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Comment savoir si des fractions sont irréductibles? Comment simplifier une fraction? En classe de 3ème, tu apprendras à transformer les fractions en fractions irréductibles. Cela te facilite les calculs et les comparaisons.
Qu’est-ce qu’une fraction irréductible?
Pour commencer, une fraction irréductible est une fraction qui ne peut plus être simplifiée. Cela signifie que le numérateur et le dénominateur n’ont plus de diviseur commun autre que 1. Par exemple, si tu prends la fraction 6/9, elle n’est pas irréductible, car 6 et 9 peuvent être divisés par 3. Une fois simplifiée, elle devient 2/3 qui est irréductible.
Comment savoir si une fraction est irréductible?
Pour déterminer si une fraction est irréductible, tu dois vérifier si le plus grand commun diviseur (PGCD) du numérateur et du dénominateur est 1. Si c’est le cas, alors ta fraction est irréductible. En d’autres termes, il ne doit pas exister de nombre plus grand que 1 qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur.
Prenons la fraction 8/12. Pour savoir si elle est irréductible, calcule le PGCD de 8 et 12. Les diviseurs de 8 sont 1, 2, 4 et 8. Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le plus grand diviseur commun est 4. Donc, la fraction 8/12 peut être simplifiée en divisant par 4 : 8 ÷ 4 = 2 et 12 ÷ 4 = 3. La fraction simplifiée est 2/3, qui est irréductible.
Pourquoi simplifier les fractions ?
Lors d’opérations mathématiques, il est souvent plus facile de travailler avec des fractions simplifiées. Cela rend les calculs plus rapides et limite les risques d’erreur. En simplifiant, tu facilites non seulement la lecture, mais tu évites aussi de travailler avec des grands nombres qui ne sont souvent pas indispensables.
Pour simplifier rapidement une fraction, garde une calculatrice scientifique à portée de main. La plupart de ces outils te permettent d’entrer la fraction et de la simplifier automatiquement. Cela peut être utile pour vérifier ton travail et t’assurer que tu obtiens une fraction irréductible.
Travaux pratiques
Entraîne-toi avec quelques exemples de fractions : 14/21, 10/15, 35/50. Simplifie chaque fraction et vérifie si elle est irréductible. Si ce n’est pas encore le cas, continue de chercher le PGCD pour arriver à une fraction irréductible. Ce travail de simplification te permettra de mieux assimiler le concept.
Pour plus d’exemples sur les opérations sur les écritures fractionnaires, tu peux visiter le site Inimath.
Exercices de maths
Voici quelques exercices pour t’entraîner, comprendre les fractions et développer ta maîtrise des mathématiques.
Simplifier et rendre irréductible une fraction
Énoncé de l’exercice
🔢 Tu as une fraction : 24/36. Il faut que tu la simplifies jusqu’à ce qu’elle devienne irréductible. (Astuce : Trouve le plus grand diviseur commun !) 🧐
Instructions
- 🔍 Trouver et écrire le plus grand commun diviseur (PGCD) des deux termes de la fraction.
- 🔢 Diviser le numérateur et le dénominateur par ce PGCD.
- ✅ Vérifier si la fraction obtenue est irréductible.
- Si ce n’est pas le cas, réitérer l’étape 2.
- Si la fraction est déjà irréductible, félicitations : le travail est terminé ! 🎉
Correction
📝 Commençons par identifier le PGCD de 24 et 36. Il s’agit de 12.
💕 Divisons maintenant chaque terme de la fraction par ce PGCD :
👩🏫 (24 ÷ 12 = 2) et (36 ÷ 12 = 3), donc la fraction devient 2/3.
🔍Cette fraction 2/3 est maintenant irréductible.
🌟 La fraction irréductible de 24/36 est 2/3 !
Exercice : Simplification de fractions aux termes entiers
Énoncé de l’exercice
🤓 Trouve la forme irréductible des fractions suivantes : 18/24 et 45/60. Astuce : Utilise le plus grand commun diviseur (PGCD) pour t’aider ! 🔍
Instructions
- 🔎 Identifie tous les diviseurs communs des nombres du numérateur et du dénominateur de chaque fraction.
- 🔢 Trouve le PGCD pour chaque paire de nombres.
- ✂️ Divise le numérateur et le dénominateur par le PGCD pour obtenir la forme irréductible.
- ✅ Vérifie que la fraction obtenue ne peut plus être simplifiée.
Correction
🔍 Étape 1 : Pour la fraction 18/24, identifions d’abord les diviseurs de 18 et 24.
- Les diviseurs de 18 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18.
- Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
⚙️ Étape 2 : Le plus grand diviseur commun est 6.
✂️ Étape 3 : Divisons le numérateur et le dénominateur par 6 : 18/24 = 3/4.
✅ Étape 4 : La fraction 3/4 est maintenant irréductible car 3 et 4 n’ont que 1 comme diviseur commun.
🔍 Étape 5 : Pour la fraction 45/60, identifions d’abord les diviseurs de 45 et 60.
- Les diviseurs de 45 sont : 1, 3, 5, 9, 15, 45.
- Les diviseurs de 60 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
⚙️ Étape 6 : Le plus grand diviseur commun est 15.
✂️ Étape 7 : Divisons le numérateur et le dénominateur par 15 : 45/60 = 3/4.
✅ Étape 8 : La fraction 3/4 est également irréductible. 💪
Trouver les fractions irréductibles en 3ème
Énoncé de l’exercice
Voici une liste de fractions : 6/8, 15/35, 50/100. Ton défi est de simplifier chacune de ces fractions pour les exprimer sous forme de fractions irréductibles.
Astuce : cherche le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) 😉
Instructions
- 🔍 Trouve le PGCD du numérateur et du dénominateur de chaque fraction.
- ➗ Divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
- ✍️ Note la nouvelle fraction simplifiée.
- Exemple: Pour 16/24, le PGCD est 8 🧩 : 16 ÷ 8 = 2 et 24 ÷ 8 = 3. Donc, la fraction simplifiée est 2/3.
- *Exemple* : Pour 16/24, le PGCD est 8 🧩 : 16 ÷ 8 = 2 et 24 ÷ 8 = 3. Donc, la fraction simplifiée est 2/3.
- ✔️ Vérifie qu’aucun nombre entier plus grand que 1 ne peut diviser à la fois le numérateur et le dénominateur.
- Exemple: Pour 16/24, le PGCD est 8 🧩 : 16 ÷ 8 = 2 et 24 ÷ 8 = 3. Donc, la fraction simplifiée est 2/3.
Correction
🔍 Pour 6/8:
Le PGCD de 6 et 8 est 2. Donc 6 ÷ 2 = 3 et 8 ÷ 2 = 4.
La fraction simplifiée est 3/4.
🔍 Pour 15/35:
Le PGCD de 15 et 35 est 5. Donc 15 ÷ 5 = 3 et 35 ÷ 5 = 7.
La fraction simplifiée est 3/7.
🔍 Pour 50/100:
Le PGCD de 50 et 100 est 50. Donc 50 ÷ 50 = 1 et 100 ÷ 50 = 2.
La fraction simplifiée est 1/2.
Conclusion
Maintenant que tu as vu les fractions irréductibles en classe de 3ème, tu possèdes une base solide pour maîtriser les mathématiques. Ces concepts te seront utiles pour résoudre des problèmes complexes et améliorer ton habileté numérique.
En comprenant ce que signifie rendre une fraction irréductible, tu pourras mieux apprécier les relations entre les nombres et leur simplification. Continue de t’exercer et utilise ces compétences lors des tests ou dans ta vie quotidienne.
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Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
