Les fonctions affines, c’est le prolongement direct de ce que tu as vu avec la notion de fonctions. Tu sais déjà qu’une fonction associe un nombre à un autre. Maintenant, on s’intéresse à un type bien précis de fonctions : celles dont la courbe est une droite. Et quand on met deux droites sur le même graphique, elles se croisent (ou pas), ce qui amène naturellement aux systèmes d’équations.
Ce chapitre fait le lien entre l’algèbre et la géométrie. Tu vas apprendre à passer d’une équation à une droite, d’un graphique à une formule. Au brevet, les exercices mélangent souvent les deux approches, donc il faut être à l’aise avec les deux.
Fonction affine : définition et propriétés
Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont deux nombres fixés.
• a s’appelle le coefficient directeur (ou pente). Il mesure l’inclinaison de la droite.
• b s’appelle l’ordonnée à l’origine. C’est la valeur de f(0).
Cas particuliers :
• Si b = 0, la fonction f(x) = ax est une fonction linéaire. La droite passe par l’origine.
• Si a = 0, la fonction f(x) = b est une fonction constante. La droite est horizontale.
Exemples :
f(x) = 3x + 2 : fonction affine avec a = 3 et b = 2.
g(x) = −x + 5 : fonction affine avec a = −1 et b = 5.
h(x) = 4x : fonction linéaire (cas particulier avec b = 0).
k(x) = 7 : fonction constante (cas particulier avec a = 0).
Coefficient directeur et ordonnée à l’origine
Le coefficient directeur a donne le sens de variation de la fonction et l’inclinaison de la droite.
• Si a > 0, la fonction est croissante : la droite monte de gauche à droite.
• Si a < 0, la fonction est décroissante : la droite descend de gauche à droite.
• Si a = 0, la fonction est constante : la droite est horizontale.
Formule du coefficient directeur :
Si on connaît deux points A(x₁ ; y₁) et B(x₂ ; y₂) de la droite :
a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
Cette formule est fondamentale. Elle revient dans tous les exercices où l’on te demande de déterminer l’expression d’une fonction affine à partir de deux points. Pense à bien vérifier que x₁ ≠ x₂ (sinon la droite est verticale et ce n’est pas une fonction).
Étape 1 : Calcule a avec la formule a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).
Étape 2 : Remplace a, x et f(x) par les coordonnées d’un des deux points dans f(x) = ax + b.
Étape 3 : Résous pour trouver b.
Étape 4 : Vérifie avec l’autre point.
Exemple : Trouver l’expression de f sachant que f(1) = 5 et f(4) = 11.
a = (11 − 5) / (4 − 1) = 6 / 3 = 2. Donc f(x) = 2x + b.
On utilise f(1) = 5 : 2 × 1 + b = 5, donc b = 3.
Conclusion : f(x) = 2x + 3. Vérification : f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. C’est bon.
Représentation graphique d’une fonction affine
La courbe représentative d’une fonction affine est toujours une droite. Pour la tracer, deux points suffisent.
Méthode rapide :
1. Place le point (0 ; b) sur l’axe des ordonnées (c’est l’ordonnée à l’origine).
2. Depuis ce point, avance de 1 vers la droite et de a vers le haut (ou vers le bas si a est négatif).
3. Relie les deux points avec une règle.
Méthode classique :
1. Calcule f(x) pour deux valeurs de x (par exemple x = 0 et x = 1).
2. Place les deux points dans le repère.
3. Trace la droite passant par ces deux points.
En pratique, le coefficient directeur a représente « de combien monte (ou descend) la droite quand x augmente de 1 ». Si a = 3, la droite monte de 3 unités à chaque pas de 1 vers la droite. Si a = −2, elle descend de 2 unités.
• Confondre le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine : dans f(x) = 5 − 2x, on a a = −2 et b = 5 (pas l’inverse). Réécris sous la forme ax + b pour identifier clairement.
• Tracer la droite avec un seul point : il en faut deux minimum, et trois pour vérifier.
• Oublier le signe négatif : dans f(x) = −3x + 1, la droite descend (a = −3 < 0).
Systèmes d’équations : le lien avec les fonctions affines
Quand tu traces deux fonctions affines dans le même repère, leurs droites se coupent en un point (sauf si elles sont parallèles). Les coordonnées de ce point d’intersection sont la solution du système formé par les deux équations. Pour approfondir les différentes techniques de résolution, consulte le chapitre sur les systèmes et méthodes de résolution.
Un système s’écrit :
{ y = a₁x + b₁
{ y = a₂x + b₂
Résoudre ce système, c’est trouver le couple (x ; y) qui vérifie les deux équations en même temps.
Graphiquement : c’est le point d’intersection des deux droites.
Par calcul : on pose a₁x + b₁ = a₂x + b₂ et on résout.
Exemple : Résoudre le système { y = 2x + 1 et y = −x + 7.
On pose 2x + 1 = −x + 7, donc 3x = 6, donc x = 2. On remplace : y = 2 × 2 + 1 = 5. La solution est le couple (2 ; 5). Les deux droites se coupent au point (2 ; 5).
Résolution graphique d’un système
1. Trace les deux droites dans le même repère.
2. Repère leur point d’intersection.
3. Lis ses coordonnées (x ; y) sur les axes.
Trois cas possibles :
• Les droites se coupent en un point → une solution unique.
• Les droites sont parallèles (même a, différent b) → aucune solution.
• Les droites sont confondues (même a, même b) → infinité de solutions.
La résolution graphique est souvent demandée au brevet pour vérifier un résultat obtenu par le calcul. L’avantage : c’est visuel et rapide. L’inconvénient : la précision dépend de la qualité de ton tracé. Si le point d’intersection tombe entre deux graduations, la lecture est approximative.
Exercices d’application
Pour chaque fonction, donne le coefficient directeur a et l’ordonnée à l’origine b. Précise si la fonction est croissante, décroissante ou constante.
a) f(x) = 3x − 4
b) g(x) = −2x + 7
c) h(x) = 5x
d) k(x) = −8
e) m(x) = 0,5x + 1
🔎 Correction — Exercice 1
a) a = 3, b = −4. Croissante (a > 0).
b) a = −2, b = 7. Décroissante (a < 0).
c) a = 5, b = 0. Croissante. C’est une fonction linéaire.
d) a = 0, b = −8. Constante. La droite est horizontale.
e) a = 0,5, b = 1. Croissante (a > 0).
Détermine l’expression de la fonction affine f dans chaque cas.
a) f(0) = 3 et f(2) = 9
b) f(1) = −1 et f(4) = 8
c) La droite passe par A(−1 ; 5) et B(3 ; −3)
🔎 Correction — Exercice 2
a) On connaît b directement : f(0) = 3, donc b = 3.
a = (9 − 3) / (2 − 0) = 6 / 2 = 3.
f(x) = 3x + 3.
b) a = (8 − (−1)) / (4 − 1) = 9 / 3 = 3.
f(1) = 3 × 1 + b = −1, donc b = −4.
f(x) = 3x − 4. Vérification : f(4) = 12 − 4 = 8. OK.
c) a = (−3 − 5) / (3 − (−1)) = −8 / 4 = −2.
f(−1) = −2 × (−1) + b = 2 + b = 5, donc b = 3.
f(x) = −2x + 3. Vérification : f(3) = −6 + 3 = −3. OK.
Résous chaque système.
a) { y = 3x − 1
{ y = x + 5
b) { y = −2x + 10
{ y = x + 1
c) { y = 4x − 3
{ y = 4x + 2
🔎 Correction — Exercice 3
a) 3x − 1 = x + 5 → 2x = 6 → x = 3. Puis y = 3 + 5 = 8.
Solution : (3 ; 8).
b) −2x + 10 = x + 1 → −3x = −9 → x = 3. Puis y = 3 + 1 = 4.
Solution : (3 ; 4).
c) 4x − 3 = 4x + 2 → −3 = 2. C’est impossible !
Les deux droites ont le même coefficient directeur (a = 4) mais des ordonnées à l’origine différentes. Elles sont parallèles : aucune solution.
Deux plombiers proposent leurs tarifs :
• Plombier A : 30 € de déplacement + 25 € par heure de travail.
• Plombier B : pas de frais de déplacement, mais 40 € par heure.
a) Exprime le prix de chaque plombier en fonction du nombre d’heures x.
b) Pour combien d’heures les deux plombiers coûtent-ils le même prix ?
c) Pour une intervention de 3 heures, quel plombier est le moins cher ?
🔎 Correction — Exercice 4
a) Plombier A : f(x) = 25x + 30. Plombier B : g(x) = 40x.
b) On résout 25x + 30 = 40x → 30 = 15x → x = 2.
Les deux plombiers coûtent le même prix pour 2 heures de travail (prix : 80 €).
c) Pour 3 heures : f(3) = 25 × 3 + 30 = 105 € et g(3) = 40 × 3 = 120 €.
Le plombier A est le moins cher pour 3 heures.
En général, le plombier A est moins cher au-delà de 2 heures, et le plombier B est moins cher en dessous de 2 heures. C’est la logique du point d’intersection des deux droites.
Dans un repère, on a tracé deux droites :
• La droite d₁ passe par les points (0 ; 1) et (2 ; 5).
• La droite d₂ passe par les points (0 ; 7) et (2 ; 3).
a) Détermine l’expression de la fonction affine associée à chaque droite.
b) Résous le système graphiquement en trouvant le point d’intersection.
c) Vérifie par le calcul.
🔎 Correction — Exercice 5
a) Droite d₁ : a = (5 − 1) / (2 − 0) = 4/2 = 2, b = 1. Donc f(x) = 2x + 1.
Droite d₂ : a = (3 − 7) / (2 − 0) = −4/2 = −2, b = 7. Donc g(x) = −2x + 7.
b) Graphiquement, les deux droites se croisent au point (1,5 ; 4).
c) Par le calcul : 2x + 1 = −2x + 7 → 4x = 6 → x = 1,5.
y = 2 × 1,5 + 1 = 4. Solution : (1,5 ; 4). Le résultat graphique est confirmé.
On donne f(x) = 2x + 3 et g(x) = 2x − 1.
a) Que remarques-tu sur les coefficients directeurs ?
b) Les droites représentatives de f et g peuvent-elles se couper ? Justifie.
c) Calcule f(x) − g(x). Que représente cette quantité géométriquement ?
🔎 Correction — Exercice 6
a) Les deux fonctions ont le même coefficient directeur : a = 2. Leurs droites ont la même pente.
b) Non, elles ne se coupent jamais. Si on résout 2x + 3 = 2x − 1, on obtient 3 = −1, ce qui est impossible. Les droites sont parallèles.
c) f(x) − g(x) = (2x + 3) − (2x − 1) = 4. La distance verticale entre les deux droites est constante et vaut 4 unités.
Le périmètre d’un rectangle est 34 cm. Sa longueur dépasse sa largeur de 5 cm.
a) Pose un système de deux équations à deux inconnues (L pour longueur, l pour largeur).
b) Résous ce système.
c) Vérifie ton résultat.
🔎 Correction — Exercice 7
a) Le périmètre vaut 2L + 2l = 34, soit L + l = 17.
La longueur dépasse la largeur de 5 : L = l + 5.
Système : { L + l = 17 et { L = l + 5.
b) On remplace L dans la première équation : (l + 5) + l = 17 → 2l + 5 = 17 → 2l = 12 → l = 6.
Puis L = 6 + 5 = 11.
Solution : L = 11 cm et l = 6 cm.
c) Périmètre : 2 × 11 + 2 × 6 = 22 + 12 = 34 cm. OK.
Différence : 11 − 6 = 5 cm. OK. Cet exercice combine les systèmes avec la résolution d’équations et problèmes.
Un magasin propose deux formules pour la location de vélos :
• Formule 1 : 15 € par jour, sans abonnement.
• Formule 2 : un abonnement de 50 € puis 5 € par jour.
a) Exprime le coût total de chaque formule en fonction du nombre de jours x.
b) À partir de combien de jours la formule 2 devient-elle plus avantageuse ?
c) Tom veut louer un vélo pendant une semaine. Quelle formule lui conseilles-tu ? Justifie avec les calculs.
🔎 Correction — Exercice 8
a) Formule 1 : f(x) = 15x. Formule 2 : g(x) = 5x + 50.
b) On cherche quand g(x) < f(x), c’est-à-dire 5x + 50 < 15x.
50 < 10x → x > 5.
Les deux formules coûtent le même prix pour x = 5 jours (75 €).
La formule 2 devient plus avantageuse à partir de 6 jours.
c) Tom loue pendant 7 jours :
Formule 1 : f(7) = 15 × 7 = 105 €.
Formule 2 : g(7) = 5 × 7 + 50 = 85 €.
La formule 2 est plus économique, Tom économise 20 €.
Positions relatives de deux droites
Soient d₁ : y = a₁x + b₁ et d₂ : y = a₂x + b₂.
| Condition | Position | Nombre de solutions |
| a₁ ≠ a₂ | Sécantes | 1 solution |
| a₁ = a₂ et b₁ ≠ b₂ | Parallèles | 0 solution |
| a₁ = a₂ et b₁ = b₂ | Confondues | Infinité de solutions |
Retiens cette propriété : deux droites de même coefficient directeur sont parallèles. C’est un résultat qui revient aussi en géométrie, notamment quand on travaille avec le théorème de Thalès.
Astuces pour réussir au brevet
1. Quand tu lis un graphique, commence par identifier a et b visuellement : b se lit à l’intersection avec l’axe vertical, a se calcule avec deux points.
2. Pour les problèmes concrets, traduis toujours en fonctions affines avant de résoudre. Le prix total, la distance parcourue, le volume restant sont souvent des fonctions affines du temps ou d’une quantité.
3. Vérifie systématiquement tes résultats. Si tu trouves x = 3, remplace dans les deux équations du système et vérifie que tu obtiens bien la même valeur de y.
4. Si le système n’a pas de solution, dis-le clairement. Les droites parallèles (même a, différent b) ne se coupent jamais. C’est une réponse valable au brevet.
5. Pense à la cohérence des résultats : un nombre d’heures ne peut pas être négatif, un prix non plus. Si tu trouves x = −3 pour un nombre de jours de location, il y a une erreur quelque part.
FAQ — Les questions les plus posées
Comment reconnaître une fonction affine d’une fonction qui n’est pas affine ?
Une fonction affine a toujours la forme f(x) = ax + b, avec x au degré 1 maximum. Si tu vois x², x³, √x, 1/x ou toute autre expression, ce n’est pas une fonction affine.
Deux droites parallèles ont-elles toujours le même coefficient directeur ?
Oui, c’est la définition. Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Peut-on résoudre un système avec plus de deux équations ?
En 3ème, on se limite à deux équations à deux inconnues. Mais le principe se généralise : avec trois inconnues, il faut trois équations. C’est ce qu’on verra au lycée.
La fonction linéaire est-elle un cas particulier de la fonction affine ?
Oui, exactement. La fonction linéaire f(x) = ax est une fonction affine avec b = 0. Sa droite passe par l’origine du repère, ce qui est une propriété utilisée dans les problèmes de proportionnalité et d’agrandissement et réduction.
Quand utiliser la résolution graphique et quand utiliser le calcul ?
La résolution graphique est utile pour visualiser et vérifier. Le calcul donne des valeurs exactes. Au brevet, on te demande souvent les deux : tracer les droites puis confirmer par le calcul (ou l’inverse).
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
