Factoriser une expression, c’est l’un des savoir-faire les plus demandés au brevet. Pourtant, beaucoup d’élèves de 3ème bloquent devant une expression à factoriser. Facteur commun, identités remarquables, discriminant : comment factoriser sans se tromper ? Ce cours reprend chaque méthode pas à pas, avec des exemples concrets et des exercices corrigés pour t’entraîner.
Qu’est-ce que factoriser ?
Définition simple
Factoriser, c’est transformer une somme (ou une différence) en un produit. On part d’une expression écrite avec des « + » ou des « – » et on la réécrit avec des multiplications.
Prenons un exemple concret :
6x + 18 devient 6(x + 3)
L’expression de départ contenait une addition. Après factorisation, on obtient un produit de deux facteurs : 6 et (x + 3).
Le mot « factoriser » vient de « facteur » (au sens mathématique). Factoriser = faire apparaître des facteurs.
Factoriser vs développer : quelle différence ?
Développer et factoriser sont deux opérations inverses.
- Développer : on part d’un produit et on obtient une somme.
3(x + 5) = 3x + 15 - Factoriser : on part d’une somme et on obtient un produit.
3x + 15 = 3(x + 5)
Le sens de la flèche change, mais la propriété utilisée reste la même : la distributivité.
k(a + b) = ka + kb
Développer, c’est lire de gauche à droite. Factoriser, c’est lire de droite à gauche.
Factoriser avec un facteur commun
La méthode
C’est la technique la plus utilisée. Elle repose sur une règle simple :
Si chaque terme d’une expression contient le même facteur, on peut le « sortir » devant une parenthèse.
Voici la formule :
ka + kb = k(a + b)
La démarche en 3 temps :
- Repérer le facteur commun à tous les termes.
- Écrire ce facteur devant la parenthèse.
- Diviser chaque terme par le facteur commun et placer le résultat dans la parenthèse.
Astuce : le facteur commun peut être un nombre, une lettre, ou un mélange des deux.
Exemples pas à pas
Exemple 1 — Facteur commun numérique
Factoriser 12x + 8
- Facteur commun : 4 (plus grand diviseur commun de 12 et 8)
- 12x ÷ 4 = 3x
- 8 ÷ 4 = 2
- Résultat :
12x + 8 = 4(3x + 2)
Exemple 2 — Facteur commun avec une variable
Factoriser 5x² + 10x
Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur opérations sur les racines carrées.
- Facteur commun : 5x
- 5x² ÷ 5x = x
- 10x ÷ 5x = 2
- Résultat :
5x² + 10x = 5x(x + 2)
Exemple 3 — Expression avec une parenthèse commune
Factoriser (2x + 1)(3x - 4) + (2x + 1)(x + 7)
- Facteur commun : (2x + 1)
- On factorise :
(2x + 1)[(3x - 4) + (x + 7)] - On simplifie la seconde parenthèse :
3x - 4 + x + 7 = 4x + 3 - Résultat :
(2x + 1)(4x + 3)
Exemple 4 — Signe moins devant le facteur commun
Factoriser (x - 5)(2x + 3) - (x - 5)(x - 1)
- Facteur commun : (x – 5)
- On factorise :
(x - 5)[(2x + 3) - (x - 1)] - Attention au signe « – » devant la seconde parenthèse :
2x + 3 - x + 1 = x + 4 - Résultat :
(x - 5)(x + 4)
Factoriser avec les identités remarquables
Les identités remarquables sont des formules à connaître par coeur. Elles permettent de factoriser certaines expressions sans chercher de facteur commun.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
On reconnaît cette identité quand l’expression contient :
- Un carré parfait (a²)
- Un autre carré parfait (b²)
- Le double produit (2ab), avec un signe +
Exemple :
Factoriser x² + 6x + 9
- x² est le carré de x
- 9 est le carré de 3
- 6x = 2 × x × 3 (double produit, signe +)
- Résultat :
x² + 6x + 9 = (x + 3)²
Autre exemple :
Factoriser 4x² + 20x + 25
- 4x² = (2x)²
- 25 = 5²
- 20x = 2 × 2x × 5
- Résultat :
4x² + 20x + 25 = (2x + 5)²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Même principe, sauf que le double produit porte un signe –.
Exemple :
Factoriser x² - 10x + 25
- x² est le carré de x
- 25 est le carré de 5
- 10x = 2 × x × 5 (double produit, signe -)
- Résultat :
x² - 10x + 25 = (x - 5)²
Autre exemple :
Factoriser 9x² - 24x + 16
- 9x² = (3x)²
- 16 = 4²
- 24x = 2 × 3x × 4
- Résultat :
9x² - 24x + 16 = (3x - 4)²
(a + b)(a – b) = a² – b²
Cette identité se repère facilement : une différence de deux carrés. Pas de double produit.
Ce point est approfondi dans notre cours sur résolution d’équations.
Exemple :
Factoriser x² - 49
- x² est le carré de x
- 49 est le carré de 7
- Résultat :
x² - 49 = (x + 7)(x - 7)
Autre exemple :
Factoriser 25x² - 36
- 25x² = (5x)²
- 36 = 6²
- Résultat :
25x² - 36 = (5x + 6)(5x - 6)
Comment reconnaître quelle identité utiliser
Voici un guide rapide :
| Forme de l’expression | Identité à utiliser |
|---|---|
| a² + 2ab + b² | (a + b)² |
| a² – 2ab + b² | (a – b)² |
| a² – b² (deux termes seulement) | (a + b)(a – b) |
Méthode de vérification :
- Compter les termes. Deux termes ? Penser à a² – b². Trois termes ? Penser à (a ± b)².
- Vérifier que le premier et le dernier termes sont des carrés parfaits.
- Vérifier que le terme du milieu (s’il existe) correspond au double produit.
- En cas de doute, développer le résultat pour confirmer.
Factoriser une expression du second degré
Méthode avec le discriminant
Quand l’expression ax² + bx + c ne correspond à aucune identité remarquable, on utilise le discriminant.
Étape 1 : Calculer le discriminant
Δ = b² - 4ac
Étape 2 : Analyser le signe de Δ
- Si Δ > 0 : deux racines distinctes x₁ et x₂. La factorisation est possible.
- Si Δ = 0 : une racine double x₀. On obtient un carré parfait.
- Si Δ < 0 : pas de racine réelle. La factorisation dans ℝ est impossible.
Étape 3 : Calculer les racines (si Δ ≥ 0)
x₁ = (-b - √Δ) / (2a) et x₂ = (-b + √Δ) / (2a)
Étape 4 : Écrire la forme factorisée
ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)
Exemples
Exemple 1 : Δ > 0
Factoriser 2x² + 3x - 5
- a = 2, b = 3, c = -5
- Δ = 3² – 4 × 2 × (-5) = 9 + 40 = 49
- √Δ = 7
- x₁ = (-3 – 7) / (2 × 2) = -10/4 = -5/2
- x₂ = (-3 + 7) / (2 × 2) = 4/4 = 1
- Forme factorisée :
2x² + 3x - 5 = 2(x + 5/2)(x - 1) = (2x + 5)(x - 1)
Vérification : (2x + 5)(x – 1) = 2x² – 2x + 5x – 5 = 2x² + 3x – 5 ✓
Pour completer, decouvre notre cours sur écritures fractionnaires.
Exemple 2 : Δ = 0
Factoriser x² - 8x + 16
- a = 1, b = -8, c = 16
- Δ = (-8)² – 4 × 1 × 16 = 64 – 64 = 0
- x₀ = -(-8) / (2 × 1) = 8/2 = 4
- Forme factorisée :
x² - 8x + 16 = (x - 4)²
On retrouve la deuxième identité remarquable : (x – 4)².
Exemple 3 : Δ < 0
Peut-on factoriser x² + x + 1 ?
- a = 1, b = 1, c = 1
- Δ = 1² – 4 × 1 × 1 = 1 – 4 = -3
- Δ < 0 : pas de racine réelle. Cette expression ne se factorise pas dans ℝ.
Factoriser en plusieurs étapes (expressions complexes)
Certaines expressions demandent de combiner plusieurs méthodes. Voici la stratégie à suivre :
- Chercher un facteur commun à tous les termes.
- Regarder si l’expression restante correspond à une identité remarquable.
- Vérifier qu’on ne peut pas factoriser encore plus.
Exemple 1 : Facteur commun + identité remarquable
Factoriser 3x² - 48
- Facteur commun : 3
3x² - 48 = 3(x² - 16)- x² – 16 est une différence de deux carrés : x² – 4²
- Résultat :
3x² - 48 = 3(x + 4)(x - 4)
Exemple 2 : Facteur commun + trinôme
Factoriser 2x³ + 6x² - 20x
- Facteur commun : 2x
2x³ + 6x² - 20x = 2x(x² + 3x - 10)- On factorise x² + 3x – 10 avec le discriminant : Δ = 9 + 40 = 49, racines -5 et 2
- Résultat :
2x³ + 6x² - 20x = 2x(x + 5)(x - 2)
Exemple 3 : Double identité remarquable
Factoriser (x + 3)² - (2x - 1)²
- C’est une différence de deux carrés : A² – B² avec A = (x + 3) et B = (2x – 1)
- A² – B² = (A + B)(A – B)
- A + B = x + 3 + 2x – 1 = 3x + 2
- A – B = x + 3 – 2x + 1 = -x + 4
- Résultat :
(x + 3)² - (2x - 1)² = (3x + 2)(-x + 4)
Les erreurs fréquentes à éviter
Erreur n°1 : Oublier de distribuer le signe moins
Ce sujet est détaillé dans notre developper une expression en 4eme.
Quand on factorise A(x) - B(x) avec un facteur commun, le signe « – » s’applique à toute la parenthèse qui suit.
- ❌
(x + 2)(3x) - (x + 2)(x - 1) = (x + 2)(3x - x - 1) - ✔
(x + 2)(3x) - (x + 2)(x - 1) = (x + 2)(3x - x + 1) = (x + 2)(2x + 1)
Erreur n°2 : Confondre factoriser et développer
On vous demande de factoriser x² + 5x + 6 et vous écrivez x(x + 5) + 6. Ce n’est pas une factorisation complète : il reste une addition avec le 6 à la fin.
La bonne réponse : x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Erreur n°3 : Inventer un facteur commun qui n’existe pas
Pour factoriser, le facteur commun doit apparaître dans chaque terme.
- ❌
3x + 7 = x(3 + 7)(faux : le 7 ne contient pas x) - ✔
3x + 7ne se factorise pas avec un facteur commun (sauf si on voit un contexte plus large)
Erreur n°4 : Ne pas simplifier au maximum
Toujours chercher si le résultat peut encore se factoriser.
- ❌ S’arrêter à
5(x² - 9) - ✔ Poursuivre :
5(x² - 9) = 5(x + 3)(x - 3)
Erreur n°5 : Se tromper dans le double produit
Pour vérifier si x² + 12x + 36 est un carré parfait, il faut tester : 2 × x × 6 = 12x. Ca colle. Mais attention : 2 × x × 4 = 8x ≠ 12x. Toujours vérifier le calcul du double produit.
Exercices corrigés
Exercice 1 (Facile) — Facteur commun simple
Énoncé : Factoriser 15x - 25
Voir la correction
- Facteur commun : 5
- 15x ÷ 5 = 3x
- 25 ÷ 5 = 5
- 15x – 25 = 5(3x – 5)
Exercice 2 (Facile) — Facteur commun avec variable
Énoncé : Factoriser 6x³ + 9x²
Voir la correction
- Facteur commun : 3x²
- 6x³ ÷ 3x² = 2x
- 9x² ÷ 3x² = 3
- 6x³ + 9x² = 3x²(2x + 3)
Exercice 3 (Moyen) — Identité remarquable a² – b²
Énoncé : Factoriser 16x² - 81
Voir la correction
- 16x² = (4x)² et 81 = 9²
- C’est la forme a² – b²
- 16x² – 81 = (4x + 9)(4x – 9)
Exercice 4 (Moyen) — Identité remarquable (a + b)²
Énoncé : Factoriser x² + 14x + 49
Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur développement et factorisation en seconde.
Voir la correction
- x² = x² et 49 = 7²
- Double produit : 2 × x × 7 = 14x ✓
- x² + 14x + 49 = (x + 7)²
Exercice 5 (Difficile) — Facteur commun dans une expression avec parenthèses
Énoncé : Factoriser (3x - 2)(x + 5) - (3x - 2)(2x - 1)
Voir la correction
- Facteur commun : (3x – 2)
- On factorise : (3x – 2)[(x + 5) – (2x – 1)]
- On développe le crochet : x + 5 – 2x + 1 = -x + 6
- (3x – 2)(x + 5) – (3x – 2)(2x – 1) = (3x – 2)(-x + 6)
Exercice 6 (Difficile) — Factorisation en plusieurs étapes
Énoncé : Factoriser 5x² - 30x + 45
Voir la correction
- Facteur commun : 5
- 5x² – 30x + 45 = 5(x² – 6x + 9)
- On reconnaît (a – b)² : x² = x², 9 = 3², et 2 × x × 3 = 6x ✓
- 5x² – 30x + 45 = 5(x – 3)²
FAQ — Questions fréquentes sur la factorisation
Comment savoir s’il faut factoriser ou développer ?
L’énoncé le précise toujours. « Factoriser » signifie obtenir un produit. « Développer » signifie obtenir une somme. Si l’énoncé dit « résoudre une équation », la factorisation est souvent la bonne approche : un produit de facteurs égal à zéro permet d’appliquer la règle du produit nul.
Quelle méthode utiliser en premier ?
Toujours commencer par chercher un facteur commun. C’est la méthode la plus directe. Si aucun facteur commun n’apparaît, tenter les identités remarquables. En dernier recours (niveau lycée), utiliser le discriminant.
Peut-on toujours factoriser une expression ?
Non. Certaines expressions ne se factorisent pas dans l’ensemble des réels. Par exemple, x² + 1 ne possède pas de racine réelle. Son discriminant vaut -4 < 0. La factorisation est impossible dans ℝ.
Comment vérifier que ma factorisation est correcte ?
Il suffit de développer le résultat. Si on retrouve l’expression de départ, la factorisation est juste. C’est un réflexe à prendre lors des contrôles : toujours vérifier en développant.
La factorisation sert-elle après le collège ?
Oui. Elle intervient constamment au lycée : résolution d’équations et d’inéquations, étude de fonctions, calcul de limites, intégration. En études supérieures, elle reste un outil fondamental en algèbre et en analyse. Maîtriser la factorisation au collège donne un avantage solide pour la suite.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
