Les statistiques font leur entrée dans le programme de maths en 4ème. C’est un chapitre différent des autres parce qu’il ne s’agit plus de calculer des équations ou de démontrer des théorèmes : tu vas apprendre à collecter, organiser et représenter des données. Le vocabulaire est la base de tout. Si tu confonds « effectif » et « fréquence », ou si tu ne sais pas ce qu’est un caractère, tout le chapitre devient flou. Cet article te présente chaque notion avec des définitions claires, des tableaux, des exemples concrets et des exercices corrigés pour bien démarrer.
Vocabulaire : population, caractère, effectif, fréquence
Avant de faire le moindre calcul, il faut maîtriser quatre mots fondamentaux.
La population
La population est l’ensemble des individus (ou objets) sur lesquels porte l’étude statistique. Ce n’est pas forcément un groupe de personnes : une population peut être un ensemble de voitures, de résultats de lancers de dés, de notes d’un contrôle, etc.
Exemple : on étudie les notes obtenues par les 30 élèves d’une classe au dernier contrôle de maths. La population, c’est l’ensemble des 30 élèves.
Le caractère
Le caractère est la propriété étudiée sur chaque individu de la population. Il peut être :
- Quantitatif : il s’exprime par un nombre (une note, une taille, un âge, un poids).
- Qualitatif : il s’exprime par un mot ou une catégorie (une couleur, un sport pratiqué, une ville de naissance).
Un caractère quantitatif peut être discret (il prend des valeurs isolées, comme le nombre de frères et sœurs : 0, 1, 2, 3…) ou continu (il peut prendre n’importe quelle valeur dans un intervalle, comme la taille d’une personne).
L’effectif
L’effectif d’une valeur (ou d’une catégorie) est le nombre d’individus qui présentent cette valeur. L’effectif total est le nombre total d’individus de la population.
La fréquence
La fréquence d’une valeur est la proportion d’individus qui présentent cette valeur par rapport à l’effectif total. On la calcule ainsi :
Fréquence = effectif de la valeur ÷ effectif total
La fréquence est un nombre compris entre 0 et 1. Multipliée par 100, elle donne un pourcentage.
À retenir
Population = ensemble étudié. Caractère = propriété observée. Effectif = combien d’individus ont cette valeur. Fréquence = quelle proportion du total cela représente. La somme de toutes les fréquences est toujours égale à 1 (ou 100 %).
Tableau d’effectifs
Un tableau d’effectifs organise les données en associant chaque valeur du caractère à son effectif.
Exemple concret
On a interrogé 25 élèves sur leur sport préféré. Voici les résultats :
| Sport | Football | Basket | Tennis | Natation | Danse | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 8 | 5 | 4 | 3 | 5 | 25 |
On lit : 8 élèves préfèrent le football, 5 le basket, etc. L’effectif total est 25 (la somme de tous les effectifs).
Astuce
Vérifie toujours que la somme des effectifs correspond à l’effectif total annoncé dans l’énoncé. Si ça ne colle pas, tu as fait une erreur de comptage quelque part. C’est un contrôle rapide et indispensable.
Construire un tableau d’effectifs à partir de données brutes
Quand les données te sont fournies sous forme de liste (par exemple : football, tennis, basket, football, danse, football, natation…), tu dois compter les occurrences de chaque valeur. La méthode la plus fiable est de faire des bâtons de comptage :
Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur moyenne simple et ponderee.
- Liste chaque valeur possible dans une colonne.
- Parcours la liste de données en ajoutant un bâton à chaque fois que tu rencontres la valeur.
- Compte les bâtons pour obtenir les effectifs.
Tableau de fréquences
Calcul des fréquences
Reprenons l’exemple du sport préféré avec un effectif total de 25. On calcule la fréquence de chaque sport :
| Sport | Football | Basket | Tennis | Natation | Danse | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 8 | 5 | 4 | 3 | 5 | 25 |
| Fréquence | 8/25 = 0,32 | 5/25 = 0,20 | 4/25 = 0,16 | 3/25 = 0,12 | 5/25 = 0,20 | 1 |
| Fréquence en % | 32 % | 20 % | 16 % | 12 % | 20 % | 100 % |
À retenir
La somme de toutes les fréquences est toujours égale à 1 (ou 100 % si tu travailles en pourcentages). Si ta somme ne fait pas 1, vérifie tes calculs : il y a forcément une erreur.
Pourquoi utiliser les fréquences ?
Les fréquences permettent de comparer des séries de tailles différentes. Par exemple, si une classe de 25 élèves a 8 footballeurs et une classe de 32 élèves en a 10, les effectifs seuls ne suffisent pas pour comparer. Les fréquences, si : 8/25 = 0,32 contre 10/32 = 0,3125. La première classe a une proportion légèrement plus élevée de footballeurs.
Effectifs cumulés et fréquences cumulées
Les effectifs et fréquences cumulés ne s’utilisent que pour un caractère quantitatif (dont les valeurs sont ordonnées).
Effectif cumulé croissant
L’effectif cumulé croissant d’une valeur est la somme des effectifs de toutes les valeurs inférieures ou égales à cette valeur.
Exemple
Voici les notes (sur 10) obtenues par 20 élèves à un contrôle :
| Note | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 1 | 2 | 4 | 6 | 4 | 2 | 1 |
| Effectif cumulé croissant | 1 | 3 | 7 | 13 | 17 | 19 | 20 |
Comment lire ce tableau ? L’effectif cumulé de la note 6 est 7 : cela signifie que 7 élèves ont obtenu une note inférieure ou égale à 6 (1 a eu 4, 2 ont eu 5, et 4 ont eu 6 : 1 + 2 + 4 = 7).
Fréquence cumulée croissante
La fréquence cumulée croissante se calcule en divisant l’effectif cumulé par l’effectif total.
| Note | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Fréquence cumulée | 0,05 | 0,15 | 0,35 | 0,65 | 0,85 | 0,95 | 1 |
| En % | 5 % | 15 % | 35 % | 65 % | 85 % | 95 % | 100 % |
On lit : 65 % des élèves ont obtenu 7 ou moins. 85 % des élèves ont obtenu 8 ou moins.
Astuce
Le dernier effectif cumulé croissant est toujours égal à l’effectif total. La dernière fréquence cumulée croissante est toujours égale à 1 (ou 100 %). Si ce n’est pas le cas, tu as fait une erreur quelque part.
Représentations graphiques
Les statistiques ne servent pas qu’à remplir des tableaux. Elles servent surtout à visualiser les données. Trois types de graphiques sont au programme de 4ème.
Ce point est approfondi dans notre cours sur cours sur les pourcentages.
Le diagramme en barres (ou en bâtons)
Utilisé pour un caractère quantitatif discret ou qualitatif.
- Chaque valeur (ou catégorie) est représentée par une barre verticale.
- La hauteur de la barre correspond à l’effectif (ou à la fréquence).
- Les barres sont séparées par un espace (contrairement à l’histogramme).
- L’axe horizontal porte les valeurs du caractère, l’axe vertical porte les effectifs.
Par exemple, pour le sport préféré, chaque sport a sa barre et la hauteur indique le nombre d’élèves.
Le diagramme circulaire (ou « camembert »)
Utilisé pour montrer la répartition d’un caractère qualitatif ou quantitatif discret.
- Le cercle complet représente l’effectif total (100 %).
- Chaque catégorie occupe un secteur angulaire proportionnel à sa fréquence.
- L’angle du secteur = fréquence × 360°.
Par exemple, pour le football (fréquence = 0,32) : angle = 0,32 × 360° = 115,2°.
À retenir
Pour construire un diagramme circulaire : angle = fréquence × 360°. La somme de tous les angles doit donner 360°. Utilise un rapporteur pour tracer les secteurs avec précision.
| Sport | Fréquence | Angle |
|---|---|---|
| Football | 0,32 | 0,32 × 360 = 115,2° |
| Basket | 0,20 | 0,20 × 360 = 72° |
| Tennis | 0,16 | 0,16 × 360 = 57,6° |
| Natation | 0,12 | 0,12 × 360 = 43,2° |
| Danse | 0,20 | 0,20 × 360 = 72° |
| Total | 1 | 360° |
L’histogramme
Utilisé pour un caractère quantitatif continu, regroupé en classes (intervalles).
- Chaque classe est représentée par un rectangle.
- Les rectangles sont accolés (pas d’espace entre eux, contrairement au diagramme en barres).
- La largeur du rectangle correspond à l’amplitude de la classe.
- La hauteur (ou l’aire, si les classes sont de largeurs différentes) correspond à l’effectif.
Par exemple, pour les tailles des élèves regroupées en classes [140 ; 150[, [150 ; 160[, [160 ; 170[, etc., chaque rectangle couvre l’intervalle correspondant.
️ Erreur fréquente
Confondre diagramme en barres et histogramme. Le diagramme en barres a des barres séparées par des espaces (valeurs isolées). L’histogramme a des rectangles collés les uns aux autres (intervalles continus). Ce n’est pas qu’une question d’esthétique : le choix du graphique dépend de la nature du caractère étudié.
Astuce
Pour choisir le bon graphique, pose-toi deux questions. Le caractère est-il qualitatif ? Utilise un diagramme en barres ou un diagramme circulaire. Le caractère est-il quantitatif continu ? Utilise un histogramme. Le caractère est-il quantitatif discret ? Utilise un diagramme en bâtons.
Erreurs fréquentes
️ Erreur fréquente
Confondre effectif et fréquence. L’effectif est un nombre entier (par exemple, 8 élèves). La fréquence est un nombre décimal entre 0 et 1 (par exemple, 0,32). Si tu écris « la fréquence du football est 8 », c’est faux : 8 est l’effectif, pas la fréquence.
️ Erreur fréquente
Obtenir une somme de fréquences différente de 1. Si tu additionnes toutes les fréquences et que tu ne trouves pas 1 (ou 100 %), c’est qu’il y a une erreur d’arrondi ou de calcul. Revérifie chaque division. Astuce : calcule la dernière fréquence par soustraction (1 − somme des autres) pour éviter les problèmes d’arrondi.
️ Erreur fréquente
Oublier le titre et les légendes sur un graphique. Un graphique sans titre ni légendes ne communique rien. Indique toujours : un titre, les noms des axes, les unités, et une légende si nécessaire.
️ Erreur fréquente
Calculer un effectif cumulé pour un caractère qualitatif. Le cumul n’a de sens que si les valeurs sont ordonnées. Cumuler les effectifs des sports (football + basket + tennis…) ne veut rien dire car il n’y a pas d’ordre entre les sports. Les effectifs cumulés ne s’utilisent qu’avec des caractères quantitatifs.
Exercices corrigés
️ Exercice 1
On a relevé le nombre de livres lus pendant les vacances par 20 élèves : 0, 1, 2, 1, 3, 0, 2, 1, 1, 4, 2, 0, 1, 3, 2, 1, 0, 2, 1, 3. Construis le tableau d’effectifs.
Voir la correction
On compte les occurrences de chaque valeur :
Pour completer, decouvre notre cours sur tableaux et graphiques.
0 apparaît 4 fois. 1 apparaît 7 fois. 2 apparaît 5 fois. 3 apparaît 3 fois. 4 apparaît 1 fois.
| Nombre de livres | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 4 | 7 | 5 | 3 | 1 | 20 |
Vérification : 4 + 7 + 5 + 3 + 1 = 20. C’est correct.
️ Exercice 2
À partir du tableau de l’exercice 1, calcule les fréquences de chaque valeur (en fraction et en pourcentage).
Voir la correction
L’effectif total est 20. On divise chaque effectif par 20.
| Nombre de livres | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 4 | 7 | 5 | 3 | 1 | 20 |
| Fréquence | 4/20 = 0,20 | 7/20 = 0,35 | 5/20 = 0,25 | 3/20 = 0,15 | 1/20 = 0,05 | 1 |
| En % | 20 % | 35 % | 25 % | 15 % | 5 % | 100 % |
Vérification : 0,20 + 0,35 + 0,25 + 0,15 + 0,05 = 1. La somme est correcte.
️ Exercice 3
Avec les données de l’exercice 1, calcule les effectifs cumulés croissants.
Voir la correction
| Nombre de livres | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 4 | 7 | 5 | 3 | 1 |
| Effectif cumulé croissant | 4 | 11 | 16 | 19 | 20 |
Calculs : 4 ; 4+7=11 ; 11+5=16 ; 16+3=19 ; 19+1=20.
Le dernier effectif cumulé (20) est bien égal à l’effectif total. C’est correct.
Lecture : 11 élèves ont lu 1 livre ou moins. 16 élèves ont lu 2 livres ou moins.
️ Exercice 4
On souhaite représenter la répartition des sports préférés par un diagramme circulaire. Calcule l’angle de chaque secteur pour les données suivantes : Football (effectif 10), Basket (effectif 6), Tennis (effectif 4), sur un effectif total de 20.
Voir la correction
On calcule d’abord les fréquences, puis les angles (fréquence × 360°).
Football : fréquence = 10/20 = 0,5. Angle = 0,5 × 360 = 180°.
Basket : fréquence = 6/20 = 0,3. Angle = 0,3 × 360 = 108°.
Tennis : fréquence = 4/20 = 0,2. Angle = 0,2 × 360 = 72°.
Vérification : 180 + 108 + 72 = 360°. C’est correct.
Ce sujet est détaillé dans notre caracteristiques de position en 3eme.
Le football occupe la moitié du disque (180°), ce qui correspond à sa fréquence de 50 %.
️ Exercice 5
Dans une entreprise de 40 salariés, 12 viennent en voiture, 8 en bus, 14 en vélo et 6 à pied. Indique pour chaque moyen de transport : le caractère étudié, le type de caractère, l’effectif et la fréquence (en fraction simplifiée et en pourcentage).
Voir la correction
Population : les 40 salariés de l’entreprise.
Caractère étudié : le moyen de transport utilisé pour venir au travail.
Type de caractère : qualitatif (les valeurs sont des catégories, pas des nombres).
| Transport | Voiture | Bus | Vélo | À pied | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 12 | 8 | 14 | 6 | 40 |
| Fréquence | 12/40 = 3/10 | 8/40 = 1/5 | 14/40 = 7/20 | 6/40 = 3/20 | 1 |
| En % | 30 % | 20 % | 35 % | 15 % | 100 % |
Vérification : 3/10 + 1/5 + 7/20 + 3/20 = 6/20 + 4/20 + 7/20 + 3/20 = 20/20 = 1. Correct.
Le vélo est le moyen de transport le plus utilisé (35 %), suivi de la voiture (30 %).
FAQ
Quelle est la différence entre effectif et fréquence ?
L’effectif est un nombre entier qui compte combien d’individus ont une certaine valeur. La fréquence est un nombre décimal (entre 0 et 1) qui indique la proportion de ces individus par rapport au total. Pour passer de l’effectif à la fréquence, tu divises l’effectif par l’effectif total. Pour passer de la fréquence à l’effectif, tu multiplies la fréquence par l’effectif total.
Pourquoi la somme des fréquences fait toujours 1 ?
Parce que chaque individu de la population appartient à exactement une catégorie. Si tu additionnes les proportions de toutes les catégories, tu obtiens la proportion totale de la population, c’est-à-dire 1 (= 100 %). Si ça ne fait pas 1, c’est qu’il manque une catégorie, ou qu’un individu a été compté deux fois, ou qu’il y a une erreur de calcul.
Quand utiliser un diagramme circulaire plutôt qu’un diagramme en barres ?
Le diagramme circulaire est idéal quand tu veux montrer comment un tout se répartit en parts. Il est parlant quand il y a peu de catégories (5 ou 6 maximum). Au-delà, le « camembert » devient difficile à lire. Le diagramme en barres est meilleur quand tu veux comparer les effectifs ou quand il y a beaucoup de catégories. Les deux sont corrects, mais le choix dépend de ce que tu veux mettre en évidence.
Peut-on calculer des effectifs cumulés pour un caractère qualitatif ?
Non, les effectifs cumulés n’ont de sens que pour un caractère quantitatif (dont les valeurs sont ordonnées). Cumuler « football + basket + tennis » n’a aucune signification car il n’existe pas d’ordre naturel entre ces sports. En revanche, cumuler les notes (4 + 5 + 6 + …) a du sens car les notes sont ordonnées de la plus basse à la plus haute.
Les statistiques sont-elles au programme du brevet ?
Oui, les statistiques constituent une part importante du programme de 3ème et sont régulièrement présentes au brevet. En 4ème, tu apprends les bases (effectifs, fréquences, représentations graphiques). En 3ème, tu approfondiras avec la moyenne, la médiane et l’étendue. Au brevet, tu peux retrouver un exercice complet de statistiques avec lecture de graphique, calculs de fréquences et interprétation des résultats.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
