou -). Attention : le signe fait partie du terme.
- Repère les termes semblables (même partie littérale).
- Regroupe-les en additionnant ou soustrayant les coefficients.
- Écris le résultat dans l’ordre conventionnel : termes avec les plus hauts exposants d’abord, puis par ordre décroissant, et les constantes à la fin.
Exemple détaillé : Réduire 4x + 3 – 2x + 7
Étape 1 : Les termes sont +4x, +3, -2x, +7.
Étape 2 : Termes semblables → 4x et -2x (même partie littérale x) ; 3 et 7 (constantes).
Étape 3 : Regroupement → 4x – 2x = 2x ; 3 + 7 = 10.
Étape 4 : Résultat → 2x + 10
Astuce
Pour éviter les erreurs de signe, souligne ou surligne les termes semblables avec la même couleur. Par exemple, tous les termes en x en bleu, tous les termes en x² en rouge, les constantes en vert. Tu verras immédiatement quels termes regrouper.
Exemples progressifs
Exemple 1 (simple) : Réduire 5a + 3a
Les deux termes sont semblables (même partie littérale a).
5a + 3a = 8a
Exemple 2 (avec constante) : Réduire 7x – 4 + 2x + 9
Termes en x : 7x + 2x = 9x
Constantes : -4 + 9 = 5
Résultat : 9x + 5
Exemple 3 (deux variables) : Réduire 3a + 5b – a + 2b
Termes en a : 3a – a = 3a – 1a = 2a
Termes en b : 5b + 2b = 7b
Résultat : 2a + 7b
Attention : 2a et 7b ne sont pas semblables, on ne peut pas les regrouper davantage.
Exemple 4 (avec négatifs) : Réduire -3x + 8 + 5x – 12
Termes en x : -3x + 5x = 2x
Constantes : 8 – 12 = -4
Résultat : 2x – 4
Exemple 5 (complexe) : Réduire 2x² + 3x – x² + 5 – 7x + 1
Termes en x² : 2x² – x² = 2x² – 1x² = x²
Termes en x : 3x – 7x = -4x
Constantes : 5 + 1 = 6
Résultat : x² – 4x + 6
️ Erreur fréquente
Dans l’exemple 5, certains élèves regroupent x² et x ensemble. C’est interdit : x² et x n’ont pas la même partie littérale (x² = x × x, c’est différent de x). On ne peut les regrouper que s’ils ont exactement le même exposant.
Réduire avec des puissances (x², x³)
Quand une expression contient des termes avec différentes puissances d’une même variable, il faut bien les distinguer.
Rappel des parties littérales distinctes :
Ce point est approfondi dans notre cours sur cours sur les équations.
- x (ou x¹) : la variable au premier degré
- x² : la variable au carré (degré 2)
- x³ : la variable au cube (degré 3)
- Les constantes (sans variable) : degré 0
Chaque degré forme un « groupe » séparé. On ne mélange jamais les degrés entre eux.
Exemple : Réduire 3x³ + 5x² – x³ + 2x – 4x² + 8
Termes en x³ : 3x³ – x³ = 2x³
Termes en x² : 5x² – 4x² = x²
Termes en x : 2x (un seul terme, rien à regrouper)
Constantes : 8
Résultat : 2x³ + x² + 2x + 8
Exemple : Réduire 4x² + 3x – 6x² – 3x + 2
Termes en x² : 4x² – 6x² = -2x²
Termes en x : 3x – 3x = 0x = 0
Constantes : 2
Résultat : -2x² + 2
Les termes en x s’annulent (3x – 3x = 0). On ne les écrit plus dans le résultat.
À retenir
Quand des termes semblables s’annulent (coefficient = 0), ils disparaissent de l’expression réduite. Par exemple : 5x – 5x = 0, donc ces termes n’apparaissent plus dans le résultat.
Réduire puis calculer pour une valeur donnée
Réduire avant de substituer une valeur rend le calcul plus simple et réduit les risques d’erreur.
Exemple 1 : Calcule 4x + 3 – 2x + 7 pour x = 5
Sans réduire : 4 × 5 + 3 – 2 × 5 + 7 = 20 + 3 – 10 + 7 = 20 (4 calculs)
Avec réduction d’abord : 4x + 3 – 2x + 7 = 2x + 10. Puis 2 × 5 + 10 = 20 (2 calculs)
Le résultat est le même, mais la version réduite est plus rapide et tu as moins de chances de te tromper.
Exemple 2 : Calcule 3x² – x² + 4x – x + 6 pour x = 2
Réduction : 3x² – x² = 2x² ; 4x – x = 3x ; constante : 6.
Expression réduite : 2x² + 3x + 6
Substitution : 2 × (2)² + 3 × 2 + 6 = 2 × 4 + 6 + 6 = 8 + 6 + 6 = 20
Exemple 3 : Calcule 5a – 2b + 3a + b pour a = 3 et b = 4
Réduction : 5a + 3a = 8a ; -2b + b = -b.
Expression réduite : 8a – b
Substitution : 8 × 3 – 4 = 24 – 4 = 20
Pour completer, decouvre notre cours sur multiplication de nombres relatifs.
Astuce
Pour vérifier ta réduction, choisis une valeur simple pour x (par exemple x = 1 ou x = 2) et calcule l’expression originale et l’expression réduite. Si les deux donnent le même résultat, ta réduction est correcte.
Erreurs fréquentes
️ Erreur fréquente
Additionner x et x² : 3x + 2x² ≠ 5x² et ≠ 5x³. Les termes x et x² ne sont pas semblables. Cette expression est déjà réduite, on ne peut pas la simplifier davantage.
️ Erreur fréquente
Oublier le signe – : Dans 8 – 3x + 2x, le terme -3x est négatif. On calcule -3x + 2x = -x (pas +x). Le signe fait partie du terme. Si tu oublies le signe, tout le calcul est faussé.
️ Erreur fréquente
Écrire 0x au lieu de supprimer le terme : Quand deux termes s’annulent (5x – 5x = 0x), on n’écrit pas « 0x » dans le résultat. On supprime simplement le terme. Exemple : 3x² + 5x – 5x + 2 se réduit à 3x² + 2 (pas 3x² + 0x + 2).
️ Erreur fréquente
Confondre coefficient et exposant : Dans 3x², le 3 est le coefficient (il multiplie x²) et le 2 est l’exposant (la puissance de x). Pour réduire 3x² + 5x², on additionne les coefficients : (3+5)x² = 8x². L’exposant ne change pas.
️ Erreur fréquente
Oublier que le coefficient de x est 1 : Quand on écrit « x », le coefficient est 1 (pas 0). Donc x + 3x = 1x + 3x = 4x. Et -x signifie -1x, donc -x + 5x = -1x + 5x = 4x.
Exercices corrigés
️ Exercice 1
Réduis les expressions suivantes :
a) 6x + 4x
b) 9a – 3a + 2a
c) 7y – y
Voir la correction
a) 6x + 4x = 10x (on additionne les coefficients : 6 + 4 = 10)
b) 9a – 3a + 2a = 8a (9 – 3 + 2 = 8)
c) 7y – y = 7y – 1y = 6y (7 – 1 = 6)
️ Exercice 2
Réduis les expressions suivantes :
a) 5x + 3 – 2x + 8
b) -4a + 7 + 6a – 10
c) 3b + 2a – b + 5a
Voir la correction
a) Termes en x : 5x – 2x = 3x. Constantes : 3 + 8 = 11. Résultat : 3x + 11
b) Termes en a : -4a + 6a = 2a. Constantes : 7 – 10 = -3. Résultat : 2a – 3
c) Termes en a : 2a + 5a = 7a. Termes en b : 3b – b = 2b. Résultat : 7a + 2b
️ Exercice 3
Réduis les expressions suivantes :
a) x² + 5x + 3x² – 2x + 1
b) 4x² – 4x² + 3x – 7
c) 2x³ + x² – x³ + 3x² + x
Voir la correction
a) Termes en x² : x² + 3x² = 4x². Termes en x : 5x – 2x = 3x. Constantes : 1. Résultat : 4x² + 3x + 1
b) Termes en x² : 4x² – 4x² = 0 (s’annulent). Termes en x : 3x. Constantes : -7. Résultat : 3x – 7
c) Termes en x³ : 2x³ – x³ = x³. Termes en x² : x² + 3x² = 4x². Termes en x : x. Résultat : x³ + 4x² + x
️ Exercice 4
Réduis puis calcule pour x = 3 :
a) 2x + 5x – 4 + 6
b) x² + 2x + 3x² – x + 5
Voir la correction
a) Réduction : 2x + 5x = 7x ; -4 + 6 = 2. Expression réduite : 7x + 2.
Pour x = 3 : 7 × 3 + 2 = 21 + 2 = 23
b) Réduction : x² + 3x² = 4x² ; 2x – x = x ; constante : 5. Expression réduite : 4x² + x + 5.
Pour x = 3 : 4 × 9 + 3 + 5 = 36 + 3 + 5 = 44
️ Exercice 5
Parmi ces expressions, lesquelles sont déjà réduites ? Pour celles qui ne le sont pas, réduis-les.
a) 3x + 2y
b) 4x + 5 + x
c) x² – 3x + 7
d) 6a – 2a + 3b + b
e) -2x²
Voir la correction
a) Déjà réduite. 3x et 2y ne sont pas semblables (lettres différentes), on ne peut pas simplifier.
b) Pas réduite. 4x + x = 5x. Résultat : 5x + 5
c) Déjà réduite. Les trois termes (x², -3x, 7) ont des parties littérales différentes.
d) Pas réduite. 6a – 2a = 4a ; 3b + b = 4b. Résultat : 4a + 4b
e) Déjà réduite. Un seul terme, rien à regrouper.
FAQ
Est-ce que l’ordre des termes dans le résultat a de l’importance ?
Mathématiquement, non : 2x + 3 et 3 + 2x sont la même expression. Mais la convention veut qu’on écrive les termes par degré décroissant : d’abord les termes en x² (ou x³, etc.), puis les termes en x, puis les constantes. Cette habitude facilite la lecture et la comparaison d’expressions.
Ce sujet est détaillé dans notre cours sur la factorisation en 3eme.
Peut-on réduire 3x × 2x ?
Attention, réduire concerne les additions et soustractions de termes semblables. 3x × 2x est un produit, pas une somme. On le calcule : 3 × 2 × x × x = 6x². Ici on ne « réduit » pas, on « multiplie ». Ce sont deux opérations différentes.
Comment savoir si une expression est déjà réduite ?
Une expression est réduite quand elle ne contient plus de termes semblables à regrouper. Si chaque partie littérale n’apparaît qu’une seule fois, l’expression est réduite. Par exemple, x² + 3x – 5 est réduite. Mais x² + 3x + 2x – 5 ne l’est pas (3x et 2x sont semblables).
Pourquoi x et x² ne sont pas semblables ?
Parce que x signifie « x à la puissance 1 » et x² signifie « x au carré » (x × x). Leurs valeurs sont différentes : pour x = 3, x vaut 3 et x² vaut 9. On ne peut pas additionner des quantités de nature différente, tout comme on ne peut pas additionner des mètres et des mètres carrés.
Réduire change-t-il la valeur de l’expression ?
Non, jamais. Réduire donne une expression équivalente. Quelle que soit la valeur choisie pour les variables, l’expression originale et l’expression réduite donnent le même résultat numérique. C’est ce qui te permet de vérifier ta réduction en substituant une valeur.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
