Repérage sur une demi-droite – Cours de Maths 6ème

En 6eme, tu decouvres un outil qui va t’accompagner pendant tout le college : la demi-droite graduee. C’est grace a elle que tu peux representer des nombres, les comparer, et les situer les uns par rapport aux autres. Cette lecon t’explique pas a pas ce qu’est une demi-droite graduee, comment lire et placer des abscisses (nombres entiers, décimaux et fractions), et comment encadrer un nombre. Avec des exercices corriges pour t’entrainer.

Qu’est-ce qu’une demi-droite graduee ?

Une demi-droite graduee, c’est une ligne droite qui part d’un point (l’origine) et qui s’etend dans un seul sens, marque par une fleche. Sur cette ligne, des graduations regulieres sont placees a intervalles egaux, comme les traits sur une regle. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur l’écriture des nombres décimaux.

Elle ressemble a ca :

O—|—|—|—|—|—|—→
    0    1    2    3    4    5    6

La fleche a droite indique que la demi-droite continue a l’infini : on pourrait toujours ajouter des nombres plus grands.

Pourquoi « demi-droite » et pas « droite » ?

Une droite s’etend dans les deux sens, a l’infini a gauche et a droite. Une demi-droite a un point de depart (l’origine) et ne s’etend que dans un seul sens. En 6eme, on travaille avec des nombres positifs (supérieurs ou egaux a zero), donc on n’a besoin que d’un seul cote : la demi-droite suffit.

L’origine et l’unite de longueur

Deux elements definissent une demi-droite graduee :

L’origine

C’est le point de depart de la demi-droite. On le note generalement O (comme « Origine »). Ce point correspond au nombre 0. Tous les autres points sont situes a sa droite.

L’unite de longueur

C’est la distance entre deux graduations consecutives qui representent deux nombres entiers consecutifs (par exemple, la distance entre le trait du 0 et le trait du 1). Cette distance est toujours la meme sur toute la demi-droite. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur les bases de la demi-droite.

L’unite peut etre :

• 1 cm (le plus courant dans les exercices)
• 2 cm, 5 mm, ou n’importe quelle longueur, du moment qu’elle est precisee

Element	Définition	Symbole
Origine	Point de depart, correspond a 0	O
Unite de longueur	Distance entre 0 et 1 (ou entre deux entiers consecutifs)	u ou 1 u
Sens	Direction dans laquelle les nombres augmentent	→ (fleche)

L’abscisse d’un point

L’abscisse d’un point, c’est le nombre qui correspond a la position de ce point sur la demi-droite graduee. C’est comme une adresse : chaque point a une et une seule abscisse, et chaque nombre correspond a un et un seul point.

Comment noter l’abscisse

Si un point A se trouve au niveau de la graduation 3, on dit que l’abscisse du point A est 3. On note : A(3).

Quelques exemples :

• Le point O (l’origine) a pour abscisse 0 : O(0)
• Un point B place sur la graduation 5,7 a pour abscisse 5,7 : B(5,7)
• Un point C place sur la graduation 2/3 a pour abscisse 2/3 : C(2/3)

Vocabulaire

On dit :

• « L’abscisse du point A est 3 » (et non « la coordonnee » — en 6eme, sur une demi-droite, on parle d’abscisse).
• « Le point d’abscisse 3 est A. »
• « Placer le point M d’abscisse 4,5 » signifie trouver la graduation 4,5 et y poser un point.

Placer un point sur la demi-droite

Pour placer un point d’abscisse donnee :

1. Repère l’origine (le point 0) et l’unite de longueur.
2. Identifie entre quelles graduations se situe le nombre. Par exemple, 3,7 se situe entre 3 et 4.
3. Divise l’espace entre ces deux graduations si besoin (en 10 parts egales pour les dixiemes, en 100 pour les centiemes).
4. Place le point au bon endroit et ecris son nom au-dessus.

Exemple : placer le point M d’abscisse 2,4

Le nombre 2,4 est entre 2 et 3. Tu divises l’espace entre 2 et 3 en 10 parts egales (chaque petite graduation vaut 0,1). Depuis la graduation 2, tu avances de 4 petites graduations. Tu places le point M a cet endroit et tu ecris M(2,4). Pour aller plus loin, consultez notre cours sur comparer des nombres décimaux.

Lire l’abscisse d’un point

La lecture est l’opération inverse : tu vois un point deja place et tu dois trouver son abscisse.

Méthode en 3 etapes

1. Identifie les deux graduations connues entre lesquelles se trouve le point (par exemple, 3 et 4).
2. Compte le nombre de petits intervalles entre ces deux graduations. S’il y en a 10, chaque intervalle vaut 0,1 (un dixieme). S’il y en a 5, chaque intervalle vaut 0,2.
3. Compte combien de petits intervalles separent le point de la graduation la plus proche a gauche.

Exemple : lire l’abscisse du point P

Le point P se trouve entre les graduations 5 et 6. Il y a 10 petits intervalles entre 5 et 6. Le point P est place sur le 3e petit trait apres 5. Chaque petit intervalle vaut 0,1, donc P est a 5 + 3 x 0,1 = 5,3. L’abscisse de P est P(5,3).

Attention aux graduations qui ne vont pas de 1 en 1

Toutes les demi-droites ne sont pas graduees de 1 en 1. Certaines vont de 2 en 2, de 5 en 5, de 0,5 en 0,5… Vérifié toujours l’ecart entre deux grandes graduations avant de lire une abscisse.

Graduations visibles	Ecart entre 2 grandes graduations	Valeur d’un petit intervalle (si 10 subdivisions)
0, 1, 2, 3…	1	0,1
0, 2, 4, 6…	2	0,2
0, 5, 10, 15…	5	0,5
0, 10, 20, 30…	10	1

Placer des nombres décimaux et des fractions

Nombres décimaux

Pour placer un nombre décimal comme 3,75 :

1. Place-toi entre 3 et 4.
2. Divise cet espace en 10 parts egales : chaque part vaut 0,1.
3. Avance de 7 parts depuis 3 pour atteindre 3,7.
4. Divise l’espace entre 3,7 et 3,8 en 10 parts egales : chaque petite part vaut 0,01.
5. Avance de 5 petites parts depuis 3,7 pour atteindre 3,75.

En pratique, si l’unite vaut 1 cm, le point 3,75 se trouve a 7,5 mm apres la graduation 3. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur le repérage dans le plan en 5ème.

Fractions

Pour placer une fraction comme 3/4 :

1. Le denominateur (4) t’indique en combien de parts egales tu divises l’unite.
2. Divise l’espace entre 0 et 1 en 4 parts egales.
3. Le numerateur (3) t’indique le nombre de parts a compter depuis 0.
4. Avance de 3 parts : tu es a 3/4.

Autre exemple : Placer 7/3. Divise chaque unite en 3 parts egales. Depuis 0, avance de 7 parts. Tu passes le 1 (3/3), le 2 (6/3) et tu te retrouves 1 part apres le 2. Donc 7/3 se trouve entre 2 et 3, plus precisement a 1/3 apres le 2.

Encadrer un nombre

Encadrer un nombre, c’est trouver deux nombres « frontiere » entre lesquels il se situe. Sur la demi-droite, c’est facile a visualiser : le nombre est entre deux graduations.

Encadrement a l’unite

Tu cherches les deux entiers consecutifs qui encadrent le nombre.

Exemple : 4,7 → 4 < 4,7 < 5

Encadrement au dixieme

Tu cherches les deux nombres au dixieme qui encadrent le nombre.

Exemple : 4,73 → 4,7 < 4,73 < 4,8

Encadrement au centieme

Exemple : 4,735 → 4,73 < 4,735 < 4,74

Type d’encadrement	Nombre	Encadrement
A l’unite	7,38	7 < 7,38 < 8
Au dixieme	7,38	7,3 < 7,38 < 7,4
Au centieme	7,385	7,38 < 7,385 < 7,39

Erreurs frequentes

Exercices corriges

✅ Voir la correction

A(3) — Le point A a pour abscisse 3.
B(5,5) — Le point B a pour abscisse 5,5.
C(8) — Le point C a pour abscisse 8.

✅ Voir la correction

L’ecart entre deux grandes graduations est 2. Il y a 4 petits intervalles, donc chaque petit intervalle vaut 2 ÷ 4 = 0,5.
Le point M est au 3e petit trait apres 4, soit a 3 x 0,5 = 1,5 apres 4.
M(5,5)

✅ Voir la correction

1/2 = 0,5 → au milieu entre 0 et 1, soit a 1 cm de l’origine.
3/4 = 0,75 → aux trois quarts entre 0 et 1, soit a 1,5 cm de l’origine.
5/4 = 1,25 → entre 1 et 2, a un quart apres 1, soit a 2,5 cm de l’origine.
3/2 = 1,5 → au milieu entre 1 et 2, soit a 3 cm de l’origine.
Classement sur la demi-droite : 1/2, 3/4, 5/4, 3/2.

✅ Voir la correction

a) A l’unite : 6 < 6,47 < 7
b) Au dixieme : 6,4 < 6,47 < 6,5
c) Au centieme : 6,47 est deja un nombre au centieme. On ne peut l’encadrer au centieme que s’il a plus de deux décimales. Comme 6,47 tombe sur une graduation au centieme, on ecrit : 6,46 < 6,47 < 6,48 (encadrement par les centiemes voisins).

✅ Voir la correction

L’ecart entre deux grandes graduations est 1. Il y a 5 petits intervalles, donc chaque intervalle vaut 1 ÷ 5 = 0,2.
Point R : 3e petit trait apres 2 → R(2 + 3 x 0,2) = R(2,6)
Point S : 1er petit trait apres 4 → S(4 + 1 x 0,2) = S(4,2)
Distance RS = 4,2 – 2,6 = 1,6 unites

FAQ sur le reperage sur une demi-droite graduee

Quelle est la difference entre une demi-droite graduee et un axe ?

Une demi-droite graduee ne va que dans un sens (de l’origine vers la fleche, avec des nombres positifs). Un axe est une droite graduee complete : il s’etend dans les deux sens et inclut les nombres negatifs (a gauche de l’origine). Tu travailleras avec un axe complet quand tu etudieras les nombres relatifs, en 5eme.

Pourquoi dit-on « abscisse » et pas « position » ?

« Abscisse » est le terme mathematique precis. Il designe le nombre associe a la position d’un point sur un axe horizontal. Quand tu passeras au repère du plan (en 5eme-4eme), le point aura deux coordonnees : l’abscisse (horizontale) et l’ordonnee (verticale).

Deux points differents peuvent-ils avoir la meme abscisse ?

Non, sur une demi-droite, chaque abscisse correspond a un seul point. Si deux points sont au meme endroit, c’est le meme point. C’est une propriété de la demi-droite graduee : il y a une correspondance un-a-un entre les nombres et les points.

Comment placer un nombre tres grand comme 1 000 000 ?

Tu adaptes l’unite de longueur. Si chaque centimetre represente 100 000, alors 1 000 000 se trouve a 10 cm de l’origine. L’unite n’est pas toujours « 1 cm pour 1 » : elle s’adapte aux nombres representes.

Comment savoir si une fraction est plus grande ou plus petite que 1 ?

Compare le numerateur (nombre du haut) et le denominateur (nombre du bas). Si le numerateur est plus petit que le denominateur, la fraction est inferieure a 1 (elle est entre 0 et 1 sur la demi-droite). Si le numerateur est plus grand, la fraction depasse 1. Si les deux sont egaux, la fraction vaut exactement 1.