Qu’est-ce qu’une fonction affine? Comment peut-on exprimer une relation entre deux variables avec une fonction affine? Cette fonction prend la forme f(x) = ax + b, où les coefficients a et b définissent une droite dans le plan.
Qu’est-ce qu’une fonction affine ?
Quand on parle de fonction affine, on pense généralement à une expression qui associe à chaque nombre x un nombre suivant la formule f(x) = ax + b. Ici, a et b sont des constantes qui déterminent respectivement la pente de la droite et la position de la droite sur l’axe vertical.
Une particularité des fonctions affines est que lorsqu’on les représente graphiquement, elles apparaissent sous la forme de droites. Cela signifie qu’avec la maîtrise de cette formule, tu pourras facilement calculer l’image de n’importe quel x, ou même tracer la droite correspondante. Pour plus d’infos, consulte ce cours sur les fonctions affines.
Exemples de fonctions affines
📘 Prenons un exemple simple : supposons que la fonction affine est de la forme f(x) = 2x + 3. Pour un x donné, disons 4, l’image est calculée ainsi : f(4) = 2*4 + 3 = 11. C’est la méthode qui permet de trouver l’image d’un nombre par une fonction affine.
📘 Un autre exemple : trouve la fonction affine g telle que g(3) = 9 et g(-2) = -11. En procédant à quelques calculs, on obtient g(x) = 4x – 3. Une application fréquente que tu verras dans tes exercices.
🧐 Une astuce pour savoir si une fonction est affine est d’examiner si son expression peut être réécrite sous la forme ax + b. Si c’est le cas, alors c’est définitivement une fonction affine.
Vérifie la constante a: lorsque a = 0, la fonction affine devient une droite horizontale, et on la qualifie parfois de fonction constante.
Enfin, un petit rappel : la valeur de a, aussi appelée coefficient directeur, influence directement si la fonction est croissante ou décroissante.
Résolution d’un système avec fonctions affines
En mathématiques, résoudre un système de deux équations affines revient souvent à trouver le point d’intersection de leurs droites respectives. Cette intersection représente la solution du système.
Par exemple, pour un système donné :
x + 2y = 10 et 3x – y = 5, tu devras transformer ces équations en expressions affines. Utilise ensuite une méthode de résolution, telle que la méthode par substitution ou par élimination.
Ce chapitre est un excellent moyen d’appliquer des concepts régulier d’algèbre et de comprendre comment les équations interagissent les unes avec les autres.
Comprendre la différence entre fonctions affines et linéaires
Les fonctions linéaires sont une sous-catégorie des fonctions affines, où la constante b est nulle. Ainsi, les fonctions linéaires prennent la forme f(x) = ax, et elles passent toujours par l’origine (0,0) du graphique.
Les fonctions affines, quant à elles, possèdent souvent une ordonnée à l’origine différente de zéro, ce qui signifie qu’elles ne passent pas nécessairement par l’origine. C’est le paramètre b qui fait cette différence significative.
Si tu as des difficultés à distinguer ces deux types de fonctions, souviens-toi que toutes les fonctions linéaires sont affines, mais toutes les fonctions affines ne sont pas nécessairement linéaires. Consulte notre site de maths pour approfondir.
Exercices de maths
Voici quelques exercices pour t’entraîner. Approche-toi de ces concepts mathématiques avec confiance et détermination !
Exercice sur la détermination d’une fonction affine
Énoncé de l’exercice
📝 Détermine la fonction affine f telle que f(1) = 2 et f(4) = 11. Pense aux points de coordonnées correspondants sur la droite ! 📈
Instructions
- 🔍 Trouve le coefficient directeur (la pente de la droite) en utilisant les deux points (1, 2) et (4, 11).
- ✏️ Utilise un des points pour déterminer le terme constant après avoir trouvé la pente.
- 📐 Écris la fonction affine sous la formule f(x) = ax + b.
Correction
🔍 Tout d’abord, nous déterminons le coefficient directeur de la fonction affine f(x) :
Le coefficient directeur a est donné par la formule
a = (f(x₂) – f(x₁)) / (x₂ – x₁).
En utilisant les points (1, 2) et (4, 11), nous obtenons :
a = (11 – 2) / (4 – 1) = 9 / 3 = 3
✏️ Ensuite, nous devons déterminer le terme constant b. Prenons le point (1, 2) et remplaçons dans l’expression f(x) = 3x + b :
2 = 3(1) + b
2 = 3 + b
b = 2 – 3 = -1
📐 Ainsi, la fonction affine recherchée est :
f(x) = 3x – 1
Exercice sur les Fonctions Affines et Résolution de Systèmes
Énoncé de l’exercice
Dans cet exercice, nous allons explorer une fonction affine et résoudre un système d’équations. La fonction est définie par f(x) = ax + b. Trouve la valeur de a et b sachant que :
f(3) = 9 et f(-2) = -11. 😊
Utilise ces résultats pour établir le système d’équations et le résoudre. 💡
Instructions
- 🔍 Écris le système d’équations en utilisant l’expression de la fonction affine f(x) = ax + b.
- L’équation pour x = 3 : 3a + b = 9.
- L’équation pour x = -2 : -2a + b = -11.
Correction
🖊️ Tout d’abord, écrivons le système d’équations à partir des informations données :
(1) 3a + b = 9
(2) -2a + b = -11
😃 Commençons par soustraire l’équation (2) de l’équation (1) pour éliminer b :
(3a + b) – (-2a + b) = 9 – (-11)
Ce qui nous donne : 5a = 20
🐢 Ensuite, nous résolvons pour a :
5a = 20
a = 4
🔗 Remplaçons la valeur de a dans l’équation (1) pour trouver b :
3(4) + b = 9
12 + b = 9
b = -3
📚 Vérifions notre solution avec l’équation (2) :
-2(4) + (-3) = -11
-8 – 3 = -11 ✔️
🎉 La fonction affine est donc : f(x) = 4x – 3
Exercice sur les fonctions affines et systèmes en 3ème
Énoncé de l’exercice
Détermine la fonction affine g, telle que g passe par les points de coordonnées (3, 9) et (-2, -11). 🧠🔍 Utilise les coordonnées pour trouver les constantes de la fonction. Essaie de calculer a et b pour la fonction g(x) = ax + b.
Instructions
- 🔢 Détermine le coefficient directeur « a » en utilisant la formule a = (y2 – y1) / (x2 – x1).
- ✍️ Calcule la constante « b » en substituant l’une des paires de points dans l’équation g(x) = ax + b. Choisis celle avec des valeurs simples.
- ✅ Écris l’équation finale de la fonction affine g en utilisant les valeurs de a et b trouvées.
Correction
🔢 Pour trouver a, utilisons la formule : a = (y2 – y1) / (x2 – x1). Remplaçons les points : (3, 9) et (-2, -11).
a = (9 – (-11)) / (3 – (-2)) = 20 / 5 = 4
✍️ Ensuite, substituons l’un des points dans l’équation pour trouver b. Prenons le point (3, 9) : 9 = 4 * 3 + b.
Donc, 9 = 12 + b, ce qui nous donne b = -3.
✅ La fonction affine est donc g(x) = 4x – 3.
La réponse finale est : g(x) = 4x – 3.
Conclusion
Tu as maintenant tout pour comprendre les fonctions affines et linéaires. Ces fonctions, avec leur formule simple sous la forme f(x) = ax + b, te permettront de mieux saisir de nombreux concepts mathématiques étudiés en classe de 3ème.
En t’exerçant sur des fonctions telles que g(x) = 4x – 3 ou h(x) = -3x – 5, tu développeras une meilleure intuition pour résoudre les systèmes d’équations. Ce savoir te sera fondamental pour les applications futures en mathématiques.
N’hésite pas à apprendre davantage pour enrichir ta compréhension grâce à des ressources supplémentaires. Pour des exercices et cours supplémentaires, rends-toi sur cette page dédiée aux maths.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.