Multiples, diviseurs, critères de divisibilité, PGCD, PPCM… Ces notions sont au cœur de l’arithmétique en 5ème et tu les retrouveras tout au long du collège. Comprendre les multiples et les diviseurs, c’est aussi comprendre pourquoi une fraction se simplifie, comment trouver un dénominateur commun et comment résoudre des problèmes de partage. Ce cours t’explique tout depuis le début, avec des exemples concrets, un lien direct avec les fractions que personne ne fait, et des exercices corrigés pour t’entraîner.
C’est quoi un multiple ?
Un nombre est un multiple d’un autre quand on peut l’obtenir en multipliant cet autre nombre par un nombre entier. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur la division par un décimal.
Par exemple, 15 est un multiple de 5 parce que 15 = 5 × 3. De même, 15 est un multiple de 3 parce que 15 = 3 × 5.
📐 À retenir
a est un multiple de b si et seulement s’il existe un nombre entier k tel que a = b × k.
Lister les multiples d’un nombre
Pour trouver les multiples de 7, tu multiplies 7 par 0, par 1, par 2, par 3, etc. :
- 7 × 0 = 0
- 7 × 1 = 7
- 7 × 2 = 14
- 7 × 3 = 21
- 7 × 4 = 28
- 7 × 5 = 35
Les multiples de 7 sont donc : 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49… La liste est infinie : il y a toujours un multiple de plus.
💡 Astuce
0 est un multiple de tous les nombres (car n × 0 = 0 pour tout nombre n). Et tout nombre est un multiple de lui-même (car n × 1 = n).
Comment vérifier qu’un nombre est un multiple ?
Pour savoir si 84 est un multiple de 12, divise 84 par 12 : 84 ÷ 12 = 7 (division exacte, reste nul). Donc oui, 84 est bien un multiple de 12.
Si la division ne tombe pas juste (s’il y a un reste), alors ce n’est pas un multiple. Par exemple, 85 ÷ 12 = 7 reste 1. Donc 85 n’est pas un multiple de 12. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur les écritures fractionnaires.
C’est quoi un diviseur ?
Un nombre d est un diviseur d’un nombre a si la division de a par d tombe juste (reste égal à 0).
📐 À retenir
d est un diviseur de a si et seulement si a ÷ d donne un résultat entier (reste = 0).
Dire que « d divise a » et dire que « a est un multiple de d » c’est exactement la même chose, vue sous un angle différent.
Exemple : les diviseurs de 12 sont les nombres par lesquels tu peux diviser 12 et obtenir un résultat entier.
- 12 ÷ 1 = 12 → 1 est un diviseur de 12
- 12 ÷ 2 = 6 → 2 est un diviseur de 12
- 12 ÷ 3 = 4 → 3 est un diviseur de 12
- 12 ÷ 4 = 3 → 4 est un diviseur de 12
- 12 ÷ 5 = 2,4 → 5 n’est PAS un diviseur de 12
- 12 ÷ 6 = 2 → 6 est un diviseur de 12
- 12 ÷ 12 = 1 → 12 est un diviseur de 12
Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Contrairement aux multiples, la liste des diviseurs est toujours finie. Un nombre a un nombre limité de diviseurs.
Les critères de divisibilité
Les critères de divisibilité te permettent de savoir si un nombre est divisible par un autre sans faire la division. Ils sont très utiles pour simplifier les fractions et factoriser rapidement.
| Diviseur | Critère | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | Le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 (nombre pair) | 3 476 → divisible par 2 |
| 3 | La somme des chiffres est divisible par 3 | 5 31 → 5+3+1 = 9 → divisible par 3 |
| 4 | Le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4 | 7 324 → 24 ÷ 4 = 6 → divisible par 4 |
| 5 | Le chiffre des unités est 0 ou 5 | 485 → divisible par 5 |
| 9 | La somme des chiffres est divisible par 9 | 7 29 → 7+2+9 = 18 → divisible par 9 |
| 10 | Le chiffre des unités est 0 | 450 → divisible par 10 |
💡 Astuce
Pour savoir si un nombre est divisible par 6, il faut qu’il soit divisible à la fois par 2 ET par 3. Exemple : 174 est pair (divisible par 2) et 1 + 7 + 4 = 12 (divisible par 3), donc 174 est divisible par 6. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur les opérations et la distributivité.
Trouver tous les diviseurs d’un nombre
Pour trouver tous les diviseurs d’un nombre, tu testes systématiquement la division par 1, 2, 3, 4… jusqu’à ce que le quotient devienne plus petit que le diviseur.
Méthode avec l’exemple de 36
On divise 36 par chaque nombre entier en commençant par 1 :
- 36 ÷ 1 = 36 → on note la paire (1 ; 36)
- 36 ÷ 2 = 18 → paire (2 ; 18)
- 36 ÷ 3 = 12 → paire (3 ; 12)
- 36 ÷ 4 = 9 → paire (4 ; 9)
- 36 ÷ 5 = 7,2 → 5 n’est pas un diviseur
- 36 ÷ 6 = 6 → paire (6 ; 6)
On s’arrête ici car le quotient (6) est égal au diviseur (6). La liste complète des diviseurs de 36 est : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
📐 À retenir
Les diviseurs vont toujours par paires. Si d divise a, alors a ÷ d est aussi un diviseur de a. Tu n’as donc besoin de tester que jusqu’à la racine carrée du nombre.
Les nombres premiers
Un nombre premier est un nombre entier supérieur à 1 qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Les premiers nombres premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31…
Remarque : 2 est le seul nombre premier pair. Tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2, donc ils ont au moins 3 diviseurs (1, 2 et eux-mêmes).
Attention : 1 n’est pas un nombre premier. Par convention, un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs distincts, et 1 n’en a qu’un seul (lui-même). Pour aller plus loin, consultez notre cours sur la division euclidienne en 6ème.
Multiples communs et PPCM
Quand tu travailles avec deux nombres, tu peux chercher leurs multiples communs, c’est-à-dire les nombres qui sont multiples des deux en même temps.
Exemple avec 4 et 6
Multiples de 4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40…
Multiples de 6 : 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42…
Les multiples communs de 4 et 6 sont : 0, 12, 24, 36, 48…
📐 À retenir
Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) de deux nombres est le plus petit de leurs multiples communs non nul.
PPCM(4, 6) = 12
Méthode pour calculer le PPCM
Pour des petits nombres, la méthode par liste fonctionne bien : tu listes les multiples de chaque nombre et tu repères le premier commun.
Pour des nombres plus grands, tu peux utiliser la décomposition en facteurs premiers :
- Décompose chaque nombre en facteurs premiers.
- Pour chaque facteur premier, prends la plus grande puissance qui apparaît.
- Multiplie tous ces facteurs.
Exemple : PPCM(12, 18).
12 = 2² × 3 et 18 = 2 × 3².
On prend la plus grande puissance de chaque facteur : 2² et 3².
PPCM = 2² × 3² = 4 × 9 = 36.
À quoi sert le PPCM ?
Le PPCM sert à trouver un dénominateur commun pour additionner ou soustraire des fractions. Si tu veux calculer 1/4 + 1/6, tu cherches le PPCM de 4 et 6 (qui est 12), et tu convertis : 3/12 + 2/12 = 5/12.
Il sert aussi dans les problèmes de synchronisation : si un bus passe toutes les 12 minutes et un tram toutes les 18 minutes, ils passent ensemble toutes les PPCM(12, 18) = 36 minutes.
Diviseurs communs et PGCD
Les diviseurs communs de deux nombres sont les nombres qui divisent les deux.
Exemple avec 24 et 36
Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Diviseurs communs de 24 et 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 12.
📐 À retenir
Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux nombres est le plus grand de leurs diviseurs communs.
PGCD(24, 36) = 12
Méthode pour calculer le PGCD
Pour des petits nombres, la méthode par liste de diviseurs fonctionne. Pour des nombres plus grands, utilise la décomposition en facteurs premiers :
- Décompose chaque nombre en facteurs premiers.
- Pour chaque facteur premier commun, prends la plus petite puissance.
- Multiplie tous ces facteurs.
Exemple : PGCD(24, 36).
24 = 2³ × 3 et 36 = 2² × 3².
Facteurs communs : 2 (puissance min : 2²) et 3 (puissance min : 3¹).
PGCD = 2² × 3 = 4 × 3 = 12.
L’algorithme d’Euclide (pour aller plus loin)
Il existe une méthode très efficace pour calculer le PGCD de deux grands nombres sans les décomposer : l’algorithme d’Euclide. Le principe est de remplacer la division par des divisions euclidiennes successives.
Exemple : PGCD(252, 180).
- 252 = 180 × 1 + 72
- 180 = 72 × 2 + 36
- 72 = 36 × 2 + 0
Le dernier reste non nul est 36. Donc PGCD(252, 180) = 36.
Le lien avec les fractions
C’est ici que multiples et diviseurs prennent tout leur sens pratique. Si tu comprends ces notions, tu maîtrises les fractions.
Simplifier une fraction grâce au PGCD
Pour simplifier une fraction, tu divises le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
Exemple : simplifie 24/36.
- PGCD(24, 36) = 12
- 24 ÷ 12 = 2
- 36 ÷ 12 = 3
Donc 24/36 = 2/3. C’est la fraction irréductible.
📐 À retenir
Une fraction est irréductible quand le PGCD de son numérateur et de son dénominateur est égal à 1. Ça signifie qu’on ne peut plus la simplifier.
Mettre des fractions au même dénominateur grâce au PPCM
Pour additionner 5/12 + 7/18, tu as besoin d’un dénominateur commun.
- PPCM(12, 18) = 36
- 5/12 = (5 × 3)/(12 × 3) = 15/36
- 7/18 = (7 × 2)/(18 × 2) = 14/36
- 15/36 + 14/36 = 29/36
Le PPCM te donne le plus petit dénominateur commun possible, ce qui rend les calculs plus simples.
💡 Astuce
Chaque fois que tu simplifies une fraction, tu utilises les diviseurs. Chaque fois que tu mets au même dénominateur, tu utilises les multiples. Multiples et diviseurs sont les deux faces d’une même pièce, et cette pièce s’appelle « maîtriser les fractions ».
La relation PGCD × PPCM
Il existe une formule qui relie le PGCD et le PPCM de deux nombres a et b :
📐 À retenir
PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = a × b
Exemple : PGCD(12, 18) = 6 et PPCM(12, 18) = 36. Vérifie : 6 × 36 = 216 = 12 × 18.
Cette formule est pratique : si tu connais le PGCD, tu peux en déduire le PPCM (et inversement) sans refaire tout le calcul.
Les erreurs fréquentes
⚠️ Erreur fréquente
Confondre multiple et diviseur. 12 est un multiple de 3 (car 12 = 3 × 4), mais 3 est un diviseur de 12. Les deux phrases disent la même chose, mais le sens est inversé. Un truc : le multiple est toujours le plus grand (ou égal), le diviseur est toujours le plus petit (ou égal).
⚠️ Erreur fréquente
Dire que 1 est un nombre premier. Non. Un nombre premier a exactement deux diviseurs distincts (1 et lui-même). Le nombre 1 n’a qu’un seul diviseur (lui-même), il n’est donc pas premier.
⚠️ Erreur fréquente
Confondre PGCD et PPCM. Le PGCD est le Plus Grand Commun Diviseur (on cherche parmi les diviseurs, donc des nombres plus petits). Le PPCM est le Plus Petit Commun Multiple (on cherche parmi les multiples, donc des nombres plus grands). En général, PGCD ≤ les deux nombres ≤ PPCM.
⚠️ Erreur fréquente
Appliquer le critère de divisibilité par 3 à la divisibilité par 9 (et inversement). Un nombre dont la somme des chiffres est divisible par 3 est divisible par 3, mais pas forcément par 9. Exemple : 15 → somme = 6, divisible par 3, mais 6 n’est pas divisible par 9, donc 15 n’est pas divisible par 9.
Exercices corrigés
✏️ Exercice 1
Parmi les nombres suivants, lesquels sont des multiples de 9 ? 27, 45, 52, 81, 100, 108
✅ Voir la correction
On utilise le critère de divisibilité par 9 (somme des chiffres divisible par 9) :
27 : 2 + 7 = 9 → divisible par 9 → multiple de 9
45 : 4 + 5 = 9 → divisible par 9 → multiple de 9
52 : 5 + 2 = 7 → pas divisible par 9 → PAS un multiple de 9
81 : 8 + 1 = 9 → divisible par 9 → multiple de 9
100 : 1 + 0 + 0 = 1 → pas divisible par 9 → PAS un multiple de 9
108 : 1 + 0 + 8 = 9 → divisible par 9 → multiple de 9
Les multiples de 9 sont : 27, 45, 81 et 108.
✏️ Exercice 2
Trouve tous les diviseurs de 48.
✅ Voir la correction
On teste les divisions par 1, 2, 3… et on repère les paires :
48 ÷ 1 = 48 → paire (1 ; 48)
48 ÷ 2 = 24 → paire (2 ; 24)
48 ÷ 3 = 16 → paire (3 ; 16)
48 ÷ 4 = 12 → paire (4 ; 12)
48 ÷ 5 = 9,6 → pas un diviseur
48 ÷ 6 = 8 → paire (6 ; 8)
48 ÷ 7 = 6,86… → pas un diviseur
On s’arrête car 7 > √48 ≈ 6,93.
Les diviseurs de 48 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 (10 diviseurs).
✏️ Exercice 3
Calcule le PGCD et le PPCM de 30 et 42.
✅ Voir la correction
Décomposition en facteurs premiers :
30 = 2 × 3 × 5
42 = 2 × 3 × 7
PGCD (on prend les facteurs communs avec la plus petite puissance) :
Facteurs communs : 2 et 3. PGCD = 2 × 3 = 6
PPCM (on prend tous les facteurs avec la plus grande puissance) :
PPCM = 2 × 3 × 5 × 7 = 210
Vérification : PGCD × PPCM = 6 × 210 = 1 260 = 30 × 42. C’est correct.
✏️ Exercice 4
Simplifie la fraction 84/126 pour la rendre irréductible.
✅ Voir la correction
On cherche le PGCD de 84 et 126.
84 = 2² × 3 × 7
126 = 2 × 3² × 7
PGCD = 2 × 3 × 7 = 42
On divise numérateur et dénominateur par 42 :
84 ÷ 42 = 2
126 ÷ 42 = 3
84/126 = 2/3
Vérification : PGCD(2, 3) = 1, donc la fraction est bien irréductible.
✏️ Exercice 5
Deux feux tricolores clignotent. Le premier clignote toutes les 8 secondes et le deuxième toutes les 12 secondes. Ils viennent de clignoter en même temps. Dans combien de secondes vont-ils clignoter ensemble à nouveau ?
✅ Voir la correction
On cherche le PPCM de 8 et 12 (le plus petit nombre de secondes qui est un multiple des deux intervalles).
8 = 2³
12 = 2² × 3
PPCM = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24
Les deux feux clignotent ensemble toutes les 24 secondes.
FAQ sur les multiples et diviseurs
Quelle est la différence entre un multiple et un diviseur ?
Ce sont les deux faces d’une même relation. Si a = b × k (avec k entier), alors a est un multiple de b, et b est un diviseur de a. Le multiple est toujours supérieur ou égal au diviseur. Par exemple, 35 est un multiple de 7, et 7 est un diviseur de 35.
Est-ce que 0 est un multiple de 5 ?
Oui. 0 = 5 × 0, et 0 est un nombre entier. Donc 0 est un multiple de 5. Plus généralement, 0 est un multiple de tous les nombres entiers. Par contre, on ne divise jamais par 0 (la division par zéro est interdite).
Comment savoir rapidement si un grand nombre est divisible par 3 ?
Additionne tous ses chiffres. Si la somme est divisible par 3, le nombre l’est aussi. Tu peux même recommencer si la somme est encore grande. Exemple : 5 874 → 5 + 8 + 7 + 4 = 24 → 2 + 4 = 6 → 6 est divisible par 3, donc 5 874 est divisible par 3.
À quoi servent les multiples et diviseurs au quotidien ?
Les multiples servent dans les problèmes de rythme et de synchronisation (horaires de bus, planning, emballages par lots). Les diviseurs servent dans les problèmes de partage équitable (répartir des objets en groupes égaux, découper des planches, etc.). Quand tu divises un gâteau en parts égales, tu utilises les diviseurs sans t’en rendre compte.
Existe-t-il un nombre qui est diviseur de tous les nombres ?
Oui, c’est le nombre 1. Tout nombre entier est divisible par 1 (car n ÷ 1 = n pour tout n). C’est pour cette raison que 1 apparaît toujours dans la liste des diviseurs de n’importe quel nombre. Et c’est aussi la raison pour laquelle 1 n’est pas un nombre premier : s’il l’était, la décomposition en facteurs premiers ne serait plus unique.
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Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
