Quadrilatères – Cours de Maths 6ème

Les quadrilatères sont partout autour de toi : la forme de ton cahier, le plateau de ta table, le losange sur un panneau de signalisation, la forme d’un cerf-volant. En 6ème, tu dois savoir reconnaître, nommer et décrire les principaux quadrilatères, connaître leurs propriétés sur les côtés, les angles et les diagonales, et comprendre les liens qui les unissent. Ce cours complet passe en revue le carré, le rectangle, le losange, le parallélogramme et le trapèze avec des définitions précises, des propriétés détaillées, un tableau comparatif synthétique, des constructions pas à pas et des exercices corrigés pour tout maîtriser avant ton contrôle.

Qu’est-ce qu’un quadrilatère ?

Un quadrilatère est un polygone qui possède exactement quatre côtés, quatre sommets et quatre angles. Le mot vient du latin « quadri » (quatre) et « latus » (côté). Tout polygone à quatre côtés est un quadrilatère, qu’il soit régulier ou complètement quelconque. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur les triangles et leurs définitions.

Les sommets sont généralement notés avec des lettres majuscules : A, B, C, D. On nomme le quadrilatère en listant ses sommets dans l’ordre, en parcourant le contour de la figure : on parle du quadrilatère ABCD.

• Les côtés sont les segments [AB], [BC], [CD] et [DA]
• Les diagonales sont les segments [AC] et [BD], qui relient deux sommets non consécutifs
• Les angles sont mesurés en chaque sommet, à l’intérieur de la figure

Parmi tous les quadrilatères possibles, certains possèdent des propriétés remarquables qui les rendent spéciaux. Ce sont ceux que tu vas étudier dans la suite de ce cours : le parallélogramme, le rectangle, le losange, le carré et le trapèze.

Le parallélogramme

Le parallélogramme est la figure de référence dont découlent le rectangle, le losange et le carré. Sa définition repose sur le parallélisme de ses côtés, et il possède un grand nombre de propriétés que tu retrouveras dans toutes les figures qui en héritent.

Définition du parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Dans le parallélogramme ABCD, on a la droite (AB) parallèle à la droite (DC) et la droite (AD) parallèle à la droite (BC).

Propriétés des côtés

Les côtés opposés d’un parallélogramme ne sont pas seulement parallèles : ils sont aussi de même longueur. On a donc : Pour aller plus loin, consultez notre cours sur les parallèles et perpendiculaires.

• AB = DC
• AD = BC

Cette propriété est réciproque : si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur, alors c’est un parallélogramme. Cette réciproque est très utile dans les exercices de démonstration.

Propriétés des angles

Dans un parallélogramme :

• Les angles opposés sont égaux
• Les angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme vaut 180°)

Concrètement, si l’angle en A mesure 70°, alors l’angle en C mesure aussi 70°, tandis que les angles en B et en D mesurent chacun 110° (car 70 + 110 = 180).

Propriétés des diagonales

Cette propriété est fondamentale et te servira dans de nombreux exercices pour prouver qu’un point est un milieu ou qu’un quadrilatère est un parallélogramme.

Le rectangle

Le rectangle est probablement le quadrilatère que tu rencontres le plus souvent dans la vie courante : feuille de papier, écran de téléphone, porte, fenêtre. Il fait partie de la famille des parallélogrammes, avec une propriété supplémentaire sur ses angles.

Définition du rectangle

Un rectangle est un quadrilatère qui possède quatre angles droits. Chacun de ses angles mesure exactement 90°.

Le rectangle est un parallélogramme particulier

Puisque ses angles opposés sont égaux (tous valent 90°) et que ses angles consécutifs sont supplémentaires (90 + 90 = 180), le rectangle vérifie toutes les propriétés du parallélogramme :

• Ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur
• Ses diagonales se coupent en leur milieu
• Il possède un centre de symétrie (le point d’intersection des diagonales)

Propriété spécifique des diagonales du rectangle

En plus de se couper en leur milieu, les diagonales du rectangle ont une propriété supplémentaire capitale :

Axes de symétrie du rectangle

Le rectangle possède deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés. Ce sont les droites qui passent par les milieux des côtés opposés, perpendiculairement à ces côtés.

Le losange

Le losange est un quadrilatère que tu reconnais facilement à sa forme de « diamant ». Tu le retrouves sur les cartes à jouer (le carreau), les panneaux de signalisation prioritaire et dans de nombreux motifs décoratifs.

Définition du losange

Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur. On a AB = BC = CD = DA. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur les propriétés du rectangle en 5ème.

Le losange est un parallélogramme particulier

Puisque ses côtés opposés sont de même longueur (ils sont même tous les quatre égaux), le losange est un parallélogramme. Il hérite de toutes les propriétés correspondantes :

• Côtés opposés parallèles
• Angles opposés égaux
• Angles consécutifs supplémentaires
• Diagonales qui se coupent en leur milieu
• Centre de symétrie au croisement des diagonales

Propriété spécifique des diagonales du losange

Axes de symétrie du losange

Le losange possède deux axes de symétrie : ses diagonales. Chaque diagonale coupe la figure en deux moitiés parfaitement superposables. C’est l’inverse du rectangle, dont les axes de symétrie sont les médiatrices des côtés et non les diagonales.

Le carré

Le carré est le quadrilatère le plus régulier qui existe. Il cumule toutes les propriétés du rectangle et du losange à la fois. C’est le cas particulier ultime parmi les parallélogrammes.

Définition du carré

Un carré est un quadrilatère qui possède quatre côtés de même longueur et quatre angles droits. On peut aussi le définir comme un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange.

Propriétés héritées du rectangle et du losange

Puisque le carré est un rectangle, il possède :

• Quatre angles droits (90° chacun)
• Des diagonales de même longueur qui se coupent en leur milieu

Puisque le carré est un losange, il possède aussi :

• Quatre côtés de même longueur
• Des diagonales perpendiculaires

Axes de symétrie du carré

Le carré possède quatre axes de symétrie :

• Les deux médiatrices des côtés (héritées du rectangle)
• Les deux diagonales (héritées du losange)

C’est le quadrilatère qui possède le plus grand nombre d’axes de symétrie. Il a aussi un centre de symétrie, comme tous les parallélogrammes.

Le trapèze

Le trapèze est un quadrilatère un peu à part. Contrairement au rectangle, au losange et au carré, il ne fait pas partie de la famille des parallélogrammes.

Définition du trapèze

Un trapèze est un quadrilatère qui possède exactement une paire de côtés parallèles. Ces deux côtés parallèles s’appellent les bases du trapèze : la plus longue est la grande base, la plus courte est la petite base. Les deux autres côtés sont les côtés latéraux.

La hauteur du trapèze est la distance perpendiculaire entre les deux bases.

Les trapèzes particuliers

Il existe deux types de trapèzes remarquables que tu dois connaître :

Le trapèze isocèle possède ses deux côtés latéraux de même longueur. Ses propriétés :

• Il a un axe de symétrie : la médiatrice des deux bases
• Ses diagonales sont de même longueur
• Les angles adjacents à chaque base sont égaux entre eux

Le trapèze rectangle possède deux angles droits. Un de ses côtés latéraux est perpendiculaire aux deux bases. Ce côté perpendiculaire sert alors directement de hauteur.

Les liens entre les quadrilatères particuliers

Les quadrilatères particuliers forment une hiérarchie où chaque figure hérite des propriétés de la catégorie au-dessus d’elle. Comprendre ces liens, c’est comprendre toute la logique de ce chapitre.

Voici les relations d’inclusion :

• Le carré est un rectangle particulier (rectangle dont tous les côtés sont égaux)
• Le carré est aussi un losange particulier (losange dont tous les angles sont droits)
• Le rectangle est un parallélogramme particulier (parallélogramme avec un angle droit)
• Le losange est un parallélogramme particulier (parallélogramme avec deux côtés consécutifs égaux)
• Le parallélogramme est un quadrilatère particulier (deux paires de côtés parallèles)
• Le trapèze est un quadrilatère particulier (une seule paire de côtés parallèles)

Tableau comparatif des quadrilatères

Ce tableau récapitule toutes les propriétés des cinq quadrilatères particuliers. C’est ta fiche de révision idéale avant un contrôle.

Propriété	Parallélogramme	Rectangle	Losange	Carré	Trapèze
Côtés opposés parallèles	2 paires	2 paires	2 paires	2 paires	1 paire
Côtés opposés égaux	Oui	Oui	Oui (tous égaux)	Oui (tous égaux)	Non
4 côtés égaux	Non	Non	Oui	Oui	Non
4 angles droits	Non	Oui	Non	Oui	Non
Angles opposés égaux	Oui	Oui	Oui	Oui	Non
Diagonales se coupent en leur milieu	Oui	Oui	Oui	Oui	Non
Diagonales de même longueur	Non	Oui	Non	Oui	Non (sauf isocèle)
Diagonales perpendiculaires	Non	Non	Oui	Oui	Non
Axes de symétrie	0	2	2	4	0 (1 si isocèle)
Centre de symétrie	Oui	Oui	Oui	Oui	Non

Comment reconnaître un quadrilatère particulier

Lors d’un exercice, on te donne un quadrilatère avec certaines informations (mesures de côtés, d’angles, propriétés des diagonales) et tu dois déterminer sa nature exacte. Voici les deux méthodes principales.

Méthode par les côtés et les angles

1. Si les quatre côtés sont égaux et les quatre angles sont droits : c’est un carré
2. Si les quatre côtés sont égaux mais les angles ne sont pas tous droits : c’est un losange
3. Si les côtés opposés sont égaux et les quatre angles sont droits : c’est un rectangle
4. Si les côtés opposés sont égaux mais les angles ne sont pas tous droits : c’est un parallélogramme
5. Si une seule paire de côtés est parallèle : c’est un trapèze

Méthode par les diagonales

1. Diagonales qui se coupent en leur milieu, de même longueur et perpendiculaires : carré
2. Diagonales qui se coupent en leur milieu et de même longueur (pas perpendiculaires) : rectangle
3. Diagonales qui se coupent en leur milieu et perpendiculaires (pas de même longueur) : losange
4. Diagonales qui se coupent en leur milieu uniquement : parallélogramme

Périmètre et aire des quadrilatères

Tu dois connaître les formules de périmètre et d’aire pour chacun des quadrilatères du programme de 6ème.

Formules du périmètre

Le périmètre est la longueur totale du contour de la figure.

• Carré de côté c : P = 4 × c
• Rectangle de longueur L et largeur l : P = 2 × (L + l)
• Losange de côté c : P = 4 × c (même formule que le carré)
• Parallélogramme de côtés a et b : P = 2 × (a + b)
• Trapèze de côtés a, b, c et d : P = a + b + c + d (somme des quatre côtés)

Formules de l’aire

• Carré de côté c : A = c²
• Rectangle de longueur L et largeur l : A = L × l
• Losange de diagonales d et D : A = (d × D) ÷ 2
• Parallélogramme de base b et hauteur h : A = b × h
• Trapèze de bases B et b, hauteur h : A = (B + b) × h ÷ 2

Construire les quadrilatères à la règle et au compas

Savoir tracer un quadrilatère avec les instruments de géométrie est un savoir-faire attendu en 6ème. Voici la méthode pour chaque figure.

Construire un rectangle de longueur 6 cm et largeur 3 cm

1. Trace un segment [AB] de 6 cm à la règle
2. Avec l’équerre, trace une perpendiculaire à [AB] en A et reporte 3 cm pour obtenir le point D
3. Fais la même chose en B : perpendiculaire et 3 cm pour obtenir C
4. Relie D et C à la règle et vérifie que DC = 6 cm

Construire un losange connaissant ses diagonales

1. Trace un segment [AC] correspondant à la première diagonale
2. Construis la médiatrice de [AC] (perpendiculaire passant par le milieu O)
3. Sur cette médiatrice, de part et d’autre de O, reporte la moitié de la seconde diagonale pour obtenir B et D
4. Relie A, B, C, D dans l’ordre

Construire un carré de côté 4 cm

1. Trace un segment [AB] de 4 cm
2. Construis un angle droit en A avec l’équerre et reporte 4 cm pour obtenir D
3. Construis un angle droit en B et reporte 4 cm pour obtenir C
4. Relie D et C. Vérifie que les quatre côtés mesurent 4 cm

Construire un parallélogramme connaissant deux côtés et un angle

1. Trace un segment [AB] de la longueur du premier côté
2. En A, trace un angle de la mesure donnée à l’aide du rapporteur, et reporte la longueur du second côté pour obtenir D
3. Au compas, trace un arc de centre D avec le rayon AB, et un arc de centre B avec le rayon AD
4. L’intersection de ces deux arcs donne le point C. Relie les segments pour fermer la figure

Exercices corrigés sur les quadrilatères

Teste tes connaissances avec ces exercices de difficulté progressive. Essaie de trouver la réponse seul avant de consulter la correction.

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Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. On ne peut pas préciser davantage sans information supplémentaire sur les longueurs des diagonales ou leur angle.

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EFGH est un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur (EG = FH = 10 cm). Or, un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur est un rectangle.

On ne sait pas si les diagonales sont perpendiculaires, donc on ne peut pas dire que c’est un carré.

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L’aire d’un losange se calcule avec la formule : A = (d × D) ÷ 2

A = (6 × 8) ÷ 2 = 48 ÷ 2 = 24 cm²

Vérification : les demi-diagonales mesurent 3 cm et 4 cm. Par le théorème de Pythagore : 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Le côté mesure bien 5 cm. Tout est cohérent.

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Périmètre : P = 2 × (L + l) = 2 × (12 + 5) = 2 × 17 = 34 cm

Aire : A = L × l = 12 × 5 = 60 cm²

Diagonale : Par le théorème de Pythagore, d² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169, donc d = 13 cm. Les deux diagonales mesurent 13 cm chacune.

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A = (B + b) × h ÷ 2 = (10 + 6) × 4 ÷ 2 = 16 × 4 ÷ 2 = 64 ÷ 2 = 32 cm²

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Étape 1 : Les côtés opposés sont de même longueur (MN = OP = 7 cm et NO = PM = 4 cm). Donc MNOP est un parallélogramme.

Étape 2 : Ce parallélogramme possède un angle droit (angle en M = 90°). Or, un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle.

Étape 3 : Les côtés consécutifs ne sont pas de même longueur (7 ≠ 4), donc ce n’est pas un carré.

Conclusion : MNOP est un rectangle de longueur 7 cm et de largeur 4 cm.

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Nature : RSTU est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires. C’est donc un losange.

Côté du losange : Les demi-diagonales mesurent 5 cm et 12 cm. Par Pythagore : c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, donc c = 13 cm.

Périmètre : P = 4 × 13 = 52 cm

Aire : A = (d × D) ÷ 2 = (10 × 24) ÷ 2 = 240 ÷ 2 = 120 cm²

FAQ sur les quadrilatères en 6ème

Un carré est-il un rectangle ?

Oui, toujours. Un carré est un rectangle particulier dont tous les côtés sont de même longueur. Il possède toutes les propriétés du rectangle (quatre angles droits, diagonales de même longueur qui se coupent en leur milieu), avec en plus les propriétés du losange. Donc si on te demande « cite un exemple de rectangle », tu as tout à fait le droit de répondre « un carré ».

Comment distinguer un losange d’un carré ?

Le losange et le carré ont tous les deux quatre côtés égaux. La différence se situe au niveau des angles : le carré a obligatoirement quatre angles droits, tandis que le losange a des angles qui ne sont pas forcément droits. Si tu constates qu’un losange possède un angle droit, alors c’est automatiquement un carré, car les propriétés du parallélogramme forcent les quatre angles à être droits.

Le parallélogramme a-t-il des axes de symétrie ?

Un parallélogramme quelconque (qui n’est ni un rectangle, ni un losange, ni un carré) ne possède aucun axe de symétrie. Il a uniquement un centre de symétrie : le point de croisement de ses diagonales. Les axes de symétrie n’apparaissent que chez le rectangle (2 axes), le losange (2 axes) et le carré (4 axes).

Quelle différence entre trapèze et parallélogramme ?

La différence fondamentale est le nombre de paires de côtés parallèles. Le trapèze en a une seule (les bases), le parallélogramme en a deux. Toutes les propriétés qui en découlent sont radicalement différentes : le parallélogramme a un centre de symétrie, des diagonales qui se coupent en leur milieu, des côtés opposés égaux. Le trapèze n’a rien de tout cela (sauf le trapèze isocèle qui possède un axe de symétrie et des diagonales de même longueur).

Faut-il tout apprendre par coeur ?

Tu dois connaître les propriétés principales de chaque figure. Mais si tu comprends la logique d’inclusion (le carré = rectangle + losange, le rectangle = parallélogramme + angles droits, le losange = parallélogramme + côtés tous égaux), tu retrouves la grande majorité des propriétés par le raisonnement, sans bachotage. Le tableau comparatif de ce cours est ton meilleur outil de révision.