Valeurs approchées d’un nombre décimal – Cours de Maths 6ème

En mathématiques, tu travailles souvent avec des nombres qui ont beaucoup de chiffres après la virgule. Par exemple, quand tu divises 10 par 3, tu obtiens 3,333333… Un nombre qui ne s’arrête jamais. Impossible de l’écrire en entier sur ta copie. C’est là que les valeurs approchées deviennent ton meilleur outil : elles te permettent de remplacer un nombre compliqué par un nombre plus simple, tout en restant proche du nombre de départ. Ce cours complet te guide pas à pas à travers l’arrondi, la troncature, l’encadrement et les pièges à éviter pour maîtriser cette notion du programme de 6ème.

C’est quoi une valeur approchée ?

Une valeur approchée, c’est un nombre simple qui remplace un nombre plus compliqué. Ce remplacement se fait en acceptant de perdre un tout petit peu de précision. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur l’écriture des nombres décimaux.

Prenons un exemple concret. Le nombre π (pi) vaut 3,14159265… avec une infinité de chiffres après la virgule. Quand tu écris π ≈ 3,14, tu donnes une valeur approchée de π. Le symbole ≈ signifie « est environ égal à » ou « est approximativement égal à ».

Il existe deux types de valeurs approchées :

• La valeur approchée par défaut : elle est inférieure ou égale au nombre exact. Pour π, la valeur 3,14 est une valeur approchée par défaut car 3,14 < 3,14159…
• La valeur approchée par excès : elle est supérieure ou égale au nombre exact. Pour π, la valeur 3,15 est une valeur approchée par excès car 3,15 > 3,14159…

Plus tu gardes de chiffres après la virgule, plus ta valeur approchée est précise. Par exemple, 3,14 est une meilleure approximation de π que 3,1, qui elle-même est meilleure que 3.

Arrondir un nombre décimal

Arrondir un nombre, c’est le remplacer par la valeur approchée la plus proche. C’est la méthode la plus utilisée en 6ème et au quotidien.

La règle du 5

Pour arrondir, tu regardes le chiffre qui se trouve juste après la position à laquelle tu veux arrondir :

• Si ce chiffre est 0, 1, 2, 3 ou 4 → tu gardes le chiffre tel quel (tu arrondis vers le bas)
• Si ce chiffre est 5, 6, 7, 8 ou 9 → tu augmentes le chiffre de 1 (tu arrondis vers le haut)

Arrondir à l’unité

Tu regardes le chiffre des dixièmes (le premier chiffre après la virgule).

• 7,384 → le chiffre des dixièmes est 3 (inférieur à 5) → arrondi à 7
• 12,71 → le chiffre des dixièmes est 7 (supérieur ou égal à 5) → arrondi à 13
• 9,50 → le chiffre des dixièmes est 5 (on monte) → arrondi à 10

Arrondir au dixième

Tu regardes le chiffre des centièmes (le deuxième chiffre après la virgule).

• 3,14159 → le chiffre des centièmes est 4 → arrondi à 3,1
• 8,672 → le chiffre des centièmes est 7 → arrondi à 8,7
• 5,053 → le chiffre des centièmes est 5 → arrondi à 5,1

Arrondir au centième

Tu regardes le chiffre des millièmes (le troisième chiffre après la virgule).

• 2,3417 → le chiffre des millièmes est 1 → arrondi à 2,34
• 6,7892 → le chiffre des millièmes est 9 → arrondi à 6,79
• 4,505 → le chiffre des millièmes est 5 → arrondi à 4,51

Troncature d’un nombre

La troncature est plus simple que l’arrondi : tu coupes le nombre à l’endroit demandé, sans te poser de questions. Tu supprimes tout ce qui se trouve après.

Tronquer, c’est comme couper une ficelle avec des ciseaux : tu gardes le début et tu jettes la fin.

• Troncature de 7,384 à l’unité → 7 (on enlève tout après la virgule)
• Troncature de 12,71 à l’unité → 12
• Troncature de 3,14159 au dixième → 3,1 (on enlève tout après le premier chiffre décimal)
• Troncature de 8,672 au centième → 8,67
• Troncature de 9,999 à l’unité → 9 (et non 10, car on coupe sans arrondir)

Arrondi vs troncature : tableau comparatif

Beaucoup d’élèves confondent arrondi et troncature. Ce tableau te montre clairement la différence sur les mêmes nombres :

Nombre	Précision	Troncature	Arrondi
7,384	À l’unité	7	7
12,71	À l’unité	12	13
3,14159	Au dixième	3,1	3,1
8,672	Au dixième	8,6	8,7
9,999	À l’unité	9	10
4,505	Au centième	4,50	4,51

Tu remarques que quand le chiffre suivant est inférieur à 5, l’arrondi et la troncature donnent le même résultat. La différence apparaît quand ce chiffre est supérieur ou égal à 5 : l’arrondi monte, la troncature reste en bas. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur la décomposition des décimaux.

Encadrement d’un nombre

Encadrer un nombre, c’est le placer entre deux nombres « ronds » consécutifs. Tu obtiens une valeur approchée par défaut ET une valeur approchée par excès en une seule opération.

Encadrement à l’unité

Tu cherches les deux nombres entiers consécutifs qui entourent ton nombre décimal.

• 7,384 → 7 < 7,384 < 8
• 12,71 → 12 < 12,71 < 13
• 3,14 → 3 < 3,14 < 4

Ici, 7 est la valeur approchée par défaut à l’unité de 7,384, et 8 est la valeur approchée par excès.

Encadrement au dixième

Tu cherches les deux nombres au dixième consécutifs qui entourent ton nombre.

• 7,384 → 7,3 < 7,384 < 7,4
• 3,14159 → 3,1 < 3,14159 < 3,2
• 8,672 → 8,6 < 8,672 < 8,7

Encadrement au centième

• 7,384 → 7,38 < 7,384 < 7,39
• 3,14159 → 3,14 < 3,14159 < 3,15

Valeur approchée d’un quotient

Quand tu fais une division et que le résultat ne tombe pas juste, tu dois donner une valeur approchée du quotient. C’est un cas très fréquent en 6ème.

Prenons l’exemple de 10 ÷ 3.

Tu poses la division : 10 ÷ 3 = 3,333333…

Le résultat est un nombre décimal infini. Tu ne peux pas l’écrire en entier. L’énoncé te demande alors de donner une valeur approchée :

• Valeur approchée à l’unité : 3 (par défaut) ou 4 (par excès). L’arrondi donne 3.
• Valeur approchée au dixième : 3,3 (par défaut) ou 3,4 (par excès). L’arrondi donne 3,3.
• Valeur approchée au centième : 3,33 (par défaut) ou 3,34 (par excès). L’arrondi donne 3,33.

Autre exemple : 22 ÷ 7 = 3,142857…

• Arrondi à l’unité : 3
• Arrondi au dixième : 3,1
• Arrondi au centième : 3,14

Quand l’énoncé dit « donner une valeur approchée au dixième près », cela signifie que l’écart entre ta valeur approchée et la valeur exacte est inférieur à 0,1. Par exemple, 3,3 est une valeur approchée de 3,333… au dixième près, car |3,333… − 3,3| = 0,033… < 0,1.

Erreurs fréquentes

Exercices corrigés

✅ Voir la correction

a) Arrondi à l’unité : on regarde le chiffre des dixièmes → 8. Comme 8 ≥ 5, on monte. 15,847 ≈ 16.
b) Arrondi au dixième : on regarde le chiffre des centièmes → 4. Comme 4 < 5, on garde. 15,847 ≈ 15,8.
c) Arrondi au centième : on regarde le chiffre des millièmes → 7. Comme 7 ≥ 5, on monte. 15,847 ≈ 15,85.

✅ Voir la correction

La troncature consiste à couper sans arrondir :
a) Troncature à l’unité : on supprime tout après la virgule. 23,695 → 23.
b) Troncature au dixième : on garde un chiffre après la virgule. 23,695 → 23,6.
c) Troncature au centième : on garde deux chiffres après la virgule. 23,695 → 23,69.

✅ Voir la correction

a) Encadrement à l’unité : 6 < 6,738 < 7.
b) Encadrement au dixième : 6,7 < 6,738 < 6,8.
c) Encadrement au centième : 6,73 < 6,738 < 6,74.

✅ Voir la correction

47 ÷ 6 = 7,8333…
a) Arrondi au dixième : on regarde le centième → 3. Comme 3 < 5, on garde. 47 ÷ 6 ≈ 7,8.
b) Troncature au centième : on coupe après deux décimales. 47 ÷ 6 → 7,83.
c) Encadrement à l’unité : 7 < 7,833… < 8.

✅ Voir la correction

Non, Léa a tort. Elle fait un arrondi en cascade, ce qui est interdit. Pour arrondir 2,449 à l’unité, on regarde uniquement le chiffre des dixièmes, qui est 4. Comme 4 < 5, on garde le chiffre des unités tel quel. 2,449 arrondi à l’unité donne 2.

FAQ

Quelle est la différence entre une valeur exacte et une valeur approchée ?

Une valeur exacte est le résultat précis d’un calcul, même si ce résultat contient beaucoup de décimales ou une infinité. Par exemple, 10 ÷ 3 = 3,333… (valeur exacte). Une valeur approchée simplifie ce résultat : 3,33 est une valeur approchée au centième. La valeur exacte ne perd aucune information, la valeur approchée en perd un peu pour être plus facile à utiliser.

Quand utilise-t-on l’arrondi et quand utilise-t-on la troncature ?

L’arrondi est la méthode la plus courante car elle donne la valeur la plus proche du nombre exact. On l’utilise dans la vie courante (prix, mesures, notes). La troncature est utilisée quand on veut rester « en dessous » du nombre exact : par exemple, quand tu calcules combien de boîtes complètes tu peux remplir avec un certain nombre d’objets, tu tronques le résultat car une boîte incomplète ne compte pas.

Comment arrondir un nombre qui se termine par 5 ?

Si le chiffre à examiner est exactement 5, la convention en 6ème est d’arrondir vers le haut. Par exemple, 3,45 arrondi au dixième donne 3,5 (le 5 des centièmes fait monter). Cette règle est la plus répandue dans les manuels scolaires français.

La valeur approchée par défaut est-elle toujours la troncature ?

Oui, pour les nombres positifs. La troncature donne toujours une valeur inférieure ou égale au nombre de départ, donc c’est toujours une valeur approchée par défaut. L’arrondi, lui, peut donner une valeur par défaut (quand le chiffre examiné est 0, 1, 2, 3 ou 4) ou une valeur par excès (quand le chiffre est 5, 6, 7, 8 ou 9).

Comment savoir à quelle précision arrondir si l’énoncé ne le dit pas ?

En 6ème, l’énoncé précise presque toujours la précision souhaitée (à l’unité, au dixième, au centième). S’il ne le fait pas, la règle générale est de donner le résultat avec le même nombre de décimales que les données de départ. Si les données ont 2 chiffres après la virgule, donne ta réponse avec 2 chiffres après la virgule. En cas de doute, précise la méthode utilisée dans ta copie.