Le triangle est la figure géométrique la plus simple qu’on puisse construire avec des segments : trois côtés, trois sommets, trois angles. En 6ème, tu vas apprendre à reconnaître les différents types de triangles, à les construire à la règle et au compas, à utiliser l’inégalité triangulaire et à calculer leur périmètre et leur aire. Ce cours complet reprend toutes les notions du programme avec des tableaux comparatifs, des exemples détaillés et des exercices corrigés pour que tu deviennes un pro des triangles.
Qu’est-ce qu’un triangle ?
Définition
Un triangle est une figure géométrique fermée composée de trois segments de droite qui se rejoignent deux à deux. Ces segments forment trois côtés et délimitent une surface plane. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur les codages en géométrie.
Le vocabulaire du triangle
Un triangle est défini par trois éléments :
- Les sommets : ce sont les trois points de jonction des côtés. On les note avec des lettres majuscules (A, B, C). Le triangle s’appelle alors « triangle ABC » et on le note ABC.
- Les côtés : ce sont les trois segments qui relient les sommets. Le côté [AB] est le segment reliant A et B, le côté [BC] relie B et C, le côté [AC] relie A et C.
- Les angles : en chaque sommet, les deux côtés qui s’y rencontrent forment un angle. L’angle en A est noté (ou BAC), l’angle en B est noté (ou ABC), l’angle en C est noté (ou ACB).
À retenir
Un triangle a toujours 3 sommets, 3 côtés et 3 angles. Le côté opposé à un sommet est le côté qui ne touche pas ce sommet. Par exemple, le côté opposé au sommet A est le côté [BC].
Nommer un triangle
On nomme un triangle en citant ses trois sommets dans l’ordre que l’on veut : triangle ABC, triangle BCA, triangle CAB… c’est toujours le même triangle. L’ordre des lettres n’a pas d’importance pour la figure, mais en pratique on suit souvent le sens des aiguilles d’une montre ou le sens inverse.
Astuce
Pour retrouver le côté opposé à un sommet, cache le sommet avec ton doigt : les deux sommets restants forment le côté opposé. Cache A → côté [BC]. Cache B → côté [AC]. Cache C → côté [AB].
Les différents types de triangles
Tous les triangles n’ont pas les mêmes propriétés. Voici les quatre types que tu dois connaître en 6ème, résumés dans un tableau comparatif.
| Type de triangle | Propriété des côtés | Propriété des angles | Particularités |
|---|---|---|---|
| Quelconque | Aucun côté égal | Aucun angle particulier | Aucune symétrie |
| Isocèle | Deux côtés égaux | Les deux angles à la base sont égaux | 1 axe de symétrie |
| Équilatéral | Trois côtés égaux | Trois angles de 60° | 3 axes de symétrie |
| Rectangle | Pas de condition sur les côtés | Un angle droit (90°) | Le plus grand côté est l’hypoténuse |
Le triangle quelconque
Un triangle quelconque n’a aucune propriété particulière : ses trois côtés ont des longueurs différentes et ses trois angles sont différents. C’est le cas « général ». Pour aller plus loin, consultez notre cours sur le quadrilatère rectangle.
Le triangle isocèle
Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Ces deux côtés égaux s’appellent les côtés latéraux. Le troisième côté s’appelle la base. Les deux angles adjacents à la base (les angles à la base) sont toujours égaux.
Exemple : un triangle ABC avec AB = AC est isocèle en A. Les angles en B et en C sont égaux.
Le triangle équilatéral
Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur. Conséquence : ses trois angles sont tous égaux à 60° (car 180° ÷ 3 = 60°). C’est un cas particulier du triangle isocèle : il est isocèle par rapport à chacun de ses sommets.
Le triangle rectangle
Un triangle rectangle possède un angle droit (90°). Le côté opposé à l’angle droit est le plus long côté et s’appelle l’hypoténuse. Les deux autres côtés s’appellent les côtés de l’angle droit.
Exemple : un triangle ABC rectangle en B a un angle droit en B. L’hypoténuse est [AC].
Astuce
Un triangle peut cumuler plusieurs types : un triangle rectangle isocèle a un angle droit et deux côtés égaux (les côtés de l’angle droit). Ses angles mesurent 90°, 45° et 45°. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur la construction de la médiatrice.
Construire un triangle (règle + compas, 3 cas : SSS, SAS, ASA)
Construire un triangle signifie le dessiner avec précision à l’aide de la règle, du compas et éventuellement du rapporteur. En 6ème, tu rencontres trois situations principales.
Cas 1 : On connaît les trois côtés (SSS — Side, Side, Side)
Exemple : construis le triangle ABC tel que AB = 5 cm, BC = 4 cm et AC = 3 cm.
- Trace le segment [AB] de 5 cm avec ta règle. Tu as placé A et B.
- Ouvre ton compas à 3 cm (= AC). Plante la pointe sur A et trace un arc de cercle.
- Ouvre ton compas à 4 cm (= BC). Plante la pointe sur B et trace un arc de cercle.
- Les deux arcs se coupent en un point : c’est C. Relie A à C et B à C.
Cas 2 : On connaît deux côtés et l’angle entre eux (SAS — Side, Angle, Side)
Exemple : construis le triangle ABC tel que AB = 6 cm, angle en A = 40° et AC = 4 cm.
- Trace le segment [AB] de 6 cm.
- Place le rapporteur au point A, centre sur le segment [AB]. Repère la graduation 40° et fais une marque.
- Trace une demi-droite partant de A et passant par cette marque.
- Sur cette demi-droite, reporte 4 cm à partir de A : tu obtiens le point C.
- Relie B à C.
Cas 3 : On connaît un côté et les deux angles adjacents (ASA — Angle, Side, Angle)
Exemple : construis le triangle ABC tel que AB = 5 cm, angle en A = 50° et angle en B = 60°.
- Trace le segment [AB] de 5 cm.
- Au point A, construis un angle de 50° avec le rapporteur et trace une demi-droite.
- Au point B, construis un angle de 60° et trace une demi-droite.
- Les deux demi-droites se coupent : leur point d’intersection est C.
À retenir
Pour construire un triangle de manière unique, tu as besoin d’au moins trois informations parmi les côtés et les angles (mais pas trois angles seuls, car cela ne fixe pas la taille). Les trois cas SSS, SAS et ASA garantissent un triangle unique.
️ Erreur fréquente
Quand tu construis un triangle avec le compas, vérifie toujours que les arcs de cercle se coupent bien. S’ils ne se croisent pas, c’est que le triangle est impossible (tu rencontreras ce problème avec l’inégalité triangulaire, juste après).
L’inégalité triangulaire
L’inégalité triangulaire est une règle qui te dit si un triangle peut exister ou non. C’est une notion souvent absente des cours concurrents, mais elle est au programme de 6ème et très utile. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur l’inégalité triangulaire en 5ème.
À retenir
Inégalité triangulaire : Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
Autrement dit, pour un triangle ABC : AB < AC + BC, AC < AB + BC, BC < AB + AC.
Comment vérifier si un triangle est constructible ?
En pratique, il suffit de vérifier que le plus grand côté est strictement inférieur à la somme des deux autres.
Exemple 1 : Peut-on construire un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm ?
- Le plus grand côté est 5 cm.
- La somme des deux autres : 3 + 4 = 7 cm.
- 5 < 7 → Oui, le triangle est constructible.
Exemple 2 : Peut-on construire un triangle de côtés 2 cm, 3 cm et 8 cm ?
- Le plus grand côté est 8 cm.
- La somme des deux autres : 2 + 3 = 5 cm.
- 8 > 5 → Non, le triangle n’est pas constructible. Les deux petits côtés ne se rejoindront jamais.
Exemple 3 : Peut-on construire un triangle de côtés 4 cm, 4 cm et 8 cm ?
- Le plus grand côté est 8 cm.
- La somme des deux autres : 4 + 4 = 8 cm.
- 8 = 8 → Non, le triangle n’est pas constructible (il faut strictement inférieur). On obtiendrait un segment « plat », pas un vrai triangle.
Astuce
Pense à une promenade : pour aller de A à C, le chemin direct (côté AC) est toujours plus court que le détour par B (côtés AB + BC). C’est l’inégalité triangulaire ! « Le raccourci est toujours plus court que le détour. »
La somme des angles d’un triangle = 180°
C’est une des propriétés les plus célèbres de la géométrie :
À retenir
La somme des trois angles d’un triangle est toujours égale à 180°. Cette propriété est vraie pour TOUS les triangles, sans exception.
Comment l’utiliser ?
Si tu connais deux angles, tu peux calculer le troisième :
Exemple : un triangle ABC a un angle en A de 70° et un angle en B de 55°. Quel est l’angle en C ?
Angle en C = 180° − 70° − 55° = 55°
Applications aux types de triangles
- Triangle rectangle : un angle vaut 90°, donc la somme des deux autres vaut 90°. Exemple : 90° + 45° + 45° = 180°.
- Triangle équilatéral : les trois angles sont égaux → 180° ÷ 3 = 60° chacun.
- Triangle isocèle : les deux angles à la base sont égaux. Si l’angle au sommet vaut 80°, chaque angle à la base vaut (180° − 80°) ÷ 2 = 50°.
️ Erreur fréquente
Si tu trouves une somme d’angles supérieure ou inférieure à 180°, c’est que tu as fait une erreur de mesure ou de calcul. Relis tes données. Un triangle avec des angles de 90°, 60° et 50° = 200° n’existe pas !
Les hauteurs d’un triangle
Définition
La hauteur d’un triangle issue d’un sommet est le segment qui va de ce sommet au côté opposé (ou à son prolongement) en formant un angle droit.
Un triangle a trois hauteurs : une issue de A (perpendiculaire à [BC]), une issue de B (perpendiculaire à [AC]), une issue de C (perpendiculaire à [AB]).
À retenir
Les trois hauteurs d’un triangle se coupent toujours en un même point appelé l’orthocentre. Ce point peut être à l’intérieur du triangle (triangle acutangle), sur un sommet (triangle rectangle) ou à l’extérieur (triangle obtusangle).
Construire une hauteur
- Identifie le sommet depuis lequel tu traces la hauteur (par exemple, A).
- Identifie le côté opposé (ici, [BC]).
- Place ton équerre avec un côté de l’angle droit le long de [BC] et l’autre côté passant par A.
- Trace le segment perpendiculaire de A jusqu’à [BC]. Le point d’intersection s’appelle le pied de la hauteur (souvent noté H).
Cas particulier : le triangle rectangle
Dans un triangle rectangle (par exemple rectangle en B), deux des trois hauteurs sont déjà tracées : ce sont les deux côtés de l’angle droit ([BA] et [BC]). L’orthocentre est confondu avec le sommet de l’angle droit (ici, B).
Cas du triangle obtusangle
Si le triangle a un angle obtus (supérieur à 90°), certaines hauteurs tombent en dehors du triangle. Il faut alors prolonger le côté opposé pour tracer la perpendiculaire. C’est un piège fréquent dans les constructions.
️ Erreur fréquente
La hauteur n’est PAS la médiane (segment qui va d’un sommet au milieu du côté opposé) et n’est PAS la médiatrice (droite perpendiculaire au milieu du côté). La hauteur est perpendiculaire au côté opposé mais ne passe pas forcément par son milieu (sauf dans un triangle isocèle pour la hauteur issue du sommet principal).
Périmètre et aire d’un triangle
Le périmètre
Le périmètre est la somme des longueurs des trois côtés :
À retenir
Périmètre = AB + BC + AC
Exemple : un triangle de côtés 5 cm, 7 cm et 9 cm a un périmètre de 5 + 7 + 9 = 21 cm.
Pour un triangle équilatéral de côté c : Périmètre = 3 × c.
L’aire
L’aire (la surface intérieure) d’un triangle se calcule avec la formule :
À retenir
Aire = (base × hauteur) ÷ 2
La base est un côté du triangle et la hauteur est la perpendiculaire abaissée du sommet opposé sur cette base.
Tu peux choisir n’importe quel côté comme base, à condition de prendre la hauteur correspondante. Le résultat sera toujours le même.
Exemple : un triangle a une base de 8 cm et une hauteur correspondante de 5 cm.
Aire = (8 × 5) ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20 cm²
| Base choisie | Hauteur correspondante | Aire |
|---|---|---|
| BC = 8 cm | Hauteur issue de A = 5 cm | (8 × 5) ÷ 2 = 20 cm² |
| AB = 6 cm | Hauteur issue de C = 6,67 cm | (6 × 6,67) ÷ 2 ≈ 20 cm² |
Quelle que soit la base choisie, on retrouve la même aire. C’est une bonne méthode de vérification.
Astuce
Pour retenir la formule de l’aire, souviens-toi que le triangle est la « moitié » d’un rectangle. Un rectangle de même base et même hauteur aurait une aire de base × hauteur. Le triangle en occupe exactement la moitié, d’où le « ÷ 2 ».
Erreurs fréquentes
Erreur n°1 : Confondre hauteur et côté
La hauteur n’est pas un côté du triangle (sauf dans un triangle rectangle, où les deux côtés de l’angle droit servent de hauteurs). Pour calculer l’aire, tu as besoin d’un côté (la base) ET de la hauteur perpendiculaire à ce côté, pas de deux côtés quelconques.
Erreur n°2 : Oublier de diviser par 2 dans le calcul de l’aire
Si tu calcules base × hauteur sans diviser par 2, tu obtiens l’aire du rectangle, pas celle du triangle. N’oublie jamais le « ÷ 2 ».
Erreur n°3 : Appliquer l’inégalité triangulaire à l’envers
La règle dit que le plus grand côté doit être inférieur à la somme des deux autres. Certains élèves vérifient la mauvaise inégalité ou utilisent « supérieur » au lieu d’ »inférieur ».
Erreur n°4 : Penser qu’un triangle isocèle a trois côtés égaux
Non, ça c’est un triangle équilatéral. Un triangle isocèle a exactement deux côtés égaux. Un triangle équilatéral est un cas particulier de triangle isocèle, mais un triangle isocèle n’est pas forcément équilatéral.
Erreur n°5 : Se fier à l’apparence du dessin
Un triangle qui « semble » avoir un angle droit n’est pas forcément rectangle. Seules les données numériques (mesures des angles ou théorème de Pythagore en 4ème) permettent de conclure. Ne mesure pas sur le dessin pour justifier une propriété.
Exercices corrigés
️ Exercice 1
Peut-on construire un triangle dont les côtés mesurent 5 cm, 3 cm et 9 cm ? Justifie ta réponse.
Voir la correction
Le plus grand côté mesure 9 cm. La somme des deux autres côtés : 5 + 3 = 8 cm. Or, 9 > 8. L’inégalité triangulaire n’est pas vérifiée : ce triangle n’est pas constructible.
️ Exercice 2
Un triangle ABC a un angle en A de 62° et un angle en B de 73°. Calcule l’angle en C. Quel est le type de ce triangle ?
Voir la correction
Angle en C = 180° − 62° − 73° = 45°.
Les trois angles (62°, 73°, 45°) sont tous différents et aucun ne vaut 90°. Ce triangle est un triangle quelconque (ni rectangle, ni isocèle, ni équilatéral).
️ Exercice 3
Calcule l’aire d’un triangle dont la base mesure 12 cm et la hauteur correspondante mesure 7 cm.
Voir la correction
Aire = (base × hauteur) ÷ 2 = (12 × 7) ÷ 2 = 84 ÷ 2 = 42 cm².
️ Exercice 4
Un triangle isocèle ABC a deux côtés égaux AB = AC = 10 cm et une base BC = 6 cm. Quel est son périmètre ? Si l’angle au sommet A vaut 34°, quels sont les angles en B et en C ?
Voir la correction
Périmètre : P = AB + AC + BC = 10 + 10 + 6 = 26 cm.
Angles : le triangle est isocèle en A, donc les angles en B et en C sont égaux.
Angle B = Angle C = (180° − 34°) ÷ 2 = 146° ÷ 2 = 73°.
Vérification : 34° + 73° + 73° = 180°
️ Exercice 5
Parmi les triplets de longueurs suivants, lesquels permettent de construire un triangle ?
a) 4 cm, 5 cm, 6 cm
b) 1 cm, 2 cm, 5 cm
c) 7 cm, 7 cm, 7 cm
d) 3 cm, 4 cm, 7 cm
Voir la correction
On vérifie à chaque fois si le plus grand côté est strictement inférieur à la somme des deux autres.
a) Plus grand côté : 6. Somme des autres : 4 + 5 = 9. 6 < 9 → OUI, constructible.
b) Plus grand côté : 5. Somme des autres : 1 + 2 = 3. 5 > 3 → NON, pas constructible.
c) Plus grand côté : 7. Somme des autres : 7 + 7 = 14. 7 < 14 → OUI, constructible (triangle équilatéral).
d) Plus grand côté : 7. Somme des autres : 3 + 4 = 7. 7 = 7 → NON, pas constructible (les trois points seraient alignés).
FAQ
Quelle est la différence entre un triangle isocèle et un triangle équilatéral ?
Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Un triangle équilatéral a trois côtés de même longueur. Tout triangle équilatéral est isocèle (il a bien deux côtés égaux — et même trois), mais un triangle isocèle n’est pas forcément équilatéral.
Comment savoir quel côté est l’hypoténuse ?
L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C’est toujours le plus long côté du triangle rectangle. Si le triangle est rectangle en B, l’hypoténuse est [AC] (le côté qui ne touche pas B).
Peut-on avoir un triangle avec deux angles droits ?
Non, car deux angles droits feraient déjà 90° + 90° = 180°. Il ne resterait plus rien pour le troisième angle (il vaudrait 0°), ce qui est impossible. Un triangle a au maximum un seul angle droit.
Pourquoi la somme des angles fait toujours 180° ?
Tu peux le vérifier toi-même : découpe un triangle en papier, déchire les trois coins et place-les côte à côte. Ils forment un angle plat (180°). La démonstration mathématique repose sur les propriétés des droites parallèles et des angles alternes-internes, que tu verras en détail au collège.
Qu’est-ce qu’un triangle obtusangle ?
Un triangle obtusangle est un triangle qui possède un angle obtus, c’est-à-dire un angle supérieur à 90°. Par exemple, un triangle avec des angles de 120°, 35° et 25° est obtusangle. Un triangle peut être obtusangle et isocèle à la fois (par exemple, avec des angles de 100°, 40° et 40°).
Articles de 6ème à découvrir
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
