En 6e, tu apprends que calculer une aire ne se limite pas à appliquer une formule. Le programme te demande de comparer des aires par découpage, d’assembler des figures pour en créer de nouvelles, de paver des surfaces et d’estimer des aires de figures irrégulières. Ces méthodes développent ton sens géométrique et te préparent aux raisonnements plus abstraits du collège. Tu apprends à voir les figures autrement, à les décomposer et à les recomposer pour résoudre des problèmes que les formules seules ne permettent pas de traiter. Cet article reprend tout ce que tu dois savoir sur les aires par découpage et assemblage, avec des exemples concrets, des méthodes pas à pas et des exercices corrigés.
Rappels sur la notion d’aire
L’aire d’une figure est la mesure de la surface qu’elle occupe. On la mesure en unités d’aire : cm², m², km², etc. L’unité d’aire de base est le carré unité : un carré de 1 cm de côté a une aire de 1 cm². Pour aller plus loin, consultez notre cours sur les calculs d’aires.
Les formules d’aire que tu connais déjà :
- Carré de côté c : aire = c × c = c²
- Rectangle de longueur L et largeur l : aire = L × l
- Triangle de base b et hauteur h : aire = (b × h) / 2
Mais ces formules ne marchent que pour des figures simples. Que faire quand la figure est un polygone irrégulier, un assemblage de plusieurs formes ou une figure aux bords courbes ? C’est là que le découpage et l’assemblage entrent en jeu.
À retenir
Quand tu découpes une figure en morceaux et que tu les réassembles, l’aire totale ne change pas. Ce principe fondamental s’appelle la conservation de l’aire par découpage. Il te permet de transformer une figure compliquée en figures simples dont tu sais calculer l’aire.
Comparer des aires par découpage
Comparer des aires par découpage, c’est montrer que deux figures ont la même aire sans calculer cette aire. Tu découpes l’une des figures et tu montres que les morceaux recouvrent exactement l’autre figure.
La méthode de comparaison directe
Pour comparer deux figures A et B par découpage :
- Découpe mentalement (ou sur papier) la figure A en morceaux simples.
- Déplace et/ou retourne ces morceaux pour les placer exactement sur la figure B.
- Si les morceaux recouvrent exactement B, sans trou et sans chevauchement, alors les aires de A et B sont égales.
- S’il reste des zones non couvertes dans B, alors l’aire de B est plus grande que celle de A.
Exemple classique : parallélogramme et rectangle
Prends un parallélogramme de base b et de hauteur h. Découpe le triangle qui dépasse d’un côté et replace-le de l’autre côté. Tu obtiens un rectangle de longueur b et de largeur h. Les deux figures ont la même aire : b × h.
Ce découpage prouve que l’aire du parallélogramme est base × hauteur, sans passer par une formule apprise par coeur. Tu comprends pourquoi la formule est vraie, pas seulement comment l’utiliser. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur les périmètres.
Astuce
Quand tu dois comparer des aires par découpage, cherche d’abord les parties communes aux deux figures. Tu n’as besoin de découper que les parties qui diffèrent. Cela simplifie énormément le raisonnement.
Exemple : le triangle et le demi-rectangle
Un triangle de base b et de hauteur h peut être vu comme la moitié d’un rectangle. En dupliquant le triangle et en retournant la copie, tu obtiens un parallélogramme (ou un rectangle si le triangle est rectangle). L’aire du rectangle est b × h, donc l’aire du triangle est (b × h) / 2.
Là encore, le découpage donne du sens à la formule. Tu vois que diviser par 2 vient du fait que le triangle est la moitié du rectangle.
️ Exercice
Sur un quadrillage, deux figures sont dessinées. La figure A est un parallélogramme de base 5 carreaux et de hauteur 3 carreaux. La figure B est un rectangle de 5 carreaux sur 3 carreaux. Montre par découpage que ces deux figures ont la même aire, puis calcule cette aire en prenant 1 cm par carreau.
Voir la correction
Découpage : dans le parallélogramme, trace une hauteur depuis un sommet du haut vers la base. Tu obtiens un triangle rectangle d’un côté et un trapèze de l’autre. Déplace le triangle pour le placer de l’autre côté du trapèze. Les morceaux forment exactement le rectangle 5 × 3. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur les longueurs et masses.
Les deux figures ont la même aire car les morceaux du parallélogramme recouvrent exactement le rectangle, sans trou et sans chevauchement.
Aire = 5 × 3 = 15 cm²
Assembler des figures pour calculer des aires
L’assemblage consiste à combiner plusieurs figures simples pour former une figure complexe. L’aire de la figure complexe est la somme des aires de ses parties.
La méthode additive
Pour calculer l’aire d’une figure complexe par assemblage :
- Identifie les figures simples qui composent la figure complexe.
- Calcule l’aire de chaque figure simple séparément.
- Additionne toutes les aires.
Par exemple, une figure en forme de « L » peut être découpée en deux rectangles. Tu calcules l’aire de chaque rectangle, puis tu additionnes.
La méthode soustractive
Parfois, il est plus pratique de partir d’une grande figure englobante et d’en retrancher les parties qui ne font pas partie de la figure :
- Entoure la figure complexe par un rectangle (ou une autre figure simple).
- Calcule l’aire du rectangle englobant.
- Calcule l’aire des parties à retrancher.
- Soustrais : aire de la figure = aire du rectangle − aire des parties retranchées.
À retenir
Choisis la méthode additive quand la figure se décompose naturellement en morceaux simples. Choisis la méthode soustractive quand il est plus facile d’identifier ce qu’il faut enlever que ce qu’il faut garder. Les deux méthodes donnent le même résultat.
Exemple détaillé : une figure en escalier
Imagine une figure en escalier composée de 3 marches. Chaque marche mesure 2 cm de large et 1 cm de haut. La base totale fait 6 cm et la hauteur totale fait 3 cm.
Méthode additive : la figure est composée de 3 rectangles empilés en escalier. Le premier fait 6 × 1 = 6 cm², le deuxième 4 × 1 = 4 cm², le troisième 2 × 1 = 2 cm². Aire totale = 6 + 4 + 2 = 12 cm².
Méthode soustractive : le rectangle englobant fait 6 × 3 = 18 cm². Les coins supérieurs retranchés sont deux rectangles de 2 × 1 = 2 cm² et 2 × 2 = 4 cm². Aire = 18 − 2 − 4 = 12 cm².
️ Exercice
Une figure est formée d’un rectangle de 8 cm × 5 cm auquel on a retiré un triangle rectangle dans le coin supérieur droit. Les côtés de l’angle droit du triangle mesurent 3 cm et 2 cm. Calcule l’aire de la figure par la méthode soustractive.
Voir la correction
Aire du rectangle = 8 × 5 = 40 cm²
Aire du triangle retiré = (3 × 2) / 2 = 3 cm²
Aire de la figure = 40 − 3 = 37 cm²
Le découpage pour prouver des formules
Le découpage ne sert pas seulement à calculer des aires. Il sert aussi à prouver que les formules d’aire sont correctes. En 6e, tu dois comprendre d’où viennent les formules, pas seulement les appliquer.
Prouver la formule du trapèze par découpage
Prends un trapèze de bases B (grande base) et b (petite base), et de hauteur h. Duplique-le, retourne la copie et colle-la contre l’original. Tu obtiens un parallélogramme de base (B + b) et de hauteur h.
Aire du parallélogramme = (B + b) × h. Comme le parallélogramme est formé de deux trapèzes identiques, l’aire d’un trapèze est (B + b) × h / 2.
Prouver la formule du losange par découpage
Le losange a deux diagonales perpendiculaires de longueurs d₁ et d₂. Entoure le losange par un rectangle de dimensions d₁ × d₂. Les 4 triangles « coupés » dans les coins remplissent exactement la moitié du rectangle.
Aire du losange = moitié de l’aire du rectangle = (d₁ × d₂) / 2.
️ Erreur fréquente
La formule du losange utilise les diagonales, pas les côtés. Beaucoup d’élèves essaient de calculer l’aire d’un losange en multipliant deux côtés, comme pour un rectangle. C’est faux. Les diagonales d₁ et d₂ se croisent en leur milieu et sont perpendiculaires, ce qui permet le découpage en 4 triangles rectangles.
Prouver la formule du disque par découpage
Découpe un disque de rayon r en un grand nombre de parts de « pizza » (secteurs) très fines. Range ces parts alternativement pointe en haut et pointe en bas. Quand les parts sont très fines, la figure obtenue ressemble à un rectangle de longueur πr (la moitié du périmètre du cercle) et de largeur r (le rayon).
Aire du rectangle ≈ πr × r = πr². Plus les parts sont fines, plus l’approximation est bonne. À la limite, l’aire du disque est exactement πr².
Astuce
Pour retenir la formule de l’aire du disque, rappelle-toi le découpage en parts de pizza : la longueur du « rectangle » est la moitié du périmètre (πr) et la largeur est le rayon (r). D’où aire = πr × r = πr².
Le pavage
Paver une surface, c’est la recouvrir entièrement avec des copies d’une même figure (ou de quelques figures), sans trou et sans chevauchement. Le pavage est un outil puissant pour mesurer et comparer des aires.
Pavage par des carrés unités
Le pavage le plus simple utilise des carrés de 1 cm de côté (les carrés unités). L’aire d’une figure est le nombre de carrés unités nécessaires pour la paver entièrement. C’est d’ailleurs la définition même de l’aire en unités de surface.
Pour un rectangle de 5 cm × 3 cm, tu peux placer 5 × 3 = 15 carrés unités. L’aire est 15 cm². Le pavage rend la formule « longueur × largeur » concrète et visible.
Pavage par des triangles
Toute surface plane peut être pavée par des triangles. Ce principe est utilisé en géométrie pour décomposer n’importe quel polygone en triangles (on appelle cela une triangulation). L’aire du polygone est alors la somme des aires de tous les triangles.
Par exemple, un pentagone peut être découpé en 3 triangles (en traçant des diagonales depuis un sommet). Un hexagone peut être découpé en 4 triangles.
Pavages réguliers du plan
Il n’existe que 3 pavages réguliers du plan (pavages par un seul type de polygone régulier) :
- Pavage par des triangles équilatéraux : chaque sommet est entouré de 6 triangles (6 × 60° = 360°).
- Pavage par des carrés : chaque sommet est entouré de 4 carrés (4 × 90° = 360°).
- Pavage par des hexagones réguliers : chaque sommet est entouré de 3 hexagones (3 × 120° = 360°).
Aucun autre polygone régulier ne pave le plan à lui seul. Par exemple, le pentagone régulier (angles de 108°) ne pave pas le plan car 360° n’est pas un multiple de 108°.
À retenir
Pour qu’un polygone régulier pave le plan, il faut que 360° soit un multiple de son angle intérieur. Seuls les triangles équilatéraux (60°), les carrés (90°) et les hexagones réguliers (120°) vérifient cette condition.
️ Exercice
On veut paver un rectangle de 12 cm × 8 cm avec des carrés de 2 cm de côté. Combien de carrés faut-il ? Peut-on aussi le paver avec des carrés de 3 cm de côté ? Justifie.
Voir la correction
Avec des carrés de 2 cm : on place 12 ÷ 2 = 6 carrés en longueur et 8 ÷ 2 = 4 carrés en largeur. Total = 6 × 4 = 24 carrés. Le pavage est possible car 2 divise à la fois 12 et 8.
Avec des carrés de 3 cm : en longueur, 12 ÷ 3 = 4 carrés. En largeur, 8 ÷ 3 = 2,666… Le côté de 3 cm ne divise pas 8 exactement. Le pavage est impossible sans découper de carrés. Il resterait une bande de 2 cm non couverte.
Estimer l’aire de figures irrégulières
Les figures irrégulières (taches, formes naturelles, contours de lacs ou de pays) n’ont pas de formule d’aire. Pour estimer leur aire, on utilise le quadrillage.
La méthode de l’encadrement par quadrillage
- Place la figure sur un quadrillage de carreaux de côté connu (par exemple 1 cm).
- Compte les carreaux entièrement contenus dans la figure. Appelle ce nombre N₁. C’est la borne inférieure de l’aire.
- Compte les carreaux qui touchent la figure (entièrement contenus + partiellement couverts). Appelle ce nombre N₂. C’est la borne supérieure de l’aire.
- L’aire réelle est comprise entre N₁ et N₂ (en cm² si les carreaux font 1 cm de côté).
Plus le quadrillage est fin, plus l’encadrement est précis. Si tu passes d’un quadrillage de 1 cm à un quadrillage de 0,5 cm, l’estimation sera meilleure, mais le comptage sera plus long.
Estimation par comptage amélioré
Pour obtenir une meilleure estimation sans quadrillage plus fin, tu peux compter les carreaux partiellement couverts et estimer la fraction couverte :
- Compte les carreaux entièrement couverts : N₁.
- Compte les carreaux partiellement couverts : N₃.
- Estime que chaque carreau partiel est couvert en moyenne à 50 %.
- Aire estimée ≈ N₁ + N₃/2 (en unités d’aire).
Cette méthode donne une bonne approximation pour la plupart des figures irrégulières « raisonnablement régulières » (sans formes très déchiquetées).
️ Erreur fréquente
Quand tu comptes les carreaux partiels, ne les compte pas comme des carreaux entiers. Un carreau dont seulement un petit coin est couvert ne vaut pas 1 cm². L’estimation « chaque carreau partiel vaut un demi » est une approximation raisonnable, mais pas exacte. L’encadrement (N₁ ≤ aire ≤ N₂) reste la méthode la plus rigoureuse.
️ Exercice
Sur un quadrillage de 1 cm, une tache couvre entièrement 18 carreaux et touche partiellement 14 carreaux. Donne un encadrement de l’aire de la tache. Estime son aire par la méthode des carreaux partiels à 50 %.
Voir la correction
Encadrement : N₁ = 18 cm² (borne inférieure), N₂ = 18 + 14 = 32 cm² (borne supérieure). Donc 18 cm² ≤ aire ≤ 32 cm².
Estimation : aire ≈ 18 + 14/2 = 18 + 7 = 25 cm²
Figures sur quadrillage : la formule de Pick
Quand une figure est un polygone dont tous les sommets sont sur les noeuds d’un quadrillage, tu peux utiliser la formule de Pick pour calculer son aire directement.
La formule
Soit I le nombre de points du quadrillage à l’intérieur du polygone et B le nombre de points sur le bord du polygone (y compris les sommets). Alors :
Aire = I + B/2 − 1
Exemple d’application
Un triangle a ses sommets en (0, 0), (4, 0) et (1, 3) sur un quadrillage. Comptons les points :
- Points sur le bord (B) : les 3 sommets + les points intermédiaires. Sur le segment de (0,0) à (4,0) : 3 points intermédiaires. Sur les deux autres côtés, vérifions… Total B = 6.
- Points à l’intérieur (I) : en comptant soigneusement, I = 4.
Aire = 4 + 6/2 − 1 = 4 + 3 − 1 = 6 unités d’aire.
Vérification par la formule classique : aire = (4 × 3)/2 = 6. C’est cohérent.
Astuce
La formule de Pick est très utile quand le polygone a une forme compliquée et que les formules classiques sont difficiles à appliquer. Il suffit de compter les points intérieurs et les points sur le bord. Attention : la formule ne marche que pour les polygones à sommets entiers sur un quadrillage, pas pour les figures aux bords courbes.
Le découpage-assemblage dans la vie courante
Le découpage-assemblage n’est pas qu’un exercice scolaire. Tu le retrouves dans de nombreuses situations concrètes.
Le carrelage et le parquet
Quand on pose du carrelage, on pave le sol avec des carrés (ou des rectangles). Pour calculer le nombre de carreaux nécessaires, on divise l’aire du sol par l’aire d’un carreau. Si le sol a une forme irrégulière (alcôve, renfoncement), on le décompose en rectangles, on calcule chaque aire séparément, puis on additionne.
La couture et le patron
Un patron de couture est un découpage du vêtement en pièces planes. On calcule la quantité de tissu nécessaire en estimant l’aire totale de toutes les pièces du patron. C’est un exemple concret de calcul d’aire par assemblage.
La peinture et la tapisserie
Pour calculer la quantité de peinture nécessaire pour peindre une pièce, tu calcules l’aire totale des murs (4 rectangles), puis tu retranches l’aire des fenêtres et des portes (méthode soustractive). Le résultat, divisé par le rendement du pot de peinture (en m² par litre), te donne le nombre de litres nécessaires.
️ Exercice
Une chambre rectangulaire mesure 4 m × 3 m, avec une hauteur sous plafond de 2,5 m. Elle a une porte de 2 m × 0,8 m et une fenêtre de 1,2 m × 1 m. Calcule l’aire totale des murs à peindre. Si un pot de peinture couvre 10 m², combien de pots faut-il pour deux couches ?
Voir la correction
Périmètre de la chambre = 2 × (4 + 3) = 14 m.
Aire totale des 4 murs = périmètre × hauteur = 14 × 2,5 = 35 m²
Aire de la porte = 2 × 0,8 = 1,6 m²
Aire de la fenêtre = 1,2 × 1 = 1,2 m²
Aire à peindre = 35 − 1,6 − 1,2 = 32,2 m²
Pour deux couches : 32,2 × 2 = 64,4 m²
Nombre de pots = 64,4 ÷ 10 = 6,44. Il faut arrondir au-dessus : 7 pots.
Exercices de synthèse
Exercice de synthèse 1 : décomposition d’un polygone
️ Exercice
Un hexagone irrégulier a les sommets suivants sur un quadrillage (1 carreau = 1 cm) : A(0, 0), B(4, 0), C(6, 2), D(6, 5), E(2, 5), F(0, 3). Calcule son aire en le décomposant en figures simples (triangles et/ou rectangles et/ou trapèzes).
Voir la correction
Utilisons la méthode soustractive. Le rectangle englobant va de (0, 0) à (6, 5), soit une aire de 6 × 5 = 30 cm².
Coins à retrancher :
- Triangle inférieur droit (B, C et le coin (6, 0)) : base = 2, hauteur = 2. Aire = (2 × 2)/2 = 2 cm²
- Triangle supérieur gauche (E, F et le coin (0, 5)) : base = 2, hauteur = 2. Aire = (2 × 2)/2 = 2 cm²
Aire de l’hexagone = 30 − 2 − 2 = 26 cm²
Vérification par Pick : comptons les points. B (sur le bord) = 16, I (intérieurs) = 19. Aire = 19 + 16/2 − 1 = 19 + 8 − 1 = 26. Cohérent.
Exercice de synthèse 2 : aire et périmètre
️ Exercice
On dispose de 12 carrés de 1 cm de côté. Trouve trois dispositions différentes (sans chevauchement, les carrés bord à bord) qui forment des figures de même aire mais de périmètres différents. Calcule le périmètre de chaque disposition. Quelle disposition a le plus petit périmètre ?
Voir la correction
Toutes les dispositions ont une aire de 12 cm² (12 carrés de 1 cm²).
Disposition 1 : une ligne de 12 carrés (12 × 1). Périmètre = 2 × (12 + 1) = 26 cm
Disposition 2 : un rectangle de 6 × 2. Périmètre = 2 × (6 + 2) = 16 cm
Disposition 3 : un rectangle de 4 × 3. Périmètre = 2 × (4 + 3) = 14 cm
La disposition la plus compacte (4 × 3) a le plus petit périmètre. C’est un résultat général : à aire fixe, la forme la plus compacte (la plus proche du carré ou du cercle) a le plus petit périmètre.
Exercice de synthèse 3 : pavage et motifs
️ Exercice
On pave un rectangle de 30 cm × 20 cm avec des dalles rectangulaires de 5 cm × 4 cm. Combien de dalles faut-il ? Propose deux dispositions différentes (toutes les dalles dans le même sens, ou dalles alternées). L’une des dispositions est-elle impossible ? Justifie.
Voir la correction
Aire du rectangle = 30 × 20 = 600 cm². Aire d’une dalle = 5 × 4 = 20 cm². Nombre de dalles = 600 ÷ 20 = 30 dalles.
Disposition 1 : dalles horizontales (5 cm dans le sens de la longueur). On place 30 ÷ 5 = 6 dalles en longueur et 20 ÷ 4 = 5 dalles en largeur. 6 × 5 = 30 dalles. Possible.
Disposition 2 : dalles verticales (4 cm dans le sens de la longueur). On place 30 ÷ 4 = 7,5 dalles en longueur. Ce n’est pas un nombre entier. Impossible avec toutes les dalles dans ce sens.
Disposition 3 : dalles alternées. On peut alterner des rangées horizontales et verticales, ou créer un motif en « chevrons ». Plusieurs agencements mixtes fonctionnent tant que les dimensions s’ajustent.
Le découpage et l’assemblage sont des outils fondamentaux pour comprendre les aires en 6e. Ils donnent du sens aux formules, permettent de comparer des figures sans calcul et de mesurer des surfaces irrégulières. Entraîne-toi à décomposer des figures complexes, à paver des surfaces et à estimer des aires par quadrillage : ces compétences te serviront tout au long du collège et au-delà.
Articles de 6ème à découvrir
Cardia Anthony, 35 ans, professeur des écoles passionné depuis 2014.
